Poincaré nghiên cứu các hàm tuần hoàn, chẳng hạn như các hàm sin và cosin của Fourier, nhưng không phải trên trục số như Fourier mà trên mặt phẳng phức. Hàm sinx là độ cao thẳng đứng trên đường tròn có bán kính bằng 1 khi góc tương ứng là x. Hàm số này là tuần hoàn: nó lặp đi lặp lại mãi mãi mỗi khi góc x bổ sung thêm một bội của chu kỳ của nó, 360 độ. Tính tuần hoàn này là đối xứng. Poincaré đã khảo sát mặt phẳng phức bao gồm các số
thực trên trục hoành và các số ảo trên trục tung, như ở hình 14.
Hình 14
Ở đây, hàm tuần hoàn có thể được hiểu là có tính tuần hoàn cả theo trục thực và cả theo trục ảo. Thậm chí Poincaré còn đi xa hơn khi thừa nhận sự tồn tại của các hàm số có tính chất đối xứng rộng rãi hơn. Đây là những hàm không thay đổi khi biến phức z thay đổi theo quy tắcf(z) --> f(az+b/cz+d), trong đó các phần tử a, b, c, d được sắp xếp thành một ma trận, lập nên một nhóm đại số. Điều này nghĩa là có nhiều vô hạn các biến đổi có thể. Chúng giao hoán với nhau và hàm f là bất biến đối với nhóm các phép biến đổi này. Poincaré gọi các hàm đặc biệt đó là các dạng tự đẳng cấu.
Các dạng tự đẳng cấu là những dạng hết sức kỳ lạ vì chúng thỏa mãn nhiều tính chất đối xứng trong. Poincaré không dám chắc là chúng tồn tại. Thực tế, Poincaré đã mô tả việc nghiên cứu của ông thế này. Ông nói rằng suốt mười lăm ngày ông thức dậy vào buổi sáng và ngồi tại bàn làm việc liền vài giờ cố gắng tự thuyết phục mình rằng các dạng tự đẳng cấu mà ông đã phát minh ra không thể tồn tại. Đến ngày thứ mười lăm ông nhận ra rằng ông đã sai. Các hàm kỳ lạ này dù khó mà hình dung được bằng mắt nhưng chúng tồn tại thực sự. Poincaré đã mở rộng chúng thành các hàm phức tạp hơn, gọi là các dạng modula. Các dạng modula tồn tại ở nửa phía trên của mặt phẳng phức và đồ thị của chúng có dạng hyperbolic. Tức là chúng tồn tại ở trong một không gian kỳ lạ, nơi hình học phi Euclid của Bolyai và Lobachevsky chế ngự. Qua một điểm bất kỳ thuộc nửa mặt phẳng này tồn tại nhiều "đường thẳng" song song với một đường thẳng tùy ý cho trước (hình 15).
Hình 15
Các dạng modula rất kỳ lạ này là đối xứng theo nhiều cách trong không gian đó. Các phép đối xứng nhận được bằng các phép tịnh tiến và lấy nghịch đảo 1/z. Dưới đây là minh họa "phép lợp ngói" nửa mặt phẳng phức nhờ sử dụng các phép đối xứng này (hình 16).
Hình 16
Poincaré đã gạt bỏ sang một bên các dạng tự đẳng cấu đối xứng và ngay cả các dạng modula phức tạp hơn của chúng để tiếp tục nghiên cứu các vấn đề toán học khác. Ông bận rộn với quá nhiều lĩnh vực, thường thường ông nghiên cứu vài lĩnh vực cùng một lúc, đến nỗi ông không có thời gian để ngồi lại suy ngẫm về cái đẹp của các thực thể đối xứng vô hạn khó hình dung nổi ấy. Nhưng chính ông cũng không biết được là mình đã gieo cả hạt giống khác vào mảnh vườn để rồi chính những hạt giống này lại dẫn đến lời giải bài toán Fermat.