III. Kết luận
1. Lợi ích:
Ngay từ đầu các nhà toán học không quan tâm nhiều đến tính cách hình thức. Có người coi như là một cách trình bày mỹ lệ về những điều mình đã hiểu biết, một trò chơi trí thức cho những ai quá đòi hỏi về phương diện mạch lạc luận lý. Với tính cách hình thức, người ta không biết phương pháp này có đem lại lợi ích đáng kể nào cho khoa học. Nhưng chúng ta biết: khoa học sử chứng tỏ rằng: thường thường công việc sưu tầm, lúc đầu có vẻ thuần tuý vô vị lợi nhất, nhưng sau cùng lại mang nhiều kết quả tốt đẹp. Chúng ta có thể tưởng tượng: đa số người đồng thời đã ngạc nhiên không ít, khi nhận thấy một số học giả Hylạp, với những cố gắng, đã thiết lập, từ những điều hiểu biết thực nghiệm thường nhật, một môn toán học kể như môn khoa học thuần lý, đưa nhân loại vào kỷ nguyên khoa học.
a/ Phương pháp Hình thức là một dụng cụ để phân tích và tư tưởng trừu tượng. Khi nhà toán học đi từ một giả thuyết cụ thể sang tới một giả thuyết được hình thức hoá (formalisée), công việc của họ thực ra chỉ là tiếp tục và hoàn bị hoá công trình kỳ cựu nhất của trí óc con người: đó là việc trừu tượng hoá. Đi từ một con số cụ thể như đống đá, bầy thú … đến một số trừu tượng của môn số học. Rồi từ môn số học chuyển qua môn đại số học; từ đại số học sơ đẳng đến đại số học tân thời: trong đó những sự vật và cả những phép tính toán đều được quy định bằng những đặc tính căn bản rất trừu tượng.
b/ Tiến bộ trên đường trừu tượng cũng đưa tới cái nhìn bao quát toàn diện. Bỏ một bên những đặc điểm riêng biệt, tức là nới rộng ngoại hàm của một ý niệm. Theo học giả Russell, khái quát hoá, tức là biến một hằng giá thành một biến giá. Làm như thế chẳng những giúp chúng ta tư tưởng rộng rãi hơn và có được một phương tiện trí thức đa năng đa hiệu. Tính cách vô định của một cơ cấu
hình thức không nói lên sự nghèo nàn, vì trái lại, nó có thể, với những điều kiện nhất định, gia tăng giá trị và khả năng bao quát. Nhờ phương pháp Hình thức, con người đã tìm ra được một phương tiện tiết kiệm tư tưởng.
c/ Phương pháp Hình thức còn đóng góp một phần quan trọng vào việc làm giàu kho tàng kiến thức. Như trong môn giải phẫu học đối chiếu, căn cứ trên những bình diện đồng nhất, người ta có thể khám phá ra nhiều cơ thể giống nhau, lẫn lộn giữa những chi tiết dồi dào phức tạp; phương pháp Hình thức cũng có thể nêu lên những mối tương quan giữa nhiều lãnh vực khoa học khác nhau. d/ Sau hết, với mức độ hình thức hoá cao hơn, phương pháp ấy dựa trên đường lối tính toán chặt chẽ, như máy móc. Sự kiện này giúp đạt tới kết quả chính xác, khách quan. Do tính cách máy móc ấy, người ta có thể giao công việc cho những máy tính, giúp con người dành thời giờ và trí óc vào những công việc khác.
Trong phạm vi khoa học, ở giai đoạn hiện tại, chỉ có toán học thành công trong việc áp dụng phương pháp hình thức. Những cố gắng áp dụng cho môn Luậân lý học cũng đã thu lượm nhiều kết quả khả quan. Nhưng, nếu lần xuống tới những môn khoa học cụ thể hơn, chúng ta thấy rằng: phương pháp nói trên chưa chiếm được một chỗ đứng đáng kể. Ngoài môn Vật lý học, chỉ thấy những cố gắng vô hiệu quả. Lý do, là vì quá trình khoa học thường diễn tiến theo một lối gần như nhất định, qua bốn giai đoạn: mô tả, quy nạp, diễn dịch và hình thức hoá. Ngay trong môn vật lý học, chúng ta thấy, môn này bước từ giai đoạn quy nạp ởù thế kỷ 17 và 18, sang giai đoạn diễn dịch ở thế kỷ 19 và hiện thời đang tiến mạnh trên đường hình thức hoá. Tuy vậy chúng ta thấy: phần vật lý mới hơn, nhằm những lý thuyết về độ cong của không gian – thời gian, hay về điện tử chẳng hạn, dễ chấp nhận Phương pháp Hình thức hơn, vì đối tượng khá trừu tượng, và vì là phần vật lý học quan tâm đến những tương quan nhiều hơn. Do đó mới có sự dễ dàng như thế.