, 4' ! 1' !3 Nên (1 3) là điểm cực tiểu.
$13 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC
13.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP 1. Định nghĩa 1. Định nghĩa
Trong phần bài học về đạo hàm của hàm số, ta đã biết: Nếu hàm chi phí là để sản xuất x đơn vị sản phẩm là 2, thì hàm chi phí cận biên là 2 2Ò.
Đảo lại, nếu đã biết trước hàm chi phí cận biên là 2 và cần tìm hàm chi phí, thì ta phải làm gì? Ta phải giải bài toán ngược: Tìm hàm số 2 sao cho 2Ò 2. Đó là bài toán tìm nguyên hàm.
ĐỊNH NGHĨA
Cho K là một khoảng trong (tức là K là một trong các dạng: (a, b) (a, b] [a, b) hoặc [a, b]). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên K nếu
Ò , .
Ở đây, nếu K có chứa đầu mút thì đạo hàm được hiểu là đạo hàm một phía.
Như vậy, trong một khoảng nếu Ò là đạo hàm của thì ngược lại được gọi là nguyên hàm của ç.
VÍ DỤ 1 i) Hàm ' 1 có nguyên hàm là hàm E:' trên K = !∞, '∞.
ii) Hàm =
√E có nguyên hàm là √ trên K = 0, '∞.
Nhận xét: Từ Ví dụ i), ta thấy E:' ' 1, E:' ! 5 cũng là các nguyên hàm của ' 1. Vậy: một hàm số có thể có rất nhiều nguyên hàm! Vấn đề là một hàm số đã có một nguyên hàm thì có bao nhiêu nguyên hàm và các nguyên hàm của cùng một hàm số thì có gì đặc biệt. Định lý sau đây sẽ cho ta biết.
Định lý
Nếu có nguyên hàm là trên K, thì
có vô số nguyên hàm và các nguyên hàm chỉ sai khác nhau một hằng số. Hãy chứng minh!
Theo định lý trên, khi có nguyên hàm là trên K thì tất cả các nguyên hàm của f(x) là:
' 2 với C là một hằng số nào đó.
Ta ký hiệu tất cả các nguyên hàm của là *´ và gọi nó là tích phân bất định của hàm .
* được gọi là dấu tích phân; được gọi là hàm dưới dấu tích phân; x được gọi là biến lấy tích phân; ´ được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân.
Đặc biệt:
+Ò´ ' 2
Chú ý:´ trong ký hiệu trên ban đầu chỉ là quy ước, thế nhưng người ta đã chứng minh được rằng nó thực sự là một vi phân.
101