, 4' ! 1' !3 Nên (1 3) là điểm cực tiểu.
$17 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC 17.1 CÁC KHÁI NIỆM MỞĐẦU
Trong chương IV ta đã gặp bài toán sau đây:
“Cho hàm giá trị cận biên của lợi nhuận theo sản lượng là
_ !5_ ' 500 Ä
và nếu chỉ bán được 50 sản phẩm thì sẽ bị lỗ 13 500 đơn vị tiền tệ. Tìm hàm lợi nhuận _?”
Ta thấy: Ä chính là
Ò_ !5_ ' 500 ÄÄ
+) ÄÄ là một phương trình có chứa đạo hàm của hàm _ và đối tượng cần tìm chính là hàm _, ta nói đó là một phương trình vi phân.
+) Trong phương trình cấp cao nhất của đạo hàm là 1nên được gọi là phương trình vi phân cấp 1.
+) Hàm số _ !8_' 500_ thỏa mãn ÄÄ được ta gọi là một nghiệm của ÄÄ.
+) Họ hàm số _ !8_' 500_ ' 2 với mỗi hằng số C cho trước đều là nghiệm của ÄÄ được ta gọi là nghiệm tổng quát của ÄÄ.
+) Với điều kiện 50 !13 500 ta tìm được 2 !32 250 và nghiệm
_ !8_' 500_ ! 32 250 được gọi là nghiệm riêng, điều kiện 50 !13 500 được gọi là điều kiện ban đầu.
Một cách tổng quát, ta có các khái niệm sau đây:
Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa biến độc lập, hàm phải tìm và các đạo hàm(hoặc vi phân) của nó.
Chú ý Phương trình vi phân chỉ có một biến độc lập được gọi là phương trình vi phân thường, có từ hai biến độc lập trở nên thì được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng.
Trong chương trình Toán I-II dành cho khối ngành kinh tế ta chỉ xem xét về phương trình vi phân thường và gọi tắt là phương trình vi phân.
* Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong phương trình. * Mỗi hàm thỏa mãn phương trình vi phân thì được gọi là một nghiệm của nó.
* Với phương trình vi phân cấp n, họ hàm số phụ thuộc vào các tham số [=, [, … , [W và là nghiệm của phương trình vi phân được gọi là nghiệm tổng quát của nó. Lưu ý rằng, như theo định nghĩa, một nghiệm tổng quát chưa chắc đã bao quát tất cả các nghiệm của phương trình. Khi cho mỗi tham số nhận giá trị cụ thể, ta được một nghiệm gọi nó là nghiệm riêng. Nghiệm riêng thường được tìm từ điều kiện đã cho về hàm phải tìm, điều kiện này được gọi là điều kiện ban đầu.
Giả sử phương trình vi phân cấp n được cho bởi biểu thức