KHAI TRIỂN MỘT HÀM THÀNH CHUỖI LŨY THỪA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CHUỖI LŨY THỪA

, Ò ÒÒ Ä 1) Dạng khuyết

2. Chuỗi với các số hạng có dấu bất kỳ

21.2 KHAI TRIỂN MỘT HÀM THÀNH CHUỖI LŨY THỪA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CHUỖI LŨY THỪA

CHUỖI LŨY THỪA

Trong mục này ta tìm hiểu về cách biểu diễn một số hàm thành chuỗi lũy thừa bằng cách sử dụng khéo léo các chuỗi hình học, bằng cách lấy vi phân hoặc lấy tích phân một chuỗi.

Bạn có thể băn khoăn rằng tại sao ta lại muốn khai triển một hàm đã biết thành tổng của chuỗi gồm vô hạn số hạng. Câu trả lời là việc đó rất có ích cho việc tính tích phân của các hàm không phải là hàm lấy được nguyên hàm sơ cấp, cho việc giải các phương trình vi phân, và cho việc xấp xỉ hàm bởi đa thức. (Các nhà khoa học làm điều này để đơn giản hóa biểu thức họ phải giải quyết; khoa học tính toán làm điều này để biểu diễn hàm trên máy tính cầm tay hoặc máy vi tính.)

Ta bắt đầu mục này bằng một đẳng thức mà chúng ta đã biết trước đây f _=.E⁼ 1 ' ' ' r' X ∑Š W

W‰? , || O 1.

Ta đã gặp đẳng thức này, khi đó ta nhận được đẳng thức trên bằng cách nhận thấy nó là một chuỗi hình học với a = 1 và r = x. Bây giờ, ta xem đẳng thức (4) là một biểu diễn của hàm

f(x) = 1/(1-x) thành tổng của một chuỗi lũy thừa.

Minh họa hình học cho (4) là Hình dưới đây. Bởi vì tổng của một chuỗi là giới hạn của dãy các tổng riêng, ta có

1

1 ! limW’ŠòW

trong đó òW 1 ' ' ' r' X W là tổng riêng thứ n. Lưu ý rằng khi n tăng thì òW xấp xỉ f(x) càng tốt với x thỏa mãn -1 < x < 1.

VÍ DỤ 5 Khai triển 1/1 ' thành tổng của một chuỗi lũy thừa và tìm khoảng hội tụ của chuỗi.

GIẢI Thay x bởi – x² vào (4), ta có

_{1 '} ¹ _{1 ! !}¹ ù!W Š W‰? ù!1WW Š W‰? 1 ! ' ‡! \' >X

Bởi vì đây là một chuỗi hình học, nên nó hội tụ khi |!| O 1, tức là O 1. Do đó, khoảng hội tụ là (-1; 1).

VÍ DỤ 6 Hãy khai triển hàm 1/(x+2) thành chuỗi lũy thừa.

GIẢIĐể đưa hàm này về dạng vế trái của (4), trước tiên rút 2 từ mẫu số: 1 2 ' 2 ;1 ' 2<¹ 1 2 w1 ! ;! 2<x 1 2 ù ;!2< W Š W‰? ù^!1_2W,=^ˆW Š W‰?

Chuỗi hội tụ khi |-x/2| < 1, tức là, |x| < 2. Như vậy khoảng hội tụ là (-2; 2). ■

VÍ DỤ 7 Tìm chuỗi lũy thừa biểu diễn cho _E,^Eu.

GIẢI Do hàm này bằng x³ nhân với hàm trong Ví dụ 6 , việc còn lại chúng ta phải làm là nhân chuỗi đó với x³: r ' 2 ^rù!1 ˆ 2W,= W Š W‰? ù^!1_2W,=^ˆW,r Š W‰? ¹₂ r!¹₄ ‡'¹₈ 8!₁₆ ¹ \' X

164 Chuỗi này còn có cách viết khác là _E,^Eu ∑Š ^.=_¯:^ׯ¨W

W‰r

Tương tự như Ví dụ 6, khoảng hội tụ là (-2; 2). ■ ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN CỦA CHUỖI LŨY THỪA

Tổng của một chuỗi lũy thừa là một hàm ∑Š [W ! /W

W‰? có tập xác định là khoảng hội tụ của chuỗi. Ta có thể muốn lấy đạo hàm hoặc tích phân những hàm số kiểu như vậy, và định lý sau (ta không chứng minh) nói rằng ta có thể làm việc đó bằng cách lấy đạo hàm hoặc tích phân từng số hạng của chuỗi, tương tự như chúng ta đã làm với đa thức. Việc này được gọi là việc lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng.

(5) ĐỊNH LÝ Nếu chuỗi lũy thừa ∑Š [W ! /W

W‰? có bán kính hội tụ là R > 0, thì hàm f được xác định bởi [?' [= ! / ' [ ! /' [r ! /r' X ∑Š [W ! /W