, 4' ! 1' !3 Nên (1 3) là điểm cực tiểu.
4)Các tích phân dạng
+ ln ´, + sin / ´, + cos / ´, + ½+E´, …
Có thể tìm được nhờ tích phân từng phần. Nói chung, những hàm là tích của một thừa số có dạng đa thức hữu tỷ và một đa thức ở dạng siêu việt loại arcsin , arccos , arctan , arccot , .. đều có thể tìm bằng cách áp dụng công thức tích phân từng phần.
13.3 CÁCH TÌM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM 1. Tích phân hàm hữu tỷ 1. Tích phân hàm hữu tỷ
a) Hàm hữu tỷ
Là hàm có dạng ]E^E, trong đó , _ là các đa thức.
+ Khi bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu, ta nói là phân thức thực sự.
+ Khi bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu, ta nói là phân thức không thực sự. Nhờ phép chia hai đa thức, ta luôn biểu diễn được:
Phân thức không thực sự = đa thức + phân thức thực sự.
Do đó, khi tìm tích phân bất định của một phân thức ta chỉ tập trung vào việc tìm tích phân bất định của phân thức thực sự.
b) Phân rã phân thức thực sự thành các phân thức cơ bản
• Một kết quả quan trọng trong Đại số:
“Mọi đa thức đều phân tích được thành tích của các nhị thức bậc nhất và các đa thức bậc hai vô nghiệm”.
• Xét một phân thức thực sự: ^E]E. Từ kết quả trên, ta có quyền giả sử rằng: _ an(x – a)α ⋅⋅⋅(x – b)β(x2 + px + q)λ ⋅⋅⋅(x2 + rx + s)µ Khi đó, ta được: _ ! / 'g= ! /g ' X ' ! /g± ±' X ' ' ! Z 'i= ! Zi ' X ' ! ZiÐ Ð' '2=' ' ' ='2' ' ' ' X '2' ' ' ' X ' '-=' ' ò ' '= -' ' ò ' ' X '-' ' ò. '. .
Các số gÞ, i/, 2, ,-£,£. Được tìm bằng cách so sánh lũy thừa cùng bậc ở tử của hai
phân số sau khi đã quy đồng hoặc chọn các giá trịđặc biệt của biến số. Ta gọi các phân thức ở vế phải là các phân thức cơ bản.
105
VÍ DỤ 7 Phân rã phân thức sau:
' r! ! 1.
Giải
Ta có' r! ! 1 ' 1 ! 1' ' 1 Nên Eö,EEu.E.=E,=E.=EE :,E,=E,=î 'E.=ñ 'E0:E,ú,E,=
s gr! 1 ' i ' 1' ' 1 ' 2 ' ! 1 Ä Cho !1, được g =.
Cho 1, được i =\. Cho 0, được !=r. Cho !2, được 2 !r.
Vậy Eö,EEu.E.=E,== '\E.== !rEE,=:,E,=
Chú ý: Cũng có thể tìm A, B, C, D bằng cách so sánh các hệ số trước những lũy cùng bậc ở 2 vế của (∗).
Từ kết quả này, ta thấy để tìm tích phân bất định của một phân thức hữu tỷ thực sự thì ta chỉ cần phải tìm tích phân bất định của các hàm sau:
1
! / , ! /1 ,g ' i' ',' 'g ' i£ d, V ëÄ
c) Tích phân bất định của các phân thức cơ bản.
• *E.+oE ln| ! /| ' 2
• *E.+oE =.E.+= ¯¨' 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do g ' i´ ;î2 ' ! ' i< ´ î2 ' ´ ' ;i !îô< ´ g2 ´' ' ' ki !g2 l ´
và ' ' ; 'ô<' !ô: Nên:
• Để tìm tích phân * E:îE,ñ,ôE,Ú´, ta chỉ cần tìm *E:oE,+:. Tích phân này đã có trong bảng nguyên hàm cơ bản.
• Để tìm *E:,ôE,ÚîE,ñ Ñ´, ta chỉ cần tìm *E:,+oE:Ñ. Tích phân này được tìm theo công thức truy hồi xây dựng trong Ví dụ trên:
106
TÓM LẠI: Tìm *]E^E´ ta làm như sau: