Các phương pháp chứng minh cĩ thể chia thành hai loại: chứng minh trực tiếp và chứng minh gián tiếp.
1. Chứng minh trực tiếp
Chứng minh trực tiếp là phép chứng minh trong đĩ từ tính chân thực của các luận cứ rút ra tính chân thực của luận đề mà khơng dùng đến phản luận đề.
49 Văn Tân, Nguyễn Hồng Phong, Nguyễn Đổng Chi, dẫn theo Hồ Xuân Hương, Bà Huyện Thanh Quan, Sương Nguyệt Ánh, NXB Văn Nghệ TP HCM, tr. 43.
Ví dụ 5. Cĩ sáu người, trong đĩ hai người bất kỳ nào cũng hoặc là bạn của nhau, hoặc là kẻ thù của nhau. Ta chứng minh rằng trong số sáu người này cĩ 3 người là bạn lẫn nhau, hoặc cĩ 3 người là kẻ thù lẫn nhau.
Giải. Gọi A là một người trong số 6 người đã nêu. Trong 5 người cịn lại phải cĩ ít nhất 3 người bạn của A, hoặc cĩ ít nhất 3 kẻ thù của A, vì nếu cả số bạn và số thù của A đều nhỏ hơn 3 thì tổng số của họ nhỏ hơn 5. Với trường hợp 1, ta gọi 3 người trong số bạn của A là B, C, D. Nếu trong số này cĩ một cặp nào đĩ là bạn của nhau thì cùng với A họ hợp thành nhĩm 3 người bạn lẫn nhau. Ngược lại, nếu trong 3 người B, C, D khơng ai là bạn của ai thì họ chính là nhĩm 3 người thù lẫn nhau. Với trường hợp cĩ ít nhất 3 kẻ thù của A chứng minh tương tự.
Phương pháp chứng minh trực tiếp chỉ sử dụng thơng tin cĩ trong các luận cứ nên khĩ tiến hành, thường hay lạc hướng.
2. Chứng minh gián tiếp
Chứng minh gián tiếp là phép chứng minh trong đĩ từ tính chân thực của các luận cứ rút ra tính giả dối của phản luận đề, rồi từđây rút ra tính chân thực của luận đề. Trong phép chứng minh gián tiếp, vì cĩ sử dụng thơng tin chứa trong phản luận đề nên ít khi bị lạc hướng, dễ thực hiện hơn.
Hai phương pháp chứng minh gián tiếp thường gặp là chứng minh bằng phản chứng và chứng minh phân liệt. Khi chứng minh bằng phản chứng một luận đề, người ta xuất phát từ giảđịnh nĩ sai, nghĩa là phản luận đềđúng. Từđây, cùng với các luận cứ người ta đi đến một nghịch lý. Nghịch lý này chứng tỏ điều giả định là sai, và như vậy điều ngược lại với nĩ - tức là luận đề - đúng. Chứng minh bằng phản chứng cĩ sơđồ như sau. Gọi B1, B2, … , Bn là các luận cứ, A là luận đề, C là mệnh đề nào đĩ, khi đĩ: ¬ A, B1, B2, … , Bn C ¬ A, B1, B2, … , Bn ¬ C A Trong sơđồ này nếu từ giả định phản luận đề¬A và các luận cứ B1, B2, … , Bn vừa cĩ thể rút ra mệnh đề C nào đĩ, vừa cĩ thể rút ra phủđịnh của C, tức là ¬C, thì cĩ thể rút ra luận đề A. Ví dụ 6. Nếu 7n + 3 là số lẻ thì n là số chẵn.
Chứng minh: Giả sử luận đềđã cho sai. Khi đĩ 7n + 3 là số lẻ, nhưng n là số lẻ. Vì n lẻ nên n = 2k - 1, với k là số tự nhiên nào đĩ. Khi đĩ 7n + 3 = 7(2k - 1) + 3 = 14k - 4 = 2(7k - 2). Như vậy 7n + 3 là số
chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả định 7n + 3 lẻ. Vậy khơng thể nĩi luận đềđã cho sai, hay nĩi cách khác , luận đềđã cho đúng.
Chứng minh bằng phản chứng là phương pháp chứng minh rất thường được sử dụng trong tốn học và các lĩnh vực khác. Tuy nhiên trong logic kiến thiết và tốn học kiến thiết, tốn học trực giác, phương pháp chứng minh này lại khơng được chấp nhận. Điều này liên quan đến quan điểm về sự tồn tại của các đối tượng lý tưởng, trong các ngành khoa học vừa nêu, đối tượng được coi là tồn tại khi và chỉ khi cĩ thể chỉ ra phương pháp xây dựng nĩ qua một số bước hữu hạn.
Chứng minh phân liệt là chứng minh một mệnh đề tuyển cĩ chứa luận đề và loại bỏ tất cả các khả năng, ngoại trừ khả năng của luận đề. Nĩi cách khác, đây là phép chứng minh dựa trên quy tắc tam đoạn luận lựa chọn:
A ∨ B1 ∨ B2, ¬ B1, ¬ B2 A
Ví dụ 7. Cĩ một vụ cháy trong thành phố. Cơ quan điều tra chứng minh rằng nguyên nhân gây ra vụ cháy này là bất cẩn khi đun nấu. Vì quá trình điều tra trước hết đã cho thấy rằng nguyên nhân của vụ cháy này là do bất cẩn khi đun nấu, hoặc do sự cố vềđiện, hoặc do cĩ kẻ cố tình đốt. Sau đĩ đã xác định được thêm rằng lúc xảy ra vụ cháy này khơng hề cĩ sự cố vềđiện nào, nguyên nhân cĩ kẻ cố tình đốt cũng bị loại trừ, vậy chỉ cịn lại khả năng cháy do bất cẩn khi đun nấu.
Khi áp dụng phương pháp chứng minh phân liệt trong các lĩnh vực của đời sống cần phải đặc biệt lưu ý đến tính chân thực của tiền đề dạng tuyển. Chính vì trong cuộc sống thực tế nhiều khi khơng thểđảm bảo tính chân thực tuyệt đối của các mệnh đề dạng này nên tính thuyết phục của chứng minh phân liệt bị hạn chế. Đây cũng chính là lý do làm cho chứng minh phân liệt chỉđược chấp nhận một cách hạn chế trong hoạt động tư pháp. Chẳng hạn, tịa án khơng thể chấp nhận phép chứng minh phân liệt để buộc tội cho một bị cáo trong câu chuyện sau đây. Trên một hịn đảo nọ chỉ cĩ 3 người A, B, C. Người C bị giết chết. Thủ phạm giết người chỉ là A hoặc B. Cơ quan điều tra xác định được rằng A khơng phải là thủ phạm, vậy chắc chắn B là thủ phạm.