Định lý là một mệnh đề cùng với phép chứng minh. Fermat khẳng định đã có "một chứng minh tuyệt vời", nhưng nếu không được nhìn thấy và đánh giá tính đúng đắn của phép chứng minh thì không ai có thể gọi mệnh đề của ông là một định lý. Một mệnh đề có thể là rất sâu sắc, rất có ý nghĩa và rất quan trọng, nhưng nếu không chứng tỏ được nó thực sự đúng thì chỉ có thể gọi đó là một điều phỏng đoán hay là một giả thuyết. Một khi điều phỏng đoán được chứng minh thì mới được gọi là "định lý", hoặc là một "bổ đề" nếu đó là một mệnh đề mở đầu và được chứng minh để rồi dẫn đến một định lý sâu sắc hơn. Các kết luận suy ra từ một định lý và được chứng minh thì được gọi là các hệ quả. Chính Fermat đã có một số mệnh đề như thế. Một mệnh đề trong số đó là: Các số dạng 2(2 lũy thừa n) + 1 luôn là số nguyên tố. Phỏng đoán này chưa được chứng minh, do đó không phải là một định lý. Thực tế, ở thế kỷ sau, nhà toán học vĩ đại người Thụy Sĩ Leonhard Euler (1707-1783) đã chỉ ra đó là một phỏng đoán sai. Vậy thì cũng chưa có lý do để tin rằng "Định lý cuối cùng" là đúng. Nó có thể đúng, hoặc có thể sai. Để chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat là sai, tất cả những gì phải làm là tìm được một bộ ba số nguyên a, b, c và một lũy thừa n lớn hơn 2 thoả mãn quan hệ a n + bn = cn. Chưa người nào tìm được một tập các số nguyên như vậy. (Tuy vậy, việc giả định là có một tập các số nguyên như thế sau này chính là yếu tố quan
trọng cho các cố gắng tiếp tục chứng minh Định lý). Vào những năm 1990, người ta đã chỉ ra rằng không tồn tại các số nguyên như thế đối với mọi lũy thừa n nhỏ hơn bốn triệu. Nhưng điều này không có nghĩa là sẽ không bao giờ tìm được các số nguyên như vậy. Định lý phải được kiểm chứng với tất cả các số nguyên và tất cả các lũy thừa có thể có.
Chính Fermat đã chứng minh định lý cuối cùng của ông với n=4. Ông đã sử dụng một phương pháp tài tình mà ông gọi là phương pháp "giảm vô hạn" để chỉ ra rằng không tồn tại các số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện a4 + b 4 = c4. Ông cũng nhận thấy rằng, nếu có lời giải với một lũy thừa n nào đó thì cũng có lời giải với mọi bội số của n. Do đó ta chỉ phải xét các lũy thừa là các số nguyên tố (lớn hơn 2), tức là các số không thể chia hết cho bất kỳ số nguyên nào khác 1 và chính nó. Một vài số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,… Không một số nào trong chúng chia được cho bất kỳ một số nào khác 1 và chính nó mà cho kết quả là một số nguyên. Ví dụ, số 6 không phải số nguyên tố vì 6 chia cho 3 bằng 2 - một số nguyên. Fermat cũng đã chứng minh định lý cuối cùng của ông với n=3. Độc lập với Fermat, Leonhard Euler đã chứng minh cho trường hợp n=3 và n=4, còn Peter G. L. Dirichlet đã có thể chứng minh cho trường hợp n=5 vào năm 1828. Các trường hợp đó cũng đã được Adrien-Marie Legendre chứng minh vào năm 1830. Gabriel Lamé đã chứng minh cho trường hợp n=7 và chứng minh này được Henri Lebesgue hiệu đính vào năm 1840. Vậy là sau 200 năm kể từ khi Fermat viết những dòng ghi chú nổi tiếng trên lề cuốn sách của Diophantus mà ông có, định lý của ông mới chỉ được chứng minh là đúng với các lũy thừa 3, 4, 5, 6 và 7. Để chứng minh định lý với mọi lũy thừa n con đường đi còn dài vô cùng. Rõ ràng là phải có một phép chứng minh tổng quát đối với tất cả các lũy thừa, cho dù các lũy thừa đó lớn thế nào đi nữa. Các nhà toán học đều đi tìm cái phép chứng minh tổng quát duy nhất ấy, nhưng thật đáng tiếc, những gì họ đạt được mới chỉ là các chứng minh với một số lũy thừa đặc biệt.