II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CẤ PI 1)Phương trình phân li biến số
3) Phương trình vi phân tuyến tính
Định nghĩa:Là phương trình có dạng
Ò' 3 trong đó , là các hàm số liên tục.
Nếu y 0, thì được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất.
Cách giải:
Bước 1: Giải Ò' 0 4, gọi là phương trình thuần nhất cấp 1 tương ứng.
+ y 0 là một nghiệm;
137
Là phương trình với biến số phân li, có tích phân tổng quát là: ln|| !+ ´ ' ln|2| với C là hằng số tùy ý khác 0.
ln|| !+ ´ ' ln|2| s || ½.*ôEoE· ½ |0| |2|½.*ôEoE
s ¸2½.*ôEoE ½.*ôEoE ¸2, ) 0 Tóm lại: Phương trình (4) có nghiệm tổng quát là
½.*ôEoE với mọi hằng số K.
Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình (3) có ở dạng ½.*ôEoE. Đạo hàm hai vế:
Ò Ò½.*ôEoE! · ½.*ôEoE· Thay vào (3), ta được:
Ò · ½.*ôEoE! · ½.*ôEoE· ' · · ½.*ôEoE Suy ra:
Ò · ½*ôEoE Do đó:
+ · ½*ôEoE´ ' 2
Kết luận: Nghiệm tổng quát của (3) là
6+ · ½*ôEoE´ ' 27· ½.*ôEoE
Lu ý: + Người ta chứng minh được rằng nghiệm tổng quát của (3) ở dạng trên vét hết mọi nghiệm của (3) khi C thay đổi. Mỗi tích phân bất định trong công thức nghiệm nói trên ta chỉ cần tìm một hàm.
+ Khi giải phương trình cụ thể, ta có quyền áp dụng công thức nghiệm ở trên. Khi đó * ´ ta chỉ lấy nguyên hàm với hệ số bất định là 0.
VÍ DỤ 7 Giải phương trình a) Ò!ýE , @ 0
b) oýoEE.ý=:.
Giải a) Phương trình đã cho là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 với !1 ; .
Nên nghiệm tổng quát là
6+ · ½*.=E oE´ ' 27· ½.*.=E oE 6+ · ½. E´ ' 27· ½ E *´ ' 2 ' 2
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là ' 2. b)Coi x là hàm của y, thì ta được oýoEE.ý= :s Ò! !. Đây là phương trình vi phân tuyến tính, nghiệm tổng quát là
138
½ý6½.ý!+½.ý2´ ' 27 ½ý6½.ý' 2+´½.ý ' 27
½ý$½.ý' 2½.ý' ½.ý' 2& Vậy nghiệm tổng quát là
½ý$½.ý' 2½.ý' ½.ý' 2&
