chuỗi các hàm tuần hoàn như thế, khi được sử dụng một cách đặc biệt để đánh giá hàm số khác, được gọi là chuỗi Fourier.
Hàm số tuần hoàn
Ví dụ rõ ràng nhất về hàm số tuần hoàn là chiếc đồng hồ của bạn. Chiếc kim dài di chuyển từng phút một xung quanh hình tròn và sau sáu mươi phút nó trở về đúng vị trí ban đầu. Sau đó nó tiếp tục di chuyển và đúng sáu mươi phút sau nó lại quay về chính điểm xuất
phát. (Tất nhiên, chiếc kim ngắn cũng sẽ thay đổi vị trí theo giờ). Chuyển động của chiếc kim phút trên đồng hồ là ví dụ về một hàm tuần hoàn. Chu kỳ của nó đúng bằng sáu mươi phút. Xét theo một nghĩa khác, không gian biểu thị tất cả các phút - một tập hợp nhiều vô hạn phút kể từ bây giờ trở đi cho đến mãi mãi sau này - có thể "được quấn lại" bởi chiếc kim dài của đồng hồ theo viền mép ngoài của mặt đồng hồ (hình 11):
Hình 11
Ví dụ khác: khi một đầu máy tàu hỏa đang lao nhanh trên đường ray, cánh tay đòn truyền năng lượng từ đầu máy tới bánh xe chuyển động lên xuống theo chuyển động quay của bánh xe. Sau bất cứ một vòng quay nào của bánh xe, cánh tay đòn lại trở về vị trí xuất phát của nó - chuyển động của cánh tay đòn này cũng là ví dụ về một hàm tuần hoàn. Độ cao thẳng đứng của cánh tay đòn, khi bán kính của bánh xe tàu hoả là một đơn vị, được xác định nhờ hàm số sin. Đó là một hàm số lượng giác cơ bản được dạy trong trường phổ thông. Hàm số cosin giúp xác định độ đo của cánh tay đòn theo chiều ngang. Sin và cosin đều là hàm số của góc tạo bởi cánh tay đòn và đường thẳng nằm ngang đi qua tâm của bánh xe. Điều này được minh họa ở hình 12.
Hình 12
Khi tàu hỏa tiến về phía trước, độ cao thẳng đứng của cánh tay đòn di chuyển theo mô hình sóng như hình 12. Mô hình sóng này là tuần hoàn. Chu kỳ của nó là 360 độ. Đầu tiên độ
cao của cánh tay đòn bằng 0, sau đó nó tăng dần lên theo hình sóng cho đến khi bằng 1 , thế rồi nó lại giảm dần xuống cho đến khi bằng 0, rồi tiếp tục giảm xuống các giá trị âm cho đến khi bằng (-1), thế rồi lại tiếp tục tăng cho đến giá trị 0. Và sau đó các chu kỳ bắt đầu lặp lại mãi.
Fourier đã phát hiện ra một điều là hầu hết các hàm số có thể được đánh giá với bất kỳ độ chính xác nào nhờ tổng của nhiều (theo lý thuyết là nhiều vô hạn để đạt được độ chính xác gần hoàn hảo) hàm số sin và cosin. Đây là một kết quả nổi tiếng về các chuỗi Fourier. Việc khai triển một hàm số nào đó thành tổng của nhiều hàm số sin và cosin có lợi ích trong nhiều ứng dụng toán học khi biểu thức toán học thực tế ta quan tâm là khó nghiên cứu nhưng tổng của các hàm sin và cosin, khi tất cả cùng nhân lên bởi các thừa số khác nhau, có thể dễ dàng thao tác và ước lượng được - và điều này đặc biệt dễ dàng áp dụng trên máy tính. Giải tích số là một lĩnh vực toán học được biết đến vì có mối liên quan với các phương pháp tính để ước lượng các hàm số và các đại lượng khác. Giải tích Fourier là một phần quan trọng của giải tích số và nó cung cấp các kỹ thuật quan trọng để nghiên cứu các bài toán khó mà nhiều trong số đó không có nghiệm dưới dạng đóng (tức là, nghiệm cho bởi một biểu thức toán học đơn giản) nhờ chuỗi Fourier của các hàm tuần hoàn. Tiếp theo công trình tiên phong của Fourier, các khai triển sử dụng các hàm số đơn giản khác - chủ yếu là các đa thức (tức là tăng các lũy thừa của biến số: bình phương, lập phương, v.v...) - cũng được phát triển. Khi máy tính của bạn tính căn bậc hai của một số, nó sẽ thực hiện một phép xấp xỉ dựa trên một phương pháp như thế. Chuỗi Founer các hàm sin và cosin đặc biệt có lợi trong việc đánh giá các hiện tượng là tổng của các yếu tố tuần hoàn một cách rất tự nhiên, như âm nhạc chẳng hạn. Một bản nhạc có thể được phân tích thành các hòa âm của nó. Nước triều dâng, tuần trăng, vị trí của Mặt Trời là các ví dụ đơn giản về các hiện tượng tuần hoàn. Như đã nói ở trên, chuỗi Fourier của các hàm tuần hoàn đã có những ứng dụng rất quan trọng trong việc mô tả các hiện tượng tự nhiên và các phương pháp tính toán. Mặt khác, một thực tế bất ngờ rất lý thú cho thấy các chuỗi Fourier còn có những ứng dụng bổ ích trong toán học lý thuyết, một lĩnh vực mà chưa bao giờ là mối quan tâm chính của Fourier. Vào thế kỷ XX, các chuỗi Fourier đã phát huy tác dụng trong lý thuyết số như là công cụ để biến đổi các yếu tố toán học từ lĩnh vực này sang lĩnh vực khác trong công trình của Goro Shimura (chứng minh giả thuyết Shimura là điểm then chốt để chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat). Việc mở rộng các hàm tuần hoàn Fourier sang mặt phẳng phức, ngoài tác dụng liên kết hai lĩnh vực toán học đó lại với nhau, còn làm nảy sinh các khái niệm mới về các hàm tự đẳng cấu và các dạng modula. Phát hiện này cũng có ảnh hưởng quan trọng đối với Định lý cuối cùng của Fermat thông qua công trình nghiên cứu trong những năm đầu thế kỷ XX của nhà toán học Pháp Henri Poincaré.