Ken Ribet, người lúc đầu đã cho rằng mệnh đề của Frey là một lời nói đùa, đã bắt đầu để ý đến các giả thuyết của Serre và thực tế, khi Ribet dành thì giờ suy nghĩ về "lời nói đùa" của Frey, ông nhận thấy một điều gì đó đã hình thành cho mình. Đó là việc phải làm sáng tỏ các phát biểu của Gerhard Frey. Nếu các phát biểu đó được chứng minh thì sẽ có được phép suy diễn sau đây:
Giả thuyết Shimura-Taniyama --> Định lý cuối cùng của Fermat.
Ken Ribet đang trình bày các định lý quan trọng của mình.
Ý tưởng của Frey được phát triển thật tài tình. Frey lý luận như sau: Giả sử Định lý cuối cùng của Fermat sai. Thế thì, với lũy thừa n nào đó lớn hơn 2, phương trình Fermat: xn + y n
= z n sẽ có nghiệm, trong đó x, y, z là các số nguyên. Khi đó, một nghiệm riêng a, b, c có thể làm nảy sinh một đường cong elliptic đặc biệt. Nay Frey đã viết ra được phương trình tổng quát của đường cong này dựa trên nghiệm của phương trình Fermat. Giả thuyết mà ông trình bày tại Oberwolfach nói rằng đường cong này, bây giờ gọi là đường cong Frey, là một "con vật" rất kỳ lạ. Nó kỳ lạ đến nỗi không thể tồn tại trong thực tế. Và điều quan trọng nhất là : cái đường cong elliptic được tạo thành trong trường hợp Định lý cuối cùng của Fermat sai không thuộc dạng modula. Vì vậy, nếu giả thuyết Shimura-Taniyama thực sự đúng thì tất cả các đường cong elliptic phải là modula. Do đó, cái đường cong elliptic mà không phải là modula không thể tồn tại được. Từ đó suy ra: đường cong Fley - đường cong elliptic không phải là modula (cùng với tất cả các tính chất đặc trưng kỳ lạ khác của nó) không thể tồn tại. Do vậy, nghiệm của phương trình Fermat cũng không thể tồn tại. Sự không tồn tại nghiệm của phương trình Fermat có nghĩa là Định lý cuối cùng của Fermat (nói rằng phương trình không có nghiệm nguyên với mọi n lớn hơn 2) được chứng minh. Đây là một quá trình suy diễn rất phức tạp nhưng đã được tiến hành theo một quy tắc logic chứng minh toán học quen thuộc, đó là : A suy ra B; do đó, nếu B không đúng thì A cũng không đúng. Tuy nhiên, chính mệnh đề Frey cũng chỉ là một giả thuyết. Giả thuyết này phát biểu rằng nếu một giả thuyết khác (giả thuyết Shimura- Taniyama) đúng thì Định lý cuối cùng của Fermat sẽ được chứng minh. Cặp các giả thuyết tiếp theo trong bức thư của Serre gửi Mestre đã giúp thêm Ken Ribet nhìn nhận giả thuyết Frey bằng những thuật ngữ rõ ràng hơn.
Gerhard Frey, người có "ý tưởng kỳ quặc" rằng không thể
tồn tại một đường cong elliptic như là một nghiệm của phương trình Fermat.
Trước đây, chẳng bao giờ Ken Ribet quan tâm đến Định lý cuối cùng của Fermat. Khởi đầu ông theo ngành hóa học tại Trường Đại học Tổng hợp Brown. Do ảnh hưởng và sự dẫn dắt của Kenneth F. Ireland, Ribet đã hướng đến toán học và say mê các hàm zeta, các tổng lũy thừa và lý thuyết số. Ông từng bàn luận qua loa về Định lý cuối cùng của Fermat như là "một trong những vấn đề mà tầm quan trọng thực sự của chúng chẳng có gì để nói nữa". Nhiều nhà toán học cũng giữ quan điểm như thế bởi vì các vấn đề trong lý thuyết số có xu hướng biệt lập, chúng không có cấu trúc thống nhất hoặc tuân theo nguyên tắc cơ bản chung
nào. Tuy nhiên, điều thú vị của Định lý cuối cùng của Fermat chính là ở chỗ nó nối lịch sử toán học từ buổi đầu của nền văn minh tới thời đại của chúng ta. Và lời giải cuối cùng của bài toán cũng nối liền hầu như toàn bộ các ngành trong phạm trù toán học, bao gồm cả các lĩnh vực nằm ngoài lý thuyết số như đại số, giải tích, hình học và tôpô.
Ribet tiếp tục làm luận án tiến sĩ toán học tại Trường Đại học Harvard. Mới đầu còn gián tiếp rồi sau khi đã trở thành tiến sĩ toán học thì trực tiếp hơn, ông đã chịu ảnh hưởng của nhà lý thuyết số và nhà hình học xuất sắc Barry Mazur - một con người mà bằng tầm nhìn của mình ông ta đã truyền cảm hứng cho mọi nhà toán học có tham gia dù chỉ rất ít vào việc cố gắng chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat. Bài báo của Mazur về iđêan Eisenstein là một bản tóm tắt lý thuyết các iđêan mà trong thế kỷ trước Ernst Kummer đã phát triển thành các lĩnh vực toán học hiện đại - hình học đại số và các cách tiếp cận mới đối với lý thuyết số thông qua hình học.[22]
Cuối cùng, Ribet đã trở thành giáo sư toán học của Trường Đại học Tổng hợp California ở Berkeley và tiếp tục nghiên cứu lý thuyết số. Năm 1985, ông được biết cái nhận xét "mơ hồ" của Frey rằng: nếu nghiệm của phương trình Fermat tồn tại, tức là, nếu Định lý cuối cùng của Fermat sai, thì nghiệm này sẽ tạo nên một đường cong hết sức kỳ quặc. Đường cong Frey này sẽ gắn với một đường cong elliptic không modula. Cặp giả thuyết đồng hành trong bức thư của Serre gửi Mestre đã khiến ông quan tâm đến việc cố gắng chứng minh giả thuyết Frey. Mặc dù lâu nay không thực sự quan tâm đến Định lý cuối cùng của Fermat nhưng Ribet đã nhận ra rằng vấn đề này trở nên thời sự và nó diễn ra ngay trong lĩnh vực mà ông nghiên cứu rất kỹ. Trong tuần lễ từ ngày 18 đến 24 tháng 8 năm 1985, Ribet đã tham dự hội nghị hình học đại số - số học tại Arcata, California. Ông bắt đầu suy nghĩ về mệnh đề Frey và nó làm cho ông bận rộn trí óc trong suốt một năm sau đó. Khi Ribet hoàn thành công việc giảng dạy tại Berkeley vào đầu mùa hè năm 1986, ông đã bay sang Đức và tiếp tục nghiên cứu tại một trung tâm toán học nổi tiếng thế giới, Viện Max Planck. Vừa đặt chân tới Viện, Ribet đã thực hiện một cú đột phá vĩ đại. Ông gần như đã chứng minh được giả thuyết Frey. Nhưng ông vẫn chưa hoàn toàn đạt đến đích. Khi trở về Berkeley, Ribet tìm gặp Barry Mazur mới từ Harvard tới thăm nơi đây. "Barry, chúng ta hãy đi uống một tách cà phê đi!", Ribet gợi ý rồi hai người tới một quán cà phê quen thuộc ở gần khu Trường Đại học Tổng hợp California. Trong khi nhấm nháp ly cà phê sữa, Ribet tâm sự với Mazur: "Tôi đang cố gắng khái quát những gì mình đã làm được để có thể chứng minh được giả thuyết Frey. Hình như tôi vẫn còn thiếu một cái gì đó để khái quát chứng minh...". Mazur nhìn vào những gì mà Ribet đang cho ông xem. "Ken này, cậu đã hoàn tất cả rồi đấy", ông nói, "cậu chỉ cần thêm vào một không điểm gamma đặc biệt nào đó của cấu trúc N, rồi tiếp tục cách làm của cậu và như vậy cậu đã đến đích!". Ribet nhìn Mazur, rồi lại nhìn ly cà phê sữa của mình, và sau đó ngỡ ngàng quay lại nhìn Mazur. "Lạy Chúa, anh hoàn toàn chính xác!", ông nói. Sau đó ông trở về phòng làm việc của mình để hoàn tất chứng minh. "Ý
tưởng của Ken thật hết sức tuyệt diệu", Mazur thốt lên khi nói về chứng minh tài tình của Ken Ribet sau khi nó được công bố và được giới toán học biết đến. [23]
Barry Mazur, Trường Đại học Tổng hợp Harvard, "bậc tiền bối" của các nhà toán học mà sự hiểu biết sâu sắc về hình học của ông đã truyền
cảm hứng cho tất cả những người tham gia đóng góp vào việc tìm ra chứng minh hoàn chỉnh Định lý cuối cùng của Fermat.
Ribet đã xây dựng và chứng minh được một định lý chứng tỏ rằng nếu giả thuyết Shimura-Taniyama đúng thì Định lý cuối cùng của Fermat sẽ trở thành hệ quả trực tiếp của giả thuyết đó. Một người mới năm trước còn cho rằng nhận định của Frey là một lời nói đùa thì giờ đây đã chứng minh được rằng "lời nói đùa" ấy chính là một sự thật trong toán học. Cánh cửa để tấn công bài toán Fermat nay đã được rộng mở nhờ các phương pháp hình học đại số-số học hiện đại. Giờ đây tất cả những gì mà thế giới cần là một ai đó chứng minh được cái giả thuyết có vẻ khó tin: Giả thuyết Shimura-Taniyama. Khi ấy hiển nhiên là Định lý cuối cùng của Fermat sẽ đúng.