II. Chứng minh
c)Một số khai triển quan trọng
Khai triểm Maclaurin của một số hàm thường gặp:
• Hàm ½E, ta có ô ½E, và ô0 1, nên ½E 1 '1! ' 2! ' 3! ' X 'r Q! ' ÎW W Ta được các đa thức Taylor tại 0 (còn gọi là các đa thức Maclaurin):
= 1 ' 1 ' '2! 1 ' '2! ' 3! r
Đồ thị:
Từ đồ thị ta thấy ngay, việc dùng đa thức để xấp xỉ cho hàm chỉ đem lại kết quả tốt tại những điểm rất gần 0 hoặc là đa thức với bậc đủ lớn.
• Hàm sin :
sin !Er!u'E8!!E!õ' X ' !1W E:ª¨
W,=!' ÎW,=.Công thức đúng với mọi x. Công thức đúng với mọi x.
Một số đa thức Maclaurin:
= !Er!u r !Er!u'E8!
58 • Hàm cos :
cos 1 !2! ' 4! ! 6! ' X ' !1\ W W
2Q! ' ÎW. Công thức đúng với mọi x.
• Hàm 1 ' ±, ² :
1 ' ± 1 ' ² '²² ! 12! ' X '²² ! 1² ! 2 X ² ! QQ! W' ÎW. Công thức đúng với mọi @ !1.
• Hàm ln1 ' : ln1 ' !E:'Eru!Eö' X ' !1W.= E W ' ÎW. Công thức đúng với @ !1. 2. Ứng dụng • Tính gần đúngChẳng hạn sin !E\u • Tính giới hạn
VÍ DỤ 1 Tính limE?À E.÷Eu .
Giải
Vì sin ! !E\u' Îr ! !E\u' Îr Nên limE?.
Âu »,ïEu
Eu !=\
• Tìm cực trị
Giả sử f : [a; b]→R, f ’(x) là các hàm liên tục trên [a; b], f ’(x0) = 0, f ”(x0) > 0 với x0∈[a; b]. Theo Khai triển Taylor ! ? Ò? ! ? '*ååEø
! ! ?' o ! ? ÒÒ2! ! ? ?' o ! ? Do đó, với x gần x0 ta có: f(x) - f(x0) ≈*ååEø
! ! ?' o ! ? > 0 hay : f(x) - f(x0) > 0.
Suy ra x0 là điểm cực tiểu của f.
6.2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM TRONG VIỆC KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ta đã biết rằng Ò là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm , , mặt khác tại rất gần thì đồ thị của hàm số và tiếp tuyến của nó sai khác nhau không đáng kể. Thế nên ta có thể hy vọng rằng những hiểu biết về đạo hàm sẽ cung cấp cho ta những thông tin về hàm số. Trước tiên là sự biến thiên của hàm số.