1. Đạo hàm riêng cấp hai
Giả sử f(x, y) xác định trong D. Giả thiết f(x, y) có trong D các đạo hàm riêng (cấp 1)
, ,
Chúng lại là những hàm của (x, y). Nếu chúng lại có các đạo hàm riêng thì các đạo hàm riêng đó được gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 của f(x, y). Ta ký hiệu các đạo hàm đó như sau:
*E;E*< y:E*:y ÒÒ E:; *ý;*E< yE:*ýy ÒÒ Eý; *E;ý*< yý:*Ey ÒÒ ýE; *ý;ý*< y:ý*:y ÒÒ ý:.
79
LƯU Ý:
+ Ta gọi các đạo hàm riêng ÒÒ Eý; ÒÒ
ýE là các đạo hàm riêng hỗn hợp. + Người ta đã xây dựng được ví dụ để chỉ ra rằng, nói chung thì
ÒÒ
Eý/, Z ) ÒÒ
ýE/, Z
Nhưng có những trường hợp thì các đạo hàm riêng hỗn hợp tại cùng một điểm thì bằng nhau, đó là nội dung của định lý sau.
Định lý Schwarz Giả sử trong một lân cận nào đấy của điểm (a, b), hàm f(x, y) có các đạo hàm çE, çý, ççEý, ççýE trong đó ççEý, ççýE liên tục tại (a, b), thì ta có:
ÒÒ
Eý/, Z ÒÒ
ýE/, Z
VÍ DỤ 13 Tìm các đạo hàm riêng cấp hai của mỗi hàm số a) § r; b) § acrtanEý. Giải (a) §′ E 2r; §′ ý 3 §ççEE 2r; §ççEý 6 §ççýE; §′′ 6. (b) Kết quả: §′ E ' ; §′ ý!' §ççEE !2' ; §ççEý ' ! §ççýE; §ççýý 2' .
2. Vi phân toàn phần cấp hai
Giả sử hàm § , có vi phân toàn phần (cấp 1) ´§ ´ ' ´
Lưu ý rằng ´ ∆, ´ ∆ là các hằng số; *E, , *ý, là những giá trị phụ thuộc vào (x,
y). Như thế ´§ là một hàm hai biến, nếu hàm ´§ khả vi, thì vi phân toàn phần của nó được gọi là vi phân toàn phần cấp hai của z, ký hiệu ´§. Khi đó:
´§ ´ k ´ ' ´l k ´ ' ´l ´ ' k ´ ' ´l ´ Vậy ´§ ´' 2 ´´ '´
VÍ DỤ 14 Tìm vi phân toàn phần cấp hai của hàm số
§ , 2! 3 ! Giải + §′ E 4 ! 3; §ççEE 4; §ççEý !3 §′ ý !3 ! 2; §ççýý !2. + ´§ 4´' 2!3´´ ' !2´ 4´! 6´´ ! 2´.
80
9.2 ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ
1. Giá trị cận biên theo từng biến
(Đã đề cập đến trong phần định nghĩa vềđạo hàm riêng) 2. Hệ số co giãn theo từng biến
Xét hàm § , với y = b không đổi. Nếu x thay đổi một lượng từ a thành / ' ∆, thì ∆ được gọi là độ thay đổi tuyệt đối của biến x tại a; tương ứng độ thay đổi tuyệt đối của hàm theo x tại (a, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) là ∆/, Z / ' ∆, Z ! /, Z.
Tỷ số: ∆*+,¹*+,¹ và ∆E+ được gọi là độ thay đổi tương đối. E/, Z à lim∆E? ∆/, Z/, Z ·∆/ Ò
E/, Z ·/, Z/được gọi là hệ số co giãn của z theo biến x tại (a, b). được gọi là hệ số co giãn của z theo biến x tại (a, b).
Nó mô tả độ thay đổi (tính theo đơn vị %) của biến z khi biến x thay đổi 1% trong khi biến y không đổi.
Tương tự, ta có ý/, Z.
VÍ DỤ 15 Xét hàm cầu với một sản phẩm có hai loại
_=, 10 000 ! 0,1=! 2
= là giá bán một đơn vị sản phẩm loại 1 và là giá bán một đơn vị sản phẩm loại 2. Tìm hệ số co giãn của Q theo P2 tại (50, 80). Nêu ý nghĩa kinh tế.
Giải
_
!2; _50,80 9835. Hệ số co giãn ]:50,80 !2.>r8>? !0,015.
Nghĩa là: Khi giữ nguyên giá bán sản phẩm loại 1 là 50 đơn vị tiền và giá bán sản phẩm loại 2 thay đổi 1%, thì lượng cầu thay đổi 0,015% theo hướng ngược lại.
3. Hàm thuần nhất và công thức Euler
1) Khái niệm
Về đa thức, nếu đa thức , có tổng các số mũ trong mỗi số hạng đều bằng nhau và bằng r, thì ta gọi , là đa thức thuần nhất bậc r. Khi , là đa thức thuần nhất bậc r, thì:
|, | |¡, .
Nghĩa là khi các biến đồng thời được nhân với t, thì giá trị của hàm được nhân với |¡. Trong giải tích, người ta mở rộng khái niệm thuần nhất cho một hàm bất kỳ.
ĐỊNH NGHĨA Hàm hai biến § , xác định miền trong được gọi là hàm thuần nhất bậc r nếu nó thỏa mãn:
|, | |¡, , , ; | @ 0. Số r ở đây có thể là số thực bất kỳ.
VÍ DỤ 16 Cho các hàm
, EE,ýu,ýu D, EtE:.rEýö,ýö (, tEE::.ý,rý::tanEý ,
ta thấy f(x,y) là hàm thuần nhất bậc 2. g(x,y) là hàm thuần nhất bậc 0, (, là hàm thuần nhất bậc – 1.
81
VÍ DỤ 17 Giả sử hàm cầu _ , ], trong đó k là hằng số, Q là lượng sản phẩm mà người mua bằng lòng mua ở mức giá P và ở mức thu nhập Y.
Ta thấy, _ trong trường hợp này là hàm thuần nhất bậc 0 vì:
với t > 0, thì |, | }]} ] |?,. Điều này có nghĩa là khi mức giá và thu nhập thay đổi với cùng tỷ lệ thì lượng cầu không thay đổi.
VÍ DỤ 18 Hàm Cobb-Douglas tổng quát
[=£· Ú··· ô là hàm thuần nhất bậc V '' X .
2) Công thức Euler
Công thức cho ta mối liên hệ giữa hàm thuần nhất và các đạo hàm riêng của nó. Cho hàm § , . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
§ , là hàm thuần nhất bậc r khi và chỉ khi nó thỏa mãn công thức sau · ' · · , ÄÄ
(**) được gọi là công thức Euler.
3) Vấn đề hiệu suất của quy mô (Return to scale)
• Khái niệm hiệu suất (hiệu quả) của quy mô trong lĩnh vực kinh tế là khái niệm đề cập đến sự thay đổi của sản lượng đầu ra khi tất cả các yếu tố đầu vào cùng tăng lên cùng một tỷ lệ. Khi tăng k lần tất cả các yếu tố đầu vào mà làm đầu ra tăng trên k lần, thì ta nói hiệu suất kinh tế tăng theo quy mô.
Khi tăng k lần tất cả các yếu tố đầu vào mà làm đầu ra tăng dưới k lần, thì ta nói hiệu suất kinh tế giảm theo quy mô.
Khi tăng k lần tất cả các yếu tố đầu vào mà làm đầu ra cũng k lần, thì ta nói hiệu suất kinh tế không đổi theo quy mô.
• Nếu hàm sản xuất _ , là hàm thuần nhất bậc r, thì hiệu suất kinh tế theo quy mô được thể hiện theo r.
+ Nếu r > 1, thì hiệu suất kinh tế tăng theo quy mô. + Nếu r = 1, thì hiệu suất kinh tế không đổi theo quy mô. + Nếu r < 1, thì hiệu suất kinh tế giảm theo quy mô.
82
$10. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC
Khi tìm hiểu về hàm một biến ta thấy đạo hàm của hàm số có ứng dụng trong việc tìm cực trị và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. Ở phần này, ta sẽ thấy đạo hàm riêng của hàm nhiều biến được ứng dụng trong việc xác định cực trị của hàm hai biến và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến.
10.1 CỰC TRỊ TỰ DO VÀ ỨNG DỤNG
1. Định nghĩa và điều kiện cần
Quan sát đồ thị của hàm § , sau đây.
Từ đồ thị ta thấy: có hai điểm (a, b) mà tại đó đạt
cực đại địa phương, tức là điểm mà /, Z lớn hơn các giá trị của tại lân cận của điểm (a, b). Tương tự, có hai điểm cực tiểu địa phương.
ĐỊNH NGHĨA Cho § , là hàm xác định trên .
+ Điểm /, Z trong được gọi là điểm cực đại địa phương (gọi tắt là điểm cực đại) nếu tồn tại một hình tròn (C) tâm là (a, b) sao cho /, Z F , với mọi (x, y) thuộc (C).
Khi đó số /, Z được gọi là giá trị cực đại địa phương (giá trị cực đại) của f.
+ Điểm /, Z trong được gọi là điểm cực tiểu địa phương(gọi tắt là điểm cực tiểu) nếu tồn tại một hình tròn (C) có tâm là (a, b) sao cho /, Z # , với mọi (x, y) thuộc (C).
Khi đó số /, Z được gọi là giá trị cực tiểu địa phương (giá trị cực tiểu).
Chú ý: + Nếu các bất đẳng thức trong định nghĩa trên đúng với mọi (x, y) trong tập xác định, thì ta nói (a, b) là điểm cực trị toàn cục. Tức là giá trị lớn nhất (nếu là điểm cực đại), giá trị nhỏ nhất (nếu là điểm cực tiểu) trên tập xác định.
+ Nếu tồn tại một hình tròn (C) có tâm là A(a, b) sao cho trừ điểm A ra ta luôn có /, Z @ , (hoặc /, Z O , thì điểm A là điểm cực trị thực sự hay cực trị ngặt; còn nếu trong
mọi hình tròn có tâm A có những điểm khác sao cho dấu bằng xảy ra thì A là điểm cực trị không thực sự.
Trong phần hàm một biến ta có điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại một điểm là: Đạo hàm tại điểm đó bằng 0 (nếu tồn tại). Tương tự, trong hàm hai biến thì định lý sau đây cho ta một điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (a, b).
Định lý(Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại một điểm)
Nếu hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu tại (a, b) và tồn tại các đạo hàm riêng cấp 1 tại điểm đó, thì
*
E/, Z 0 và *ý/, Z 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Từ định lý này, ta thấy điểm (a, b) trong tập xác định của hàm số muốn là điểm cực trị thì trước tiên phải là điểm mà tại đó ít nhất một đạo hàm riêng không tồn tại hoặc các đạo hàm riêng tồn tại và đều bằng 0, điểm như thế gọi là điểm tới hạn.
Tuy nhiên điểm dừng chưa chắc là điểm cực trị.
83
VÍ DỤ 1 Hàm , ' ! 2 ! 6 ' 14, có điểm dừng duy nhất là (1, 3). Đồng thời, ta có