Một thập niên đã trôi qua kể từ Hội nghị Tôkyô-Nikko và Goro Shimura, lúc này đang ở Trường Đại học Tổng hợp Princeton, vẫn tiếp tục công việc nghiên cứu của mình về lý thuyết số, các hàm zeta và các đường cong elliptic. Ông đã hiểu người bạn cũ của mình mắc sai sót toán học ở chỗ nào và chính việc nghiên cứu và tìm tòi sự hài hòa bí ẩn trong các lĩnh vực toán học của bản thân ông đã giúp ông xây dựng được một giả thuyết khác rõ ràng hơn và chính xác hơn. Giả thuyết của ông là: mọi đường cong elliptic trên các số hữu tỷ được "đều hóa" bởi dạng modula. Các dạng modula là các yếu tố trên mặt phẳng phức và chúng đặc biệt hơn các hàm tự đẳng cấu của Taniyama. Và việc chỉ ra miền xác định là các
số hữu tỷ và những sự điều chỉnh khác cũng là những sửa đổi quan trọng. Giả thuyết của Shimura có thể giải thích bằng hình 20.
Hình 20
Nếu ta "cuộn" mặt phẳng phức thành một hình xuyến (cái bánh vừng vòng trong hình 20), thì mặt cong này sẽ chứa tất cả các nghiệm của các phương trình elliptic trên các số hữu tỷ và các số hữu tỷ này lại nảy sinh từ các phương trình của Diophantus. Điều đó đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat : Nếu một nghiệm của phương trình Fermat xn + yn = zn tồn tại thì nghiệm này cũng phải nằm trên hình xuyến. Lúc này Shimura giả định rằng mọi đường cong elliptic với các hệ số hữu tỷ (tức là một phương trình có các hệ số dạng a/b, trong đó cả a và b đều là số nguyên) có một "người bạn đồng hành" trên nửa mặt phẳng phức Poincaré cùng với tính chất hình học hyperbolic và phi Euclid của nó. "Người bạn đồng hành" riêng của mỗi một đường cong elliptic hữu tỷ là một hàm rất đặc biệt trên nửa mặt phẳng phức và hàm này là bất biến đối với các phép biến đổi mặt phẳng rất phức tạp - các phép biến đổi đã nêu trước đây: f(z)-->f(az+b/cz+d), mà các hệ số lập thành một nhóm cùng với nhiều tính đối xứng kỳ lạ. Toàn bộ quá trình này rất rắc rối, có tính chất rất kỹ thuật và không thể chứng minh được trong một tương lai định trước - điều mà hầu hết các nhà toán học đã tin tưởng trong nhiều thập niên.
Giả thuyết của Shimura nói rằng mọi đường cong elliptic giống như phần nằm ở bên trên ngấn nước của tảng băng trôi trên biển. Bên dưới ngấn nước này là một cấu trúc vô cùng phức tạp. Để chứng minh giả thuyết này người ta phải chỉ ra rằng mọi tảng băng trôi trên biển đều phải có phần chìm dưới nước. Mặc dù biết rằng một số nhóm các tảng băng đặc biệt có phần chìm dưới nước nhưng vì có nhiều vô hạn các tảng băng nên người ta không thể kiểm tra phần dưới của từng tảng băng một. Cần phải có một chứng minh tổng quát để chỉ ra rằng một tảng băng không thể tồn tại nếu nó không có phần chìm dưới nước. Việc trình bày rõ ràng một chứng minh như thế là cực kỳ khó khăn.