II. Chứng minh
3.Định lý Lagrange (Định lý Giá trị Trung bình)
Đây là Định lý quan trọng, ta dùng Định lý Rolle để chứng minh. Định lý này được nhà toán học người Pháp, Joseph-Louis Lagrange, đưa ra.
Định lý Giá trị Trung bình
Giả sử f là một hàm thỏa mãn các giả thiết sau đây:
a. f liên tục trên khoảng đóng [a; b],
b. f khả vi trên khoảng mở (a; b),
thì tồn tại một số c trong khoảng (a; b) sao cho:
Ò[ Z ! /Z ! / hoặc tương đương là Z ! / Ò[Z ! /
Trước khi chứng minh, ta quan sát hình vẽ sau để thấy được về mặt hình học, nó là như thế nào.
Các hình trên cho thấy, hệ số góc của cát tuyến AB là: Vîñ Z ! /Z ! /
Mặt khác: Ò[ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm (c, f(c)). Định lý Giá trị Trung bình phát cho thấy có ít nhất một điểm P(c, f(c)) trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó song song với cát tuyến
AB.
Chứng minh
55
Ta có: h(x) thỏa mãn hai giả thiết đầu của Định lý Rolle, bởi vì f thỏa mãn hai giả thiết trong định lý Giá trị Trung bình.
Mặt khác: (/ 0, (Z 0 nên (/ (Z.
Như vậy, hàm h(x) thỏa mãn các giả thiết của định lý Rolle.
Nên tồn tại một điểm c trong (a, b) sao cho (Ò[ 0, tức là Ò[ !*¹.*+¹.+ 0 Suy ra Ò[ *¹.*+¹.+ .
VÍ DỤ 2 Nếu một vật chuyển động thẳng với phương trình ò |, thì vận tốc trung bình giữa hai thời điểm t = a và t = b là *¹.*+¹.+ .
Vận tốc tại thời điểm t = c là Ò[. Như thế, Định lý Giá trị Trung bình nói rằng tại một thời điểm
c nào đó trong khoảng từ a đến b vận tốc tức thời bằng với vận tốc trung bình. Chẳng hạn một xe ô
tô chuyển động được 180 km trong vòng 2 giờ, thì chắc chắn có một thời điểm nào đó vận tốc phải là 90km/h.
Ý nghĩa chính của Định lý Giá trị Trung bình là nó cho phép ta nhận được thông tin về một hàm số từ thông tin về đạo hàm của nó. Ví dụ và các hệ quả sau đây minh họa điều này.
VÍ DỤ 3 Giả sử rằng 0 !3 và Ò # 5 với mọi x. Giá trị 2 nhỏ hơn hoặc bằng bao nhiêu?
Giải Vì hàm f có đạo hàm tại mọi số thực nên liên tục trên tập số thực. Như vậy, ta có thể áp dụng Định lý Giá trị Trung bình trên [0; 2]. Tồn tại một số c sao cho
2 ! 0 Ò[2 ! 0
Suy ra 2 0 ' 2Ò[
Theo giả thiết Ò[ # 5 nên 2 # !3 ' 2 · 5 7. Vậy giá trị lớn nhất mà f(2) có thể nhận là 7.
VÍ DỤ 4 Biết rằng 4a + 3b + 3c = 0. Chứng minh rằng
ax2 + bx + c = 0 có nghiệm trong (0; 2).
Hệ quả 1. Nếu Ò 0 với mọi x trong khoảng (a, b), thì f là hàm hằng trên (a, b).
Chứng minh (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Giả sử x1 và x2 là hai số bất kỳ trong (a, b) và x1 < x2. Do f khả vi tại mọi điểm trong (a, b) nên nó phải khả vi trên (x1, x2) và liên tục trên [x1, x2]. Bằng cách áp dụng Định lý Giá trị Trung bình cho hàm f trên [x1, x2], thì tồn tại một số c sao cho x1 < c < x2 và
f(x2) – f(x1) = f ’(c)(x2 – x1)
Do Ò 0, /, Z nên Ò[ 0, tức là ta được = . Như vậy, hàm f nhận giá trị như nhau tại mọi điểm trong (a, b), tức là f là hàm hằng trên (a, b).
Hệ quả 2. Nếu hai hàm và D có đạo hàm bằng nhau tại mọi điểm trong (a, b), thì trên khoảng đó chúng chỉ sai khác nhau một hằng số.
Chứng minh
Theo giả thiết Ò DÒ, /, Z tức là ta có ! DÒ 0, /, Z. Theo hệ quả trên, ! D là hàm hằng, nghĩa là tồn tại số k sao cho ! D d, /, Z.
56