III. Hợp giải
3.Cây hợp giải Hợp giải tuyến tính
Phương pháp hợp giải như đã trình bày trên đây cĩ nhược điểm là ở các bước cĩ thể xuất hiện những resolvent khơng cần thiết đối với việc đi đến kết luận. Khi áp dụng quy tắc hợp giải vào tất cả các cặp cơng thức cĩ thể áp dụng được, số lượng các resolvent tăng lên rất nhanh chĩng, cĩ thể bùng nổ tổ hợp. Để tránh điều này, R.A. Kowalski đưa ra phương pháp hợp giải tuyến tính. Ởđây, khác với hợp giải thơng thường, trước hết ta xác định một cơng thức từ tập {A1, A2, … , An, ¬B} cĩ thể cùng với ¬ B áp dụng quy tắc hợp giải. Được resolvent B1 , thêm nĩ vào tập cơng thức đã cĩ, lại xác định một cơng thức từ tập {A1, A2, … , An, ¬B, B1} cĩ thể cùng B1 áp dụng quy tắc này. Cứ tiếp tục như thế cho đến khi được resolvent rỗng, hoặc khơng thể tiếp tục vì khơng tìm ra cơng thức cần tìm, hoặc việc tiếp tục chỉ lặp lại các kết quả đã cĩ. Kowalski đã chứng minh được định lý: Từ tập tiền đề khơng mâu thuẫn {A1, A2, … , An} và kết luận B phương pháp hợp giải tuyến tính làm xuất hiện resolvent rỗng khi và chỉ khi phương pháp hợp giải thơng thường làm xuất hiện resolvent rỗng. Nghĩa là hồn tồn cĩ thể dùng hợp giải tuyến tính thay cho hợp giải thơng thường.
Các lời giải bài tốn bằng phương pháp hợp giải cĩ thể biểu diễn dưới dạng hình vẽ dạng cây, trong đĩ chỉ nêu ra các cơng thức cần thiết đểđi đến kết luận, những cơng thức khác khơng cần nêu lên. Chẳng hạn, lời giải trên đây và một lời giải khác của ví dụ (i) được biểu diễn dưới dạng cây thành:
Dạng biểu diễn cây của các lời giải như thế được gọi là cây hợp giải. Mỗi lời giải của bài tốn tương ứng với một cây hợp giải.
Để tìm lời giải của bài tốn, nghĩa là để xây dựng cây hợp giải tuyến tính, người ta sử dụng kỹ thuật quay lui (backtracking).
Dãy liên tục các resolvent trong hợp giải tuyến tính gọi là một nhánh. Nhánh này gọi là nhánh cụt, hay nhánh thất bại, nếu nĩ kết thúc bằng một cơng thức nào đĩ khác . Nhánh này gọi là nhánh tuần hồn, nếu đến một lúc nào đĩ bắt đầu lặp lại các resolvent đã cĩ từ trước. Nhánh tuần hồn cũng là nhánh thất bại. Nhánh kết thúc bằng gọi là nhánh thành cơng.
Giả sử việc áp dụng quy tắc hợp giải vào cặp cơng thức Bi-1 với một cơng thức khác cho ta kết quả Bi. Khi đĩ từ tập các cơng thức đang khảo sát ở bước này xác định một tập con các cơng thức cĩ thể cùng với Bi tạo thành cặp để áp dụng quy tắc hợp giải. Ta chọn trong tập con này một cơng thức, áp dụng quy tắc hợp giải cho cặp cơng thức vừa chọn và Bi, được resolvent Bi+1. Với Bi+1 lại xác định tập con cơng thức cĩ thể tạo cặp để áp dụng quy tắc hợp giải. Quá trình cứ vậy tiếp diễn. Nếu tất cả các nhánh con bắt đầu từ Bi+1 đều thất bại thì quay trở lại với Bi. Bây giờ ta chọn cơng thức khác tạo cặp với Biđể áp dụng quy tắc hợp giải. Nếu tất cả các nhánh con bắt đầu từ Bi cũng đều thất bại, thì tiếp tục quay lui đến Bi-1. Bằng cách này sẽ tìm được nhánh thành cơng, tức là xây dựng được cây hợp giải tuyến tính, nếu nĩ tồn tại.
Ví dụ 4. Xây dựng cây hợp giải tuyến tính rút ra r từ tập cơng thức
{¬ s ∨ r, ¬ p ∨ q, ¬ q ∨ r, p, u ∨ r, w ∨ s }
Giải. Sơđồ tìm kiếm lời giải như sau, trong sơđồ này các dấu chấm chấm vịng cung chỉ các quay lui.
Sơđồ trên đây cho thấy lúc đầu ta đi từ ¬ rđến u. Đây là nhánh cụt, vì thế quay trở lại ¬ r. Từđây đi đến ¬ s, từ ¬ sđi đến w, rồi lại quay vềs vì là nhánh cụt. Từ ¬ sđi theo hướng khác đến u, đây cũng là nhánh cụt, nên quay về ¬ s. Vì các khả năng khác đi từ ¬ sđã hết, nên quay tiếp về ¬ r. Từđây đi đến ¬ q. Từ ¬ qđi đến
p, đi tiếp đến , đây là nhánh thành cơng. Cây hợp giải tuyến tính cần xây dựng được biểu diễn bằng các đường kẻ liền trong hình.
Lưu ý : Vì các quy tắc hợp giải chỉ áp dụng cho các cơng thức dạng tuyển (các cơng thức chỉ chứa dấu phủ định và dấu tuyển, khơng cĩ dấu nào khác, hơn nữa, khơng cĩ phủđịnh của các cơng thức tuyển) nên để áp dụng phương pháp hợp giải, các cơng thức trong tập {A1, A2, … , An , ¬ B} trước hết phải được đưa về dạng tuyển. (Cơng thức dạng A & B được tách thành các cơng thức A, B, các dạng khác biến đổi nhưđã biết).
Chương 10
SUY LUẬN QUY NẠP
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CẤU TRÚC
1. Định nghĩa
Suy luận quy nạp là suy luận trong đĩ từ việc nhận thấy sự lặp đi lặp lại của một tính chất nào đĩ ở một sốđối tượng thuộc một lớp nhất định người ta rút ra kết luận chung rằng tồn bộ các đối tượng thuộc lớp đĩ đều cĩ tính chất đã nêu.
Trong suy luận quy nạp người ta đi từ nhiều cái riêng đến cái chung. Điều này giúp con người cĩ thể khái quát được các trường hợp riêng rẽ quan sát thấy trong khoa học và trong cuộc sống thành các quy luật chung, nghĩa là phát hiện ra các quy luật khách quan sau khi quan sát thấy nhiều biểu hiện cụ thể của chúng. Suy luận quy nạp và suy luận diễn dịch khơng loại trừ nhau, mà chúng bổ sung cho nhau. Vai trị của suy luận quy nạp đặc biệt quan trọng trong các khoa học thực nghiệm, chẳng hạn như sinh vật học, vật lý học, hố học, xã hội học, tâm lý học, … . Ngay cả trong tốn học, ngành khoa học bao giờ cũng sử dụng diễn dịch để chứng minh các định lý của mình, thì suy luận quy nạp cũng cĩ một vị trí quan trọng. Cĩ nhiều kết luận được các nhà tốn học tìm ra nhờ sử dụng suy luận quy nạp, và chỉ sau đĩ họ mới chứng minh chúng bằng diễn dịch.
2. Cấu trúc
Suy luận quy nạp cĩ cấu trúc như sau:
Đối tượng a1 cĩ tính chất P Đối tượng a2 cĩ tính chất P … Đối tượng an cĩ tính chất P Các đối tượng a1, a2, … , an thuộc lớp S Vậy mọi đối tượng thuộc lớp S đều cĩ tính chất P
Trong cấu trúc trên đây, nếu ngồi các đối tượng a1, a2, … , an ra lớp S
khơng cịn đối tượng nào khác, thì suy luận là quy nạp hồn tồn. Ngược lại, nếu ngồi các đối tượng đã nĩi lớp S cịn cĩ thêm các đối tượng khác thì suy luận là quy nạp khơng hồn tồn.
Trong quy nạp hồn tồn ta thấy kết luận khơng nêu lên điều gì mới mẻ so với các tiền đề, các thơng tin cĩ trong tiền đềđược phát biểu lại ở kết luận dưới
dạng gọn hơn mà thơi, ởđây khơng cĩ sự khái quát hố, khơng cĩ sự vượt ra bên ngồi các thơng tin đã cĩ. Chính vì vậy mà quy nạp hồn tồn cịn được gọi là quy nạp hình thức. Cũng vì tính chất này nên quy nạp hồn tồn cịn được một số nhà triết học và logic học cho rằng về thực chất khơng là quy nạp, mà là diễn dịch. Trong suy luận quy nạp hồn tồn nếu các tiền đềđều đúng thì kết luận chắc chắn đúng. Với quy nạp khơng hồn tồn thì tình hình khác hẳn. Ở đây kết luận khái quát hố các thơng tin đã cĩ trong các tiền đề, làm cho nĩ trở nên phong phú hơn. Cĩ những thơng tin cĩ trong kết luận mà khơng hề cĩ trong các tiền đề.
Ví dụ 1:
Trái đất quay quanh mặt trời theo quỹđạo hình elip Sao Hoả quay quanh mặt trời theo quỹđạo hình elip Sao Mộc quay quanh mặt trời theo quỹđạo hình elip Sao Thủy quay quanh mặt trời theo quỹđạo hình elip Vậy tất cả các hành tinh trong hệ mặt trời quay quanh mặt trời theo quỹđạo hình elip Ví dụ 2: 6 = 3 + 3 ( = tổng của hai số nguyên tố lẻ) 8 = 3 + 5 (= tổng của hai số nguyên tố lẻ) 10 = 5 + 5 (= tổng của hai số nguyên tố lẻ) 12 = 5 + 7 (= tổng của hai số nguyên tố lẻ) 14 = 3 + 11 (= tổng của hai số nguyên tố lẻ) 16 = 3 + 13 (= tổng của hai số nguyên tố lẻ) 6, 8, 10, 12, 14, 16 là các số chẵn khơng phải là số nguyên tố, cũng khơng là bình phương của một số nguyên tố
Vậy mọi số chẵn khơng phải là số nguyên tố, cũng khơng là bình phương của một số nguyên tốđều biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số nguyên tố lẻ
Trong suy luận quy nạp khơng hồn tồn (từđây về sau, để cho ngắn gọn, ta nĩi quy nạp thay vì nĩi quy nạp khơng hồn tồn), khác với suy luận diễn dịch, các tiền đềđúng và suy luận hợp quy tắc chưa đảm bảo kết luận chắc chắn đúng. Chẳng hạn, suy luận trong ví dụ 1 đảm bảo tính đúng đắn của kết luận, trong ví dụ 2, mặc dù các tiền đềđều đúng, nhưng cho đến nay vẫn chưa biết kết luận cĩ đúng hay khơng. Trong khi đĩ suy luận sau đây theo đúng các quy tắc logic và cĩ các tiền đề đều đúng, nhưng kết luận vẫn sai.
Ví dụ 3:
Hổđẻ con Mèo đẻ con Ngựa đẻ con
Bị đẻ con Chuột đẻ con
Hổ, mèo, ngựa, bị, chuột đều nuơi con bằng sữa Vậy tất cả các động vật nuơi con bằng sữa đều đẻ con