II. Chứng minh
3. Quyết định tối ưu
Một số bài toán trong kinh tế có mục đích là tối ưu hóa một hàm mục tiêu nào đó, tức là chọn để đạt giá trị tối đa (lớn nhất) hoặc đạt giá trị tối thiểu (nhỏ nhất). Hầu hết đều đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất-nhỏ nhất.
Chẳng hạn: Gọi P là giá thành một đơn vị sản phẩm; Q là sản lượng, Q = f(P); R = P.Q là doanh thu; C =C(Q) là tổng chi phí khi sản xuất Q sản phẩm; ! 2 là hàm lợi nhuận.
Ta có thể thiết lập các bài toán tối ưu: + Tìm P để Q đạt tối đa.
+ Tìm P hoặc Q để doanh thu đạt tối đa + Tìm Q để mức chi phí đạt tối thiểu.
VÍ DỤ 5 Số vé bán được của một hãng xe buýt là _ 10 000 ! 125, trong đó P là giá bán một vé. Tìm mức giá để doanh thu đạt tối đa.
Giải
+ Ta có hàm doanh thu với biến độc lập là mức giá:
_ 10 000 ! 125 !125' 10 000.
+ Ò !250 ' 10 000. Hàm đạt cực đại tại 40. Đó cũng là giá trị mà tại đó hàm đạt giá trị lớn nhất.
+ Vậy, bán với giá 40 đơn vị tiền tệ, thì doanh thu đạt tối đa.
VÍ DỤ 6 Gọi Q là lượng hàng dự trữ một mặt hàng nào đó của một siêu thị và chi phí để lưu trữ là 2_ 4860_ ' 15_ ' 750 000.
Tìm Q để mức chi phí lưu trữ là tối thiểu.
Giải
+ 2Ò_ !>\?^: ' 15; 2Ò_ 0 s _ 18.
+ Lập bảng biến thiên, ta được hàm đạt giá trị nhỏ nhất khi Q = 18. + Vậy, Q = 18 thì mức chi phí là tối thiểu.
65