, 4' ! 1' !3 Nên (1 3) là điểm cực tiểu.
2. Tích phân hàm lượng giác
Đa thức hai biến là hàm hai biến có dạng: R, Ù ∑ ∑Þ //Þ/RÞÙ/.
Phân thức hữu tỷ hai biến là thương của hai đa thức hai biến: R, Ù ]Û,^Û,
Quy ước: Viết , D thì hiểu R, Ù là phân thức hữu tỷ hai biến.
Dạng *sin , cos ´:
a) Phương pháp chung là đặt | tanE.
Khi đó: sin =,}}:, cos =.}=,}::, 2 arctan | , ´ =,}o}:. Chuyển tích phân đã cho thành tích phân phân thức với biến t.
107
VÍ DỤ 9 Tìm *À E äÓ EoE .
Giải
đặt | tanE.
Khi đó: sin =,}}:, cos =.}=,}::, 2 arctan | , ´ =,}o}:. Nên +sin cos ´ + 2´| 1 ' | 2| 1 ' |. 1 ! |1 ' |´| + 1 ' | |1 ! | ´| + 61| !| ! 1 !1 | ' 11 7´| ln1 ! |2| ln| tan | ' 2 b) Các trường hợp riêng
b1) sin , cos là hàm lẻ đối với sin , thì đặt | cos ; sin , cos là hàm lẻ đối với cos , thì đặt | sin .
VÍ DỤ 10
+sin´ cos , +sin cos´
Giải
+ Đặt | sin ; ´| cos ´, ta được
+sin´ cos +sin 1 ! sincos ´ +|1 ! |´|
*w}=:'=,}= '=.}= x ´| !=}'=ln },=}.= ' 2 !sin '1 12 lnsin ' 1sin ! 1' 2
+ Đặt | cos ; ´| ! sin ´, ta được
+sin cos´ +sinsin ´ cos +1 ! |!´||
1| !12 ln| ' 1| ! 1' 2 cos '1 12 lncos ' 1sin ! 1' 2.
b2) sin , cos thỏa mãn: !sin , !cos sin , cos : Đặt | tan . VÍ DỤ 11 Tìm *À:E äÓoE :E Giải Đặt | tan ; ´| äÓ=:E´ Ta có À=:E 1 ' cot 1 'Íf=:E Nên *À:E äÓoE :E*1 '}=: ´| | !=}' 2 tan !Íf E= ' 2
b3) sin , cos là một trong các dạng: sin V cos Q ; sin V sin Q ; cos V cos Q. Dùng công thức tích thành tổng.
b4) sin , cos sinÁ cos: Nếu có một số lẻ (trong hai số m, n), chẳng hạn sinr thì lấy một thừa số sin đưa vào dấu vi phân, phần còn lại đổi hết ra cos . Nếu cả hai số đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc.
108
VÍ DỤ 12 Tìm:
+sin cos ´.
Giải
14+sin2 cos ´ 18+sin2 1 ' cos 2´ 161 +1 ! cos 4´ '161 +sin2 ´ sin 2 16 !1 64 sin 4 '1 48 sin1 r ' 2.
b5) sin , cos À8E äÓ= ×E:
Dùng 1 cos ' sin, để hạ dần số mũ ở dưới mẫu.
VÍ DỤ 13 Tìm
+sin cos´
Giải
+sin cos´ +cossin ' sin cos´
+sin cos´ '+cos´ +sin´ '+cos´ '+1 ' tan ´tan ! cot ' 2 tan 'tan3 ' 2.r
b6) sin , cos là tan9 hoặc Íf=:E, k là số nguyên dương: Hạ dần lũy thừa bằng cách dùng ´tan äÓ=:E´ 1 ' tan´ Hoặc ´cot !À=:E´ !1 ' cot´.
VÍ DỤ 14 Tìm
+cot8 ´
Giải
+cot8 ´ +cotr cot ' 1 ! 1´ !+cotr ´cot !+cotr ´
!cot4 ! +cot cot ' 1 ! 1´ !cot4 ' cot2 ' ln | sin | ' 2