Euler có trí tưởng tượng toán học quả là phi thường. Công trình tiên phong về các số ảo (mà ngày nay ta gọi là giải tích phức) không phải là sáng kiến duy nhất của ông. Ông còn đi
đầu trong việc nghiên cứu một lĩnh vực mới mà ngày nay đã trở nên tối cần thiết trong công việc của các nhà toán học, cũng như trong các cố gắng nhằm khám phá bí mật Định lý cuối cùng của Fermat. Lĩnh vực đó là tôpô học, một lý thuyết trực giác về các hình thể không gian không thay đổi tính chất khi bị biến đổi bởi các hàm số liên tục. Tôpô học nghiên cứu các hình và các dạng của chúng. Đó là môn hình học mới lạ và khó hiểu, được áp dụng cho các không gian 4, 5 và nhiều chiều ngoài phạm vi của không gian thực ba chiều. Ta sẽ trở lại lĩnh vực hấp dẫn này một lần nữa khi đề cập đến phương pháp hiện đại tiếp cận bài toán Fermat vì tôpô học tưởng như chẳng có liên quan gì với phương trình Fermat song lại có tầm quan trọng lớn giúp ta hiểu bài toán này.
Trở lại quá trình hình thành tôpô học, đóng góp của Euler cho lĩnh vực này là bài toán nổi tiếng về bảy chiếc cầu ở thành phố Konigsberg. Đó là một trò chơi thách đố đã làm nảy sinh toàn bộ sự say mê môn tôpô học. Vào thời Euler, có bảy chiếc cầu bắc qua sông Pregel thuộc thành phố Konigsberg. Dưới đây là sơ đồ mô tả vị trí bảy chiếc cầu đó (hình 9).
Hình 9
Euler đặt vấn đề có cách nào để có thể đi qua cả bảy chiếc cầu mà không phải đi qua bất kỳ cây cầu nào hai lần hay không. Không thể thực hiện được điều đó! Một bài toán khác là bài toán tô màu các bản đồ. Các bài toán này đã được nghiên cứu trong thời kỳ hiện đại và chúng đã được đặt ra vì tính hấp dẫn của bài toán bảy cây cầu. Một người vẽ bản đồ chuyên nghiệp vẽ một tấm bản đồ thế giới. Trên tấm bản đồ này, anh ta tô mỗi nước một màu khác nhau để phân biệt nước này với các nước láng giềng cận kề. Bất cứ hai nước nào mà hoàn toàn không có biên giới chung thì có thể tô cùng một màu. Vấn đề đặt ra là cần tối thiểu bao nhiêu màu tất cả để trên toàn bộ tấm bản đồ hai quốc gia sát cạnh nhau không tô cùng một màu? Tất nhiên, đây là một bài toán tổng quát, không lệ thuộc vào bản đồ thế giới ngày nay như thế nào. Vấn đề đặt ra là: cho dù các nước trên bản đồ có phức tạp đến đâu đi nữa thì số màu tối thiểu cần sử dụng là bao nhiêu? Các đường biên giới giữa các bang thuộc Nam Tư cũ hoặc thuộc vùng Trung Đông được cho trước cùng với rất nhiều đường ranh giới đặc
biệt giữa các thực thể chính trị làm cho bài toán tổng quát trở nên thích hợp trong các ứng dụng.
Xét về mặt toán học thì đây là bài toán tôpô. Tháng 10 năm 1852, Francis Guthrie trong khi tô bản đồ Anh quốc đã tự hỏi số màu tối thiểu cần dùng để tô tất cả các quận là bao nhiêu. Kết quả số màu ông cần là bốn. Vào năm 1879 người ta đã chứng minh rằng số màu cần dùng đúng là bốn, nhưng sau đó phát hiện ra rằng chứng minh này sai. Gần một thế kỷ sau, năm 1976, hai nhà toán học Haken và Appel đã giải được Bài toán bản đồ bốn màu nổi tiếng. Tuy nhiên, hiện nay người ta cho rằng cách giải quyết của họ còn phải bàn luận vì phép chứng minh đã sử dụng khả năng của máy tính nhiều hơn là sử dụng logic toán học lý thuyết.