II. Chứng minh
4.Tích của hai VCL là một VCL.
VÍ DỤ 19 Với 0 < a < 1, khi x → +∞: /E là một VCB, còn f=Âlà một VCL.
Ta đã biết rằng: trong quá trình x → +∞ thì /E (với a > 1), xm (m > 0) và logax (a > 1) là các VCL.
Vấn đềđặt ra là: Độ tăng của hàm nào nhanh hơn? Nội dung các định lý sau cho ta câu trả lời. Định lý 9.
Nếu a > 1 và m > 0 là các số cho trước, thì lim
E,
aE
£ '∞
Định lý trên cho thấy dù với m rất lớn, xm tăng rất nhanh nhưng ax với a > 1 còn tăng nhanh hơn. Điều này có nghĩa là ax là VCL cấp cao hơn so với xm.
Hệ quảvới 0 < a < 1 và m > 0 thì
lim
E,£/E 0.
Thật vậy, đặt a’ = 1/a thì ta được a’ > 1 và do đó: limE,£/E limE,E
Ñ+ÒÂ 0 +ÒÂ 0 Định lý 10. Nếu a > 1 và m > 0 thì lim E, Á logf '∞ Định lý này cho thấy logf tăng chậm hơn cả Á khi x → +∞.
Nhận xét quan trọng Như vậy, trong ba VCL /E (với a > 1), xm (m > 0) và logax (a > 1) khi x → +∞ thì hàm mũ tăng ra vô cùng nhanh nhất sau đó đến hàm lũy thừa và cuối cùng là hàm logarit. Do đó, trong các biểu thức vô định là tích của các đại lượng dạng: hàm mũ, hàm lũy thừa, hàm logarit; mà có một đại lượng kéo về 0 một đại lượng kéo ra '∞ thì tác dụng của hàm mũ lấn át tác dụng của hai đại lượng còn lại, tác dụng của hàm lũy thừa lấn át tác dụng của hàm loga.
Chẳng hạn: E?limª£logf , với m > 0 và a > 1 ta thấy £ kéo tích về 0 còn logf kéo tích ra vô cực và ta có thể đoán ngay được là kết quả của giới hạn bằng 0. Thật vậy: Đặt | E=, ta được
lim
E?ª£logf lim},. ÓÔÕ} }Ñ 0.
VÍ DỤ 20 Tìm E?limªE ´ạQD 0? , limE,¨ ´ạQD ∞?.
Giải limE?ªE limE?ªeE E e? 1; limE,¨Â limE,eÖ× ½? 1
3.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC 1. Khái niệm hàm số liên tục 1. Khái niệm hàm số liên tục
a) Hàm số liên tục tại một điểm
Trong các kết quả về giới hạn của hàm số sơ cấp cơ bản tại một điểm thuộc tập xác định của nó, ta thấy có kết quả là: Nếu f là hàm sơ cấp cơ bản và a thuộc khoảng xác định của f thì
lim
E+ /
Hàm số với tính chất này thì được gọi là liên tục tại a. Nói như thế là vì ta có định nghĩa sau đây. ĐỊNH NGHĨA Hàm số f được gọi là liên tục tại sốa nếu
lim
42
Lưu ý rằng: theo định nghĩa trên, một hàm số liên tục tại số a khi nó thỏa mãn ba điều kiện