Chuỗi đan dấu

, Ò ÒÒ Ä 1) Dạng khuyết

1. Chuỗi đan dấu

1. Chuỗi đan dấu

Một chuỗi được gọi là chuỗi đan dấu nếu các số hạng của nó mang dấu dương và dấu âm xen kẽ nhau. Sau đây là hai ví dụ:

1 !¹_{2 '}¹_{3 !}¹_{4 '}¹_{5 !}¹_{6 ' X ù!1}W.=1 Q Š W‰= !¹_{2 '}²_{3 !}³_{4 '}⁴_{5 !}⁵_{6 ' X ù!1}W Q Q ' 1 Š W‰=

Từ hai ví dụ này ta thấy rằng số hạng thứ n của chuỗi số đan dấu có dạng /W !1W.=ZW hoặc là /W !1WZW trong đó bn là số dương. (Thực ra là ZW = |/W|.)

Dấu hiệu sau nói rằng nếu các số hạng của một chuỗi đan dấu có trị tuyệt đối giảm về 0, thì chuỗi đan dấu hội tụ.

DẤU HIỆU CHUỖI ĐAN DÂU Nếu chuỗi đan dấu ù!1W.=ZW

ŠW‰= W‰=

Z=! Z' Zr! Z‡' Z8! Z\' X ZW@ 0 thỏa mãn

(a) ZW,=# ZW với mọi n. (b) limˆ’ŠZW 0 thì chuỗi đã cho là hội tụ.

VÍ DỤ 15 Chuỗi điều hòa đan dấu

1 !¹_{2 '}¹_{3 !}¹_{4 '}¹_{5 !}¹_{6 ' X ù!1}W.=1 Q

ŠW‰= W‰= thỏa mãn

(a) ZW,=# ZW với mọi n vì _W,=⁼ O_W⁼. (b) limˆ’ŠZW lim_ˆ’ŠW⁼ 0.

Do vậy chuỗi đã cho hội tụ theo Dấu hiệu Chuỗi Đan dấu. ■

Minh họa hình học:

VÍ DỤ 16 Chuỗi ∑Š ^.=_‡W.=^rW

W‰= là chuỗi đan dấu, tuy nhiên

lim

W’ŠZW lim_{W’Š4Q ! 1 lim}^3Q _{W’Š4 ! 1/Q} ^{3 3}₄

Vì thế điều kiện (b) không thỏa mãn. Mặt khác giới hạn của số hạng thứ n của chuỗi: lim

W’Š/W lim_W’Š^!1_{4Q ! 1}^W3Q

157

VÍ DỤ 17 Kiểm tra xem chuỗi sau hội tụ hay phân kỳ ù!1W,= Q

Qr' 1

ŠW‰= W‰=

GIẢI Chuỗi đã cho là chuỗi đan dấu nên ta thử kiểm tra xem các điều kiện (a) và (b) của Dấu hiệu Chuỗi Đan dấu.

Ta không thấy rõ rằng dãy ZW= n²/(n³ +1) là dãy giảm. Tuy nhiên khi xét hàm có liên quan đặc biệt

f(x) = = x²/(x³ +1), ta có

Ò 2 ! r

r' 1

Do ta đang xét x > 0, nên ta thấy rằng Ò O 0 nếu 2 ! rO 0 tức là nếu @ √2u . Do đó f giảm trên khoảng (^u√2; ∞. Điều này có nghĩa là f(n+1) < f(n) và do đó bn+1 < bn khi n F2 (Bất đẳng thức

b₂ < b1 được kiểm tra một cách trực tiếp)

Điều kiện (b) dễ dàng được kiểm tra là thỏa mãn:limW’ŠZW limW’Š ^W

:

Wu,= limW’Š

¨ 

=,_u^¨ 0 Như thế, chuỗi đã cho hội tụ theo Dấu hiệu Chuỗi Đan dấu. ■