II. Chứng minh
$7 HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC
Trong các chương trước, ta đã đề cập đến hàm một biến sốđể tìm hiểu về sự phụ thuộc của một đại lượng vào một đại lượng khác. Tuy nhiên, trong thực tế thì có rất nhiều đại lượng phụ thuộc vào hai, ba,…đại lượng khác. Thế nên chương này ta sẽ chuyển sang tìm hiểu về hàm với nhiều hơn một biến độc lập. Do việc nghiên cứu về hàm hai biến và hàm nhiều hơn hai biến là tương tự nhau nên chương này trình bày về
hàm hai biến.
7.1 KHÁI NIỆM VỀ HÀM HAI BIẾN 1. Một số khái niềm về hàm hai biến 1. Một số khái niềm về hàm hai biến
Nhiệt độ T tại mỗi điểm trên bề mặt trái đất tại mỗi thời điểm thì được xác định theo kinh độ x và vĩ độ y của điểm đó. Từ đó ta có thể nghĩ rằng T là hàm với hai biến x và y hay là hàm của cặp số có thứ tự (x, y). Khi T là hàm với đối số là (x, y) thì ta ký hiệu T = f(x,y).
Diện tích của một tam giác với chiều cao là h và độ dài cạnh đáy tương ứng a, là =/ · (. Từ công thức này, với mỗi cặp (a, h) cho trước ta chỉ tìm được duy nhất một số S. Ta nó S là hàm hai biến.
Tương tự như định nghĩa hàm một biến số, hàm hai biến được định nghĩa như sau. ĐỊNH NGHĨA Cho D là một tập con của à , |, .
Hàm hai biến ì là một quy tắc mà theo nó cứ cho trước mỗi cặp số thực có thứ tự , trong tập
D ta tìm được duy nhất một số thực, được ký hiệu là , .
Tập D được gọi là tập xác định của hàm . Tập các số thực mà nhận giá trị, tức là , |, , được gọi là tập giá trị của .
Ta thường viết § , để chỉ ra giá trị của hàm tại một điểm , nào đó. Biến z được gọi là biến phụ thuộc. Các biến x, y được gọi là các biến độc lập.
Như vậy, hàm hai biến là một hàm với tập xác định là tập con của mặt phẳng tọa độ và tập giá trị là tập con của đường thẳng thực. Chính vì thế mà ta có thể dùng biểu đồ mũi tên như sau để hình ung rõ hơn về hàm hai biến
Biểu đồ mũi tên cho hàm hai biến
Hàm hai biến còn được diễn đạt theo một trong các cách sau: • :
, ,
• § , -một biểu thức đại số.
66
Quy ước: Nếu hàm § , được cho bởi một công thức mà không nói gì thêm về tập xác định, thì tập xác định của nó được hiểu là tập gồm các điểm , làm cho công thức có nghĩa, tập xác định như thế gọi là tập xác định tự nhiên của .
VÍ DỤ1 Tìm tập xác định, tập giá trị và tìm 2, !1 của mỗi hàm số: (a) , ' (b) , t9 ! ! . Đồ thị hàm số:
Một phương án khác nhằm tìm hiểu về đặc điểm của hàm số là xét đồ thị của nó.
Nếu là hàm hai biến với tập xác định là D, thì tập tất cả các điểm (x, y, z) trong r sao cho , nằm trong D và § , được gọi là đồ thị của ì.
Đồ thị của hàm hai biến thường là một mặt trong không gian, hình chiếu của nó trên mặt Oxy chính là D; hình chiếu của nó trên trục z chính là tập giá trị của .
VÍ DỤ 2 Vẽ đồ thị của hàm , 6 ! 2 ! 3.
Giải Ta có § , 6 ! 2 ! 3 tức là 2 ' 3 ' § ! 6 0. Như vậy, đồ thị của là một mặt phẳng.
Đồ thị hàm , 6 ! 2 ! 3.
Nói chung, đồ thị của hàm , / ' Z ' [ là một mặt phẳng; hàm này còn được gọi là hàm tuyến tính hai biến.
67
VÍ DỤ 3 Vẽ đồ thị của hàm D, t9 ! ! .
Giải Ta có § D, t9 ! ! Tương đương với
T' § F 0' § 9S
Như vậy, đồ thị của g là nửa phía trên mặt phẳng xy của mặt cầu ' ' § 9.
Đồ thị hàmD, t9 ! ! Đường mức:
Cho đến nay, ta có hai cách để hình dung về hàm số: Biểu đồ mũi tên và Đồ thị. Cách thứ ba là dựa vàođường mức.
Cho § , là hàm hai biến với tập xác định là D. Với mỗi hằng số d thuộc tập giá trị thì , |, d
được gọi là đường mức của .
Nói khác đi, đường mức là một tập hợp các điểm trên mặt phẳng Oxy có cùng giá trị hàm số. Hoặc đường mức chính là hình chiếu của giao tuyến giữa đồ thị hàm số với mặt § d, trên mặt Oxy. Vì thế, ta có thể vẽ các đường mức của một hàm rồi hình dung về giá trị của hàm bằng cách nâng đường ấy lên cao một khoảng k đơn vị. Nếu các đường mức khít với nhau, thì ta được hình ảnh của đồ thị hàm số.
68
VÍ DỤ 4 Vẽ đường mức của hàm , t9 ! ! với d 0, 1, 2, 3.
Giải d 0, ta được ' 9; d 1, ta được ' 8; d 2, ta được ' 5,.. Các đường mức là :