II. Chứng minh
$4 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
Biên soạn: NGUYỄN VĂN ĐẮC
4.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số
Bài toán tìm tiếp tuyến với đường cong tại một điểm và bài toán tìm vận tốc tức thời của một vật chuyển động cùng dẫn đến việc phải tìm giới hạn cùng kiểu. Giới hạn kiểu đó nếu tồn tại được gọi là đạo hàm.
Tiếp tuyến của một đường cong:
Cho đồ thị (C) của hàm số y = f(x), ta muốn tìm tiếp tuyến với (C) tại P(a, f(a)), trước hết ta xét một điểm Q(x, f(x)) gần điểm P và đi tính hệ số góc của cát tuyến PQ:
V]^ ! / ! /
Cho Q tiến đến P dọc theo đường cong bằng cách cho x tiến đến a. Nếu V]^ tiến đến số m, thì ta xác định được tiếp tuyến là đường thẳng đi qua P với hệ số góc là m.
Như vậy, để xác định được tiếp tuyến ta phải đi tìm giới hạn: lim
E+
! / ! /
Đặt ∆ ! /, chính là lượng thay đổi của biến độc lập, và gọi là số gia biến độc lập thì ta có lim E+ ! / ! / lim∆E? ∆ ' / ! / ∆
Vận tốc tức thời: Một vật chuyển động trên một đường thẳng với phương trình chuyển động là
s = f(t), trong đó s là quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian là t. Hàm f mô tả quãng đường của vật đi được sau khoảng thời gian là t và được gọi là hàm định vị của vật. Trong khoảng thời gian từ t = a đến t = a + ∆| vật đi được một quãng đường là f(a + ∆|) – f(a).
46
Nếu ta tính vận tốc trung bình trong khoảng thời gian [a, a + ∆|] ngày càng ngắn, nghĩa là ∆| càng gần 0, thì ta càng thấy rõ được vận tốc của vật tại thời điểm gần thời điểm a. Ta gọi vật tốc tại thời điểm a, ký hiệu bởi v(a), là giới hạn lim∆}?*+,∆}.*+∆} , nếu tồn tại.
Đặt | / ' ∆|, ta được:
Ù/ lim}+| ! /| ! / lim∆}?/ ' ∆| ! /∆|
Trong cả hai tình huống trên đều dẫn đến cùng một kiểu giới hạn, kiểu giới hạn này còn xuất hiện trong hóa học, kinh tế,..từ đó nảy sinh nhu cầu tìm hiểu về giới hạn
lim
∆E?
∆ ' / ! / ∆
của một hàm nói chung, nếu giới hạn này tồn tại thì được gọi là đạo hàm của hàm số tại a. Khái niệm này được phát biểu trong định nghĩa sau đây.
ĐỊNH NGHĨA Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại số a, được ký hiệu là f’(a), là Ò/ lim∆E?∆ ' / ! /∆
nếu giới hạn tồn tại.
Từ định nghĩa đạo hàm của hàm số ta thấy: Hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong (C) tại
P(a, f(a)) chính là bằng đạo hàm của f tại a: f’(a); vận tốc tại thời điểm a của vật chuyển động theo
phương trình s = f(t) chính là v(a) = f’(a).
CHÚ Ý: Đặt ∆ ' /, ta được
Ò/ limE+ ! / ! /
Tìm hiểu thêm về khái niệm đạo hàm