Người Ảrập đã quan tâm tới bài toán có liên hệ mật thiết với vấn đề mà Diophantus đã nêu về việc tìm ra các bộ ba số Pythagoras. Đó là bài toán tìm bộ ba số Pythagoras khi biết diện tích của một tam giác vuông là một số nguyên cho trước. Hàng trăm năm sau, chính bài toán này đã trở thành cơ sở cho Leonardo (người xứ Pisa, 1180-1250) viết cuốn sách Liber Quadratorum vào năm 1225. Leonardo được biết đến nhiều hơn với tên gọi Fibonacci (nghĩa là "con trai của Bonaccio"). Fibonacci sinh ở Pisa. Ông là một thương gia quốc tế. Ông cũng đã từng sống ở Bắc Phi và Constantinople. Trong suốt cuộc đời mình, ông đã đi
rất nhiều nơi, đã đến Provence, Sicily, Syria, Ai Cập và rất nhiều nơi khác ở vùng Địa Trung Hải. Những chuyến đi của ông và các quan hệ của ông với tinh hoa của xã hội thượng lưu Địa Trung Hải trong thời kỳ đó đã dẫn ông đến với các tư tưởng toán học của người Ảrập, với nền văn hóa La Mã và Hy Lạp. Khi hoàng đế Frederick II đến Pisa, Fibonacci đã được giới thiệu với hoàng đế và trở thành một cận thần của hoàng đế.
Ngoài cuốn Liber Quadratorum, cũng trong thời gian đó, Fibonacci còn nổi tiếng với cuốn sách Liber Abaci. Vấn đề về các tam giác Pythagoras được đề cập trong cuốn sách của Fibonacci cũng xuất hiện trong một bản thảo của người Byzantine ở thế kỷ XI mà bây giờ đang nằm trong thư viện Cung điện cổ ở Istanbul. Điều này có thể là sự trùng hợp ngẫu nhiên; song mặt khác, cũng có thể Fibonacci đã thấy cuốn sách đó ở Constantinople trong các chuyến đi của ông.
Fibonacci được biết đến nhiều nhất với dãy số mang tên ông - các số Fibonacci. Các số này xuất hiện trong bài toán dưới đây viết trong cuốn Liber Abaci :
Trong một năm, bắt đầu chỉ từ một đôi thỏ, bao nhiêu đôi thỏ sẽ được sinh ra nếu mỗi tháng một đôi thỏ sinh được một đôi thỏ con và cặp thỏ con này lại đẻ được từ tháng thứ hai trở đi?
Dãy số Fibonacci có nguồn gốc từ bài toán trên là một dãy sao cho mỗi số hạng, kể từ sau số hạng thứ nhất, bằng tổng của hai số đứng ngay trước nó. Dãy số đó là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
Dãy số trên (tức là dãy nhận được khi tiếp tục giải bài toán không dừng lại ở điều kiện 12 tháng) có những tính chất đặc biệt đáng chú ý. Thật vô cùng bất ngờ, tỷ số giữa hai số kế tiếp nhau của dãy đó tiến đến Tỷ số vàng . Các tỷ số đó là: 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/2l, 21/34, 34/55, 55/89, 89/114,... Cần chú ý rằng các số đó ngày càng tiến gần đến số (căn bậc hai của 5 - 1 )/2. Đây chính là Tỷ số vàng. Ta cũng có thể nhận được Tỷ số vàng bằng cách dùng máy tính lặp lại nhiều lần phép toán 1/1 + 1/1 + 1/... như đã mô tả trước đây. Ta cũng nhớ lại rằng số nghịch đảo (l/x) của Tỷ số vàng là một số giống như nó chỉ có điều là bé hơn 1 đơn vị. Dãy số Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong thiên nhiên. Những chiếc lá trên một nhành cây mọc cách nhau những khoảng tương ứng với dãy số Fibonacci. Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số : 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89. Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mao lương vàng có 5 cánh, hoa phi yến thường có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34, hoặc 55, hoặc 89 cánh.
Các số Fibonacci cũng xuất hiện trong các bông hoa hướng dương. Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa hướng dương được xếp thành hai tập các đường xoắn ốc : một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược chiều kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường là 34, còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi các số này là 55 và 89, và thậm chí có khi là 89 và 144. Tất cả đều là các số
Fibonacci kế tiếp nhau (tỷ số của chúng tiến tới Tỷ số vàng). Trong cuốn Những con số của tự nhiên Ian Stewart nói rằng, khi các đường xoắn ốc phát triển thì góc giữa chúng là 137,5 độ, tức là bằng 360 độ nhân với 1 trừ đi Tỷ số vàng, và chúng cũng tạo ra hai số Fibonacci kế tiếp nhau ứng với số đường xoắn ốc theo chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ, như minh họa ở hình 7 [8] .
Hình 7
Nếu một hình chữ nhật có tỷ lệ giữa hai cạnh là Tỷ số vàng thì có thể chia được thành một hình vuông và một hình chữ nhật. Hình chữ nhật thứ hai này là đồng dạng với hình chữ nhật lớn, vậy nên tỷ số giữa hai cạnh của nó cũng bằng Tỷ số vàng. Bây giờ, lại có thể chia hình chữ nhật bé thành một hình vuông và một hình chữ nhật, mà tỷ lệ giữa hai cạnh của hình chữ nhật cũng là Tỷ số vàng,... và cứ tiếp tục như vậy. Nối các đỉnh kế tiếp nhau của dãy hình chữ nhật với nhau ta nhận được một đường xoắn giống con ốc (hình 8), hệt như sự xếp đặt các nụ nhỏ trong bông hoa hướng dương như mô tả ở trên và sự phân bố những chiếc lá trên một nhành cây.
Hình 8
Hình chữ nhật nêu trên có các tỷ lệ thật đáng chú ý. Tỷ số vàng không chỉ xuất hiện trong tự nhiên mà còn xuất hiện trong nghệ thuật như là lý tưởng cổ điển về cái đẹp. Có một điều gì đó thần kỳ bao quanh dãy số Fibonacci. Thực tế, hiện nay Hội Fibonacci đang hoạt động dưới sự lãnh đạo của một linh mục và có trung tâm ở Trường Đại học St. Mary tại
California. Mục đích của Hội là tìm kiếm các ví dụ của Tỷ số vàng cũng như của các số Fibonacci trong tự nhiên, trong nghệ thuật và trong kiến trúc với niềm tin rằng Tỷ số vàng là món quà Thượng đế ban tặng cho thế giới này. Như là chuẩn mực của cái đẹp, Tỷ số vàng hiện diện ở nhiều nơi. Ở Điện Parthenon của thành Athens chẳng hạn, tỷ số giữa chiều cao và chiều dài của Điện Parthenon chính là Tỷ số vàng.
Kim tự tháp vĩ đại ở Giza được xây dựng từ nhiều trăm năm trước Điện Parthenon của Hy Lạp cũng có tỷ số giữa chiều cao của một mặt với một nửa cạnh đáy là Tỷ số vàng. Một bản viết trên giấy cỏ Rhind của người Ai Cập có nhắc tới Tỷ số thần thánh. Các pho tượng cổ cũng như các bức tranh thời kỳ Phục Hưng đều biểu hiện các tỷ lệ bằng Tỷ số vàng, một tỷ số thần thánh.
Điện Parthenon, Athens, Hy Lạp
Tỷ số vàng đã được tìm kiếm như là biểu tượng của vẻ đẹp vượt xa các loài hoa hay các công trình kiến trúc. Trong một bức thư gửi Hội Fibonacci vài năm trước đây, một thành viên đã miêu tả một người trong khi tìm kiếm Tỷ số vàng đã hỏi vài cặp vợ chồng để làm một cuộc thí nghiệm như thế nào. Ông ta yêu cầu người chồng đo chiều cao rốn của vợ rồi chia cho chiều cao của vợ. Ông khẳng định rằng đối với tất cả các cặp vợ chồng, tỷ số đó đều xấp xỉ bằng 0,618.