, 4' ! 1' !3 Nên (1 3) là điểm cực tiểu.
$14 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 14.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỀU KIỆN TỒN TẠI
Bài toán diện tích hình thang cong:
Giả sử liên tục trên $/, Z& và @ 0, $/, Z&. Gọi S là hình phẳng được giới hạn bởi: Đồ thị hàm ; hai đường thẳng đứng /, Z; trục hoành. S được minh họa bởi hình sau đây.
Hãy xác định diện tích của hình S?
Để tính diện tích hình S, ta chia đoạn $/, Z& thành n phần (không nhất thiết bằng nhau) bởi các điểm chia Þ: / ?O =O O X O W Z
Tại mỗi Þ , 1, 2, . . , Q ! 1, ta kẻ các đường thẳng vuông góc với trục x. Khi đó S bị chia thành
n hình thang cong nhỏ hơn, hình thứ i là Si với chiều cao là Þ.=! Þ và các cạnh song song với trục y.
Trong mỗi đoạn $Þ.=; Þ& ta lấy điểm ÞÄ một cách tùy ý.
Diện tích Si xấp xỉ bằng diện tích hình chữ nhật với đáy Þ! Þ.= và chiều cao là ÞÄ, tức là xấp xỉ bằng ÞÄÞ.=! Þ. Đặt ∆Þ Þ! Þ.=, ta được Si ÞÄ · ∆Þ.
Nên: Diện tích của hình S xấp xỉ bằng
ù ÞÄ · ∆Þ W
Þ=
Việc xấp xỉ trên càng tốt nếu n càng lớn đồng thời làm cho ∆Þ càng gần 0. Trên cơ sở đó, người ta đưa ra định nghĩa sau về diện tích của hình S:
111
“Khi n '∞ sao cho max∆=>, nếu tổng
ù ì=Ä · ∆= ?
=@
tiến dần tới số A, thì A được gọi là diện tích của hình S.”
Trong một số tình huống khác, như: tính độ dài của quãng đường đi của một vật, tính công của một lực,…, người ta cũng thấy xuất hiện giới hạn kiểu như trên. Từ đó nảy sinh nhu cầu đặt tên cho kết quả của kiểu giới hạn nói trên và ký hiệu cho nó.
1. Định nghĩa
Cho hàm số xác định trên $/, Z&.
Ta chia đoạn $/, Z& thành n phần (không nhất thiết bằng nhau) bởi các điểm chia tùy ý Þ:
/ ?O = O O X O W Z. Đặt ∆Þ Þ! Þ.=, lấy tùy ý ÞÄ $Þ.=; Þ&, lập tổng
ù ÞÄ · ∆Þ W
Þ=
Khi số điểm chia tăng lên vô hạn, tức là Q '∞, sao cho max∆Þ 0: Nếu
ù ÞÄ · ∆Þ
WÞ= Þ=
có giới hạn hữu hạn là I , thì ta nói là hàm khả tích trên $/, Z& và số I được gọi là tích phân xác định của hàm trên $/, Z&.
Ký hiệu:
+¹´
+
/: được gọi là cận dưới, Z: được gọi là cận trên, ∑W ÞÄ · ∆Þ
Þ= : được gọi là tổng tích phân của hàm trên $/, Z&. Một số trường hợp riêng • Z O /, ta hiểu *+¹´à !*¹+´. • Z /, ta hiểu *++´ 0. Nhận xét • *+¹´∑WÞ=ÞÄ · ∆Þ
• Giá trị của tích phân xác định là một con số, không phụ thuộc vào biến lấy tích phân, nên:
+¹´
+ +¹|´|
+ +¹R´R
+ X