II. Chứng minh
3.Quy tắc L’Hospital để khử dạng vô đị nh khi tính giới hạn
Trong bài trước ta đã dùng phương pháp thay thế các VCB để khử dạng các vô định. Trong mục này, ta xét một phương pháp dùng đạo hàm để khử dạng vô định ?? và .
Định lý 5 (Quy tắc L’Hospital)Giả sử: các hàm số f và g có đạo hàm tại các điểm trong một khoảng I chứa a(có thể không xác định tại a) và g’(x) ) 0; tồn tại limEfº*ÒEåE hoặc limEf*ÒEºåE là vô cực.
Nếu limE+ 0 và limE+D 0 hoặc limE+ ¸∞ và limE+D ¸∞, thì lim Ef D limEf ç DÒ
CHÚ Ý 1: Quy tắc L’Hospital phát biển rằng giới hạn của thương hai hàm số bằng giới hạn của thương hai đạo hàm của chúng, miễn là các điều kiện trong giả thiết của quy tắc phải thỏa mãn. Đặc biệt phải xác định được dạng vô định của giới hạn trước khi sử dụng quy tắc.
50
CHÚ Ý 2: Quy tắc L’Hospital vẫn đúng khi thay quá trình / bởi một trong các quá trình /,; /.; '∞; !∞.
CHÚ Ý 3: Ta có thể áp dụng quy tắc này nhiều lần trong khi tìm một giới hạn.
CHÚ Ý 4: Nếu có limEf*EºE thì không thể kết luận limEfºÒE*ÒE .
VÍ DỤ 4 Tìm giới hạn limE=E.= E.
Giải Giới hạn có dạng ??. Ta đi tính limE=E.=Ò EÒ limE=
¨Â Â
= 1. Theo quy tắc L’Hospital, ta được limE=E.= E 1.
VÍ DỤ 5 Tìm giới hạn limE,Ì
Â
E:.
Giải Giới hạn phải tìm có dạng . Ta đi tính limE,Ì
ÂÒ
E:Ò limE,Ì
Â
E. Ta lại được dạng , ta lại tính limE,Ì
ÂÒ
EÒ '∞. Như vậy limE,Ì
ÂE: limE,Ì E: limE,Ì ÂÒ E:Ò limE,Ì ÂÒ EÒ '∞.
VÍ DỤ 6 Tìm giới hạn limE?ª E
¨Â Â
.
Giải Giới hạn phải tìm có dạng . Ta có limE?ª EÒ¨
ÂÒ limE?ª
¨Â Â
.Â:¨ 0. Theo quy tắc L’Hospital, ta được limE?ª E
¨Â 0.  0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
LƯU Ý: Các dạng vô định khác đều có thể chuyển qua dạng ?? hoặc bằng cách biến đổi biểu thức dưới dấu giới hạn. Một cách hình thức:
• Dạng 0 · ∞ è=/? è.
• Dạng ∞ ! ∞: ! D é¨ .ê¨
¨êÂé êÂéÂ
, thành dạng ??
• Dạng 1, ∞?, 0?: ºE ½ºE *E, thành việc đi tìm giới hạn vô định dạng: 0 · ∞ .
VÍ DỤ 7Tìm các giới hạn: lim
E?ªWln Q ëÄ; limE?;À E= !=E< ; limE?ª;E,=E,=<äÓÍ E; limE?ªsinE; limE=ª;E,=E.=<E.=.
Tuy nhiên có trường hợp không áp dụng được quy tắc L’Hospital, chẳng hạn như trong ví dụ sau.
VÍ DỤ 8 Tìm giới hạn limE,E,À EE .
Giải Nhận thấy giới hạn phải tìm là dạng ,
ta xét limE,E,À EÒEÒ limE,=,äÓ E limE,cos E
. Giới hạn này không tồn tại (Hãy giải thích?) nên không áp dụng được quy tắc L’Hospital. Khử bằng cách chia cả tử và mẫu cho x, ta được limE,E,À EE 0.
Bạn có biết?
Quy tắc L’Hospital thực ra là của Johann Bernoulli. Năm 1694 Bernoulli đồng ý nhận tiền công mỗi năm 300 bảng từ L’Hospital (học trò cũ của Bernoulli) để giải một số bài toán cho L’Hospital, trong đó có bài toán tìm giới hạn 0/0. Sau đó, năm 1696 L’Hospital công bố một cuốn sách trong đó có quy tắc tìm giới hạn dạng 0/0, nhưng không ghi rõ ai là tác giả.
51
$5 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 5.1 Khái niệm vi phân