Các bài toán Diophantine - tức là các bài toán nảy sinh từ các phương trình có dạng mà Diophantus đưa ra từ thế kỷ III - đã bắt đầu được nghiên cứu ngày một nhiều hơn trong thế kỷ XX bằng việc sử dụng các công cụ toán học được gọi là các đường cong elliptic. Nhưng các đường cong elliptic chẳng có gì gắn với hình ellip cả. Từ những thế kỷ trước, ban đầu chúng được sử dụng trong mối liên quan đến các hàm elliptic, mà những hàm này đã được tạo ra để tính chu vi của hình ellip. Cũng như đối với nhiều ý tưởng sáng tạo khác trong toán học, người đi tiên phong trong lĩnh vực này không phải là ai khác ngoài Gauss.
Thật kỳ quặc, các đường cong elliptic không liên quan gì đến các hình ellip và cũng chẳng phải là các hàm elliptic mà chúng là các đa thức bậc ba của hai biến. Ví dụ, chúng có dạng: y2 = ax3 + bx2 + cx, trong đó a, b, c là các số nguyên hoặc các số hữu tỷ (chúng ta quan tâm tới các đường cong elliptic trên các số hữu tỷ). Những ví dụ về các đường cong elliptic đó sẽ được minh họa ở hình 19. [13]
Hình 19
Khi người ta xét các điểm hữu tỷ trên đường cong elliptic, tức là chỉ xét các điểm trên đường cong mà các tọa độ của nó là tỷ số của hai số nguyên (không phải các số vô tỷ như số pi hay căn bậc hai của 2, v.v...), thì các số này tạo thành một nhóm. Điều đó có nghĩa là chúng có những tính chất thú vị. Hãy lấy hai nghiệm bất kỳ; chúng có thể được "cộng" vào theo một nghĩa nào đó để tạo ra một nghiệm thứ ba trên đường cong. Các đường cong
elliptic đã trở nên cuốn hút đối với các nhà lý thuyết số vì chúng có thể trả lời nhiều câu hỏi về phương trình và nghiệm của phương trình. Vì vậy, các đường cong elliptic đã trở thành một trong số các công cụ nghiên cứu tốt nhất trong lý thuyết số. [14]