Một số khái niệm chung

, Ò ÒÒ Ä 1) Dạng khuyết

1. Một số khái niệm chung

Nếu ta cộng các số hạng của một dãy vô hạn /W ta được một biểu thức dạng

(1) /=' /' /r' X ' /W' X gọi là một chuỗi vô hạn (hoặc ngắn gọn là một chuỗi) và ký hiệu bởi

ù /W Š W‰=

hoặc ù /W Trước hết, ta làm rõ thế nào là một tổng của vô hạn các số hạng. + Chuỗi sau không thể có kết quả là một số thực

1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' X ' Q ' X

bởi vì nếu ta bắt đầu cộng các số hạng từ đầu, ta được các tổng tích lũy (hay còn gọi là các tổng riêng) là 1, 3, 6, 10, 15, 21,… , tổng từ đầu cho đến số hạng thứ n là n(n+1)/2, tổng này càng lớn nếu n càng lớn.

+ Tuy nhiên, với chuỗi sau thì lại khác, nếu ta cộng như cách ở trên đối với dãy 1

2 '14 '18 '16 '1 32 '1 64 X ' X1 21W' X

thì ta được các tổng riêng là =,r‡,>,=8=\,r=r,\r\‡, … ,1 !=×, …Bảng dưới đây chỉ ra rằng khi ta cộng ngày càng nhiều các số hạng thì các tổng riêng dần đến số 1.

n Tổng của n số hạng đầu tiên 1 2 3 4 5 6 7 10 15 20 25 0,50000000 0,75000000 0,87500000 0,93750000 0,96875000 0,98437500 0,99218750 0,99902344 0,99996948 0,99999905 0,99999997

Bằng cách cộng đủ nhiều các số hạng đầu tiên của chuỗi ta được các tổng riêng gần 1 một cách tùy ý. Đó là lý do ta nghĩ đến việc tổng của chuỗi vô hạn này là 1 và viết

ù21W

ŠW‰= W‰=

1

2 '14 '18 '16 '1 32 '1 64 X ' X1 21W' X 1

Ta sẽ dùng ý tưởng tương tự để xác định chuỗi (1) có tổng là số hữu hạn hay không. Ta xét các tổng riêng ò= /= ò /=' / òr /=' /' /r ò‡ /=' /' /r' /‡ và tổng quát, òW /=' /' /r' /‡' X /W ù /Þ W މ=

148

Các tổng riêng này lập thành một dãy số mới òW, dãy này có thể hội tụ hoặc không. Nếu tồn tại limW’ŠòW ò (giới hạn là một số thực), thì ta gọi s là tổng của chuỗi vô hạn ∑/W.

(2) ĐỊNH NGHĨA Cho chuỗi ∑ŠW‰=/W= /=' /' /r' /‡' X, đặt òW là tổng riêng thứ n: òW /=' /' /r' /‡' X /W ù /Þ

Wމ= މ=

.

Nếu dãy òW hội tụ và limW’ŠòW ò là một số thực, thì chuỗi ∑ŠW‰=/W được gọi là chuỗi hội tụ và viết

/=' /' /r' /‡' X /W' X ò (Îặ[ ù /Þ Š މ=

ò Số s được gọi là tổng của chuỗi.

Ngược lại, thì chuỗi được gọi là phân kỳ.

Như vậy, ta viết ∑Š=‰@í= b thì hiểu là khi cộng càng nhiều các số hạng của chuỗi (theo thứ tự

kể từ số hạng đầu) ta được số gần s một cách tùy ý. Lưu ý rằng ù /Þ Š މ= limW’ŠòW limW’Šù /Þ W މ=

VÍ DỤ 1 Một ví dụ quan trọng về chuỗi vô hạn là chuỗi hình học, chuỗi hình học được xác định như sau:

/ ' / ' /' /r' X ' /W.=' X ù /W.= Š

W‰=

; / ) 0

Mỗi một số hạng nhận được bằng cách lấy số hạng liền trước nhân với số cố định r.(Ta đã xét trường hợp đặc biệt với / = và =.) Với a, r là các số đã biết.

Sau đây, ta biện luận về tính hội tụ của chuỗi hình học theo r.

Nếu r = 1, thì òW / ' / ' X ' / Q/ ’ ¸∞. Bởi vì limW’ŠòW không tồn tại nên chuỗi hình học phân kỳ.

Nếu ) 1, thì òW / ' / ' /' /r' X ' /W.= và òW / ' /' /r' X ' /W.=' /W

Trừ vế cho vế hai đẳng thức trên, ta được

òW! òW / ! /W (3) òW+=.¡=.¡=.¡+ !=.¡+ W. Nếu -1 < r < 1, thì W’ 0 khi Q ’ ∞, do đó lim W’ŠòW limW’Š/1 ! 1 ! W 1 ! !/ 1 ! lim/ W W’Š 1 ! / Như vậy, khi || O 1 thì chuỗi hình học hội tụ và tổng của nó là a/(1 - r).

Nếu # !1 hoặc r > 1, thì W không hội tụ nên từ (3) suy ra limW’ŠòW không tồn tại, tức là chuỗi hình học phân kỳ.

Các tình huống trong Ví dụ 1 được tổng kết trong bảng sau đây, sau này được dùng mà không phải chứng minh lại (4) Với chuỗi hình học / ' / ' /' /r' X ' /W.=' X ù /W.= Š W‰= ; / ) 0.

149 Nếu | r | < 1, thì hội tụ và tổng của nó là ∑Š /W.=

W‰= =.¡+ .Nếu || F 1, thì chuỗi hình học phân kỳ. Nếu || F 1, thì chuỗi hình học phân kỳ.

VÍ DỤ 2 Tìm tổng của chuỗi hình học sau

5 !103 '209 !4027 ' X

GIẢI Số hạng đầu là a = 5 và r = -2/3. Vì || rO 1 nên theo (4) ta được chuỗi đã cho hội tụ và tổng của nó là 5 !103 '209 !4027 ' X 5 1 ! ;! 23< 5 5 3 3 ■

Khi ta nói tổng của chuỗi trong Ví dụ 2 là 3, thì có nghĩa là gì? Tất nhiên, ta không thể cộng tất cả các số hạng trong chuỗi vì có vô hạn số hạng. Nhưng, theo Định nghĩa 2, tổng của chuỗi là giới hạn

của dãy tổng riêng. Vì thế, bằng cách lấy tổng của n số hạng đầu tiên với n càng lớn, ta sẽ được số gần với 3 một cách tùy ý. Bảng sau chỉ ra tổng riêng của 10 phần tử và Hình 1 cho thấy dãy tổng riêng hội tụ về 3.

HÌNH 1 VÍ DỤ 3 Chuỗi ∑Š 2W3=.W VÍ DỤ 3 Chuỗi ∑Š 2W3=.W

W‰= hội tụ hay phân kỳ?

GIẢI

+ Ta thấy 2W3=.W r‡¯¨ 4 ;‡r<W.=

+ Nên chuỗi đã cho là chuỗi hình học với a = 4 và r = 4/3.

+ Vì r > 1 nên chuỗi đã cho phân kỳ. ■ Ta có thể xác định a và r bằng cách viết ra các số hạng đầu tiên:

4 '163 '649 ' X

VÍ DỤ 4 Viết số 2,317~~~~ 2, 317171717 … dưới dạng phân số.

GIẢI

2,3171717 … 2,3 '1017r'10178'1017' X

Không kể số hạng đầu thì ta có một chuỗi hình học với / =?=u, =?=:. Nên ta có 2,317~~~~ 2,3 ' ¨øu¨õ =.¨ø:¨ 2,3 '¨øøø¨õ cc ¨øø r=?'ŽŽ?= ==‡‡Ž8 ■ n sn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5,000000 1,666667 3,888889 2,407407 3,395062 2,736626 3,175583 2,882945 3,078037 2,947975

150

VÍ DỤ 5 Tìm tổng của chuỗi ∑Š W

ˆ‰? , trong đó | x | < 1.

GIẢI Lưu ý rằng, chuỗi này bắt đầu bởi số hạng với n = 0 và số hạng đầu tiên là ? 1. (Với một chuỗi, ta chấp nhận quy ước > @ ngay cả khi x = 0.) Vì thế

ù W Š ˆ‰?

1 ' ' ' r' ‡' X

Đây là một chuỗi hình học với a = 1 và r = x. Do | r | = | x | < 1 nên chuỗi này hội tụ và

(5) ∑Š W

ˆ‰? =.E= ■

VÍ DỤ 6 Hãy chỉ ra rằng chuỗi ∑Š WW,==

W‰= hội tụ, hãy tìm tổng của chuỗi.

GIẢI Chuỗi này không phải là chuỗi hình học, vì thế ta phải xét theo định nghĩa của chuỗi hội tụ bằng cách tính các tổng riêng.

òW ù,,' 11

Wމ= މ=

1 · 2 '1 2 · 3 '1 3 · 4 ' X '1 Q · Q ' 11Ta có thể đơn giản hóa biểu thức này bằng cách dùng: Ta có thể đơn giản hóa biểu thức này bằng cách dùng:

1

,,' 1 1, !,' 11Do đó, ta có Do đó, ta có

Lưu ý rằng các số hạng được giản ước theo cặp. Do đó limˆ’ŠòW limˆ’Š;1 !W,== < 1 ! 0 1 Thế nên, chuỗi đã cho hội tụ và ∑Š WW,==

W‰= 1 ■

Đồ thị của dãy /W 1/$QQ ' 1& và dãy tổng riêng òW nói trong Ví dụ 6 được minh họa trong Hình 2. Ta nhận thấy rằng /W ’ 0 còn òW’ 1.

HÌNH 2 VÍ DỤ 7 Hãy chứng minh rằng chuỗi điều hòa VÍ DỤ 7 Hãy chứng minh rằng chuỗi điều hòa

ù1Q Š W‰= 1 '12 '13 '14 ' X là chuỗi phân kỳ. GIẢI ò= 1 ò 1 '12 ò‡ 1 '12 ' k13 '4l @ 1 ' 1 '1 12 ' k14 '14l 1 '22

151 ò> 1 '12 ' k13 '4l ' k1 15 '16 '17 '18l @ 1 '2 ' k1 14 '14l ' k18 '18 '18 '18l 1 '12 '12 '12 1 '32 ò=\ 1 '12 ' k13 '14l ' k5 '1 16 '17 '18l ' k19 ' X '16l1 @ 1 '12 ' k14 '14l ' k18 '18 '18 '18l ' k16 ' X '1 16l 1 '1 12 '12 '12 '12 1 '42 Tương tự, òr @ 1 '8, ò\‡@ 1 '\, tổng quát ò @ 1 'Q2

Điều này chỉ ra rằng ò ’ ∞ d(, Q ’ ∞ và do đó dãy òW là phân kỳ. ■ Phương pháp được sử dụng trong Ví dụ 7 để chỉ ra rằng chuỗi điều hòa phân kỳ là của học giả người Pháp Nicole Oresme (1323 - 1382).