II. Chứng minh
$9 HÀM ẨN VÀ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 9.1 HÀM ẨN VÀ ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM ẨN
1. Hàm ẩn một biến và đạo hàm của hàm ẩn
Cho đến nay, ta chủ yếu làm việc với các hàm số cho bởi công thức ở dạng nghĩa là các hàm số biểu thị biến phụ thuộc theo biến độc lập một cách rõ ràng, tường minh.
Có những công thức không biểu thị trực tiếp y theo x nhưng cũng cho ta một quy tắc mà cứ mỗi
biến cho trước, ta chỉ tìm được duy nhất một giá trị , chẳng hạn: r' 3 ! 9 0
Thật vậy, coi x là tham số và xét phương trình đã cho là phương trình ẩn y, thế thì với mỗi x cho trước ta có à r' 3 ! 9 Ò 3' 3 F 0, nên 0 có nghiệm duy nhất với mọi x. Tức là, với mỗi x cho trước, theo đẳng thức đã cho thì tìm được duy nhất một giá trị
y tương ứng, là nghiệm của phương trình. Như thế, ta có y là hàm của x. Trong trường hợp này việc
tìm ra một công thức tường minh để biểu diễn y theo x là khó khăn. Ta nói y làm một hàm ẩn
được xác định bởi phương trình đã cho. Một cách tổng quát:
Cho hệ thức , 0 1
Nếu mỗi x thuộc tập D cho trước, từ hệ thức (1) tìm được duy nhất một nghiệm y, thì ta nói ta có y là hàm ẩn của x được xác định bởi (1). Nếu từ (1) ta tìm được
2 thì hàm y ở dạng (2) được gọi là dạng hiện của hàm ẩn.
VÍ DỤ 9 Cho hệ thức , ' ! 1 0. Với mỗi giá trị $!1; 1&, ta tìm được hai giá trị ¸√1 ! thỏa mãn hệ thức đã cho nên hệ thức này không xác định một hàm ẩn nào cả. Tuy nhiên, nếu xét hệ thức , ' ! 1 0, với F 0, thì hệ thức đã cho xác định một hàm ẩn với dạng hiện là √1 ! . Hoặc xét trong lân cận Vx của điểm x = 0 và lân cận Vy của điểm -1, thì hệ thức đã cho xác định một hàm ẩn với dạng hiện là !√1 ! .
Vấn đề được đặt ra là: Một hàm ẩn mà việc tìm dạng hiện của nó là không đơn giản thì đạo hàm của nó được xác định như thế nào?
Bài toán đặt ra như sau: Giả sử hệ thức , 0
trong đó , là hàm khả vi, xác định cho ta hàm ẩn với . Giả sử có đạo hàm trong D. Ta sẽ tính ç thông qua đạo hàm riêng của , ?
Thật vậy, đặt , thì là một hàm hợp và hệ thức , 0 cho ta:
, y 0
Nên theo công thức đạo hàm hàm hợp của hàm hai biến trong trường hợp cả hai biến đều là hàm của cùng một biến thứ ba, thì:
´
´ ' ·´´ y 0 Tức là, với giả thiết ý) 0, thì ta được
Ò !
77
VÍ DỤ 10
(a) Tìm y’(x) biết y là hàm của x và xác định bởi phương trình sau: r' r 6
(b) Cho hàm ẩn xác định bởi r' 3 ! 9 0
Tìm Ò0. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 0.
Giải
(a) Từ phương trình đã cho ta được , r' r! 6 0 Do đó oýoE ! !rErý::.\ý.\E !Eý::.ý.E (b) Đặt , r' 3 ! 9. , 6 , 3' 3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nên Ò !rý\Eý:,rE: !ýEý:,E:
Với 0 thì r0 ! 9 0, tức là 0 √9u . Do đó Ò0 0.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ! √9u 0 ! 0 Tức là √9u .
2. Hàm ẩn hai biến và đạo hàm riêng của hàm ẩn
Tương tự như phần hàm ẩn một biến, nếu hệ thức
, , § 0
sao cho với mỗi , , xác định được duy nhất một giá trị § , thì ta nói hệ thức đó xác định một hàm ẩn hai biến §, thỏa mãn
, , §, y 0, ,
Giả thiết rằng hàm , , § là hàm khả vi đối với (x, y, z) và hàm §, khả vi đối với (x, y). Khi đó, coi , , §, là hàm hợp hai biến (x, y), ta được:
çE'ç· §çEy 0 và çý'ç· §çýy 0
Nếu ç ) 0, thì hai hệ thức này cho ta các đạo hàm riêng của hàm ẩn §, : §çE !ççE
, §çý !ççý
VÍ DỤ 11 Hàm ẩn § §, được cho bởi phương trình § ' ' §. Tìm E!1, 1, ý!1, 1.
Giải
Phương trình đã cho tương đương với § ! ! ! § 0. Đặt , , § § ! ! ! § 0.
Ta được: Ò
E, , § § ! 1; Ò
ý, , § § ! 1; Ò
, , § ! 1Nên E, !ýEý.=.=; ý, !Eý.=E.=. Nên E, !ýEý.=.=; ý, !Eý.=E.=.
Với !1; 1 thì – § § hay § 0 Vậy E!1, 1 !1; ý!1, 1 !1. Ở trên, ta đều giả sử rằng mỗi hệ thức
, 0, , , § 0
78