Một buổi tối mùa hè nóng bức, Andrew đang nhấp ly trà đá tại nhà một người bạn. Đột nhiên, đang giữa câu chuyện, người bạn hỏi: "À này, anh có biết Ken Ribet vừa chứng minh được Giả thuyết Epsilon không?". Giả thuyết Epsilon, theo giải nghĩa của Serre, chính là giả thuyết Frey về mối liên hệ giữa Định lý cuối cùng của Fermat và giả thuyết Shimura- Taniyama, được các nhà lý thuyết số gọi tên một cách chưa chính thức. Wiles giật nẩy mình. Ngay lúc đó, anh biết rằng cuộc đời anh đã thay đổi. Ước mơ chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat từ thời ấu thơ - một ước mơ mà anh đã phải gác lại để tiến hành công việc nghiên cứu khả thi hơn - đã sống lại với một sức mạnh lạ thường. Anh về nhà và bắt đầu suy nghĩ xem mình có thể chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama như thế nào.
"Trong vài năm đầu", sau này anh tâm sự, "tôi biết mình không có đối thủ vì tôi biết rằng không có ai - kể cả tôi - có được ý tưởng là sẽ bắt đầu từ đâu". Anh quyết định nghiên cứu vấn đề một cách kín đáo trong trạng thái đơn độc. "Quá nhiều người biết đến sẽ làm mất tập trung. Tôi sớm nhận thấy rằng chỉ cần đề cập đến Fermat là lập tức thu hút quá nhiều sự chú ý". Đương nhiên, thiếu gì những nhà toán học đầy tài năng, đặc biệt là ở một nơi như Princeton, và nguy cơ một ai đó sẽ hoàn thành công việc của anh thay anh - thậm chí còn làm tốt hơn - là hoàn toàn thực tế. Cho dù là vì lý do gì đi nữa thì Wiles đã tự giam mình trong căn gác xép và bắt đầu làm việc. Anh bỏ qua tất cả các đề tài nghiên cứu khác để dành toàn bộ thời gian của mình cho Định lý cuối cùng của Fermat. Wiles sử dụng tất cả thế mạnh của các công cụ đại số, hình học, giải tích và các lĩnh vực toán học hiện đại khác; các kết quả toán học quan trọng của những người đương thời và của những người đã đi trước trong lịch sử; các phương pháp chứng minh thông minh của Ribet và các kết quả của ông ta; các lý thuyết của Barry Mazur và các ý tưởng của Shimura, Frey, Serre, André Weil; và những công trình khác của nhiều, rất nhiều các nhà toán học khác.
Sự vĩ đại của Wiles, sau này Gerhard Frey nhận xét, là ở chỗ anh đã tin tưởng vào việc anh làm ở một thời điểm khi mà mọi nhà toán học trên thế giới tin rằng giả thuyết Shimura-
Taniyama không thể chứng minh được trong thế kỷ XX.
Để chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama, Andrew Wiles biết rằng anh phải chứng minh mọi đường cong elliptic là modula. Anh phải chỉ ra rằng mọi đường cong elliptic, mà nghiệm của nó nằm trên hình xuyến, đúng là một dạng modula. Theo một nghĩa nào đó hình xuyến là không gian các hàm đối xứng phức tạp trên mặt phẳng phức mà các hàm này được gọi là các dạng modula. Chẳng ai có được ý tưởng gì để chỉ ra mối liên hệ kỳ quặc như thế giữa hai đối tượng dường như rất khác nhau ấy.
Wiles nhận ra rằng cách tốt nhất là thử đếm số các đường cong elliptic và số các đường cong elliptic dạng modula, sau đó chỉ ra rằng "số lượng" của chúng là như nhau. Cách làm này chứng tỏ rằng các đường cong elliptic và các đường cong elliptic dạng modula là như nhau, và do đó mọi đường cong elliptic đích thực là modula - như giả thuyết Shimura- Taniyama đã nêu.
Wiles nhận ra hai điều. Một là, anh không cần phải chứng minh toàn bộ "giả thuyết Shimura-Taniyama" mà chỉ cần chứng minh cho trường hợp đặc biệt: các đường cong elliptic bán ổn định với hệ số là các số hữu tỷ. Việc chứng minh giả thuyết đúng đối với một lớp bé hơn các đường cong elliptic này cũng đủ để chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat. Hai là, việc "đếm" sẽ không áp dụng được ở đây vì anh đang làm việc với các tập hợp vô hạn. Tập hợp các đường cong elliptic bán ổn định là vô hạn. Bất kỳ một số hữu tỷ nào đó có dạng a/b, trong đó a, b là các số nguyên, đều cho một đường cong elliptic khác (chúng ta nói là một đường cong elliptic trên các số hữu tỷ). Vì có nhiều vô hạn các số như thế (a, b có thể là các số bất kỳ trong tập hợp nhiều vô hạn các số 1, 2, 3, 4, ..., đến vô cùng) nên có nhiều vô hạn các đường cong elliptic. Như vậy, cách đếm thông thường không dùng được.