III. Hợp giải
2. Phương pháp hợp giải
Thực chất của phương pháp hợp giải là chứng minh bằng phản chứng. Để chứng minh rằng từ một tập tiền đề {A1, A2, … , An} cho trước cĩ thể rút ra kết luận B, ta thêm ¬B vào tập tiền đề này, được tập mới {A1, A2, … , An, ¬B}. Khi đĩ nếu trong tập mới nhận được cĩ mâu thuẫn thì phép chứng minh đã hồn tất. Nếu tập mới khơng cĩ mâu thuẫn thì khơng thể rút ra được ¬B từ {A1, A2, … , An}. Phương pháp hợp giải áp dụng quy tắc hợp giải để xác định xem tập cơng thức cĩ mâu thuẫn hay khơng.
Để xác định xem tập cơng thức cho trước {A1, A2, … , An, ¬B} cĩ mâu thuẫn khơng, ta áp dụng quy tắc hợp giải cho các cặp cơng thức của tập này. Các resolvent nhận được sẽ được thêm vào tập cơng thức, nếu chúng chưa cĩ trong tập cơng thức đĩ. Cứ áp dụng như vậy mãi cho đến khi cĩ được resolvent rỗng, cho biết tập cơng thức mâu thuẫn, hoặc đến lúc biết rằng khơng thể tìm ra được resolvent rỗng, nghĩa là tập cơng thức khơng mâu thuẫn.
Ví dụ (i): Xét xem từ tập tiền đề{p ∨ q, ¬p ∨ r, s, ¬ q ∨ r} cĩ thể rút ra kết luận r khơng?
Giải: Thêm ¬ r vào tập tiền đề, ta được tập cơng thức {p ∨ q, ¬p ∨ r, s, ¬ q ∨ r, ¬ r}.
Áp dụng quy tắc hợp giải cho cặp cơng thức p ∨ q và ¬p ta được resolvent q. Thêm nĩ vào tập cơng thức đã cĩ, rồi áp dụng quy tắc hợp giải cho phần tử mới q và ¬ q ∨ r, được r. Lại thêm nĩ vào tập hợp. Resolvent rỗng cĩ được khi áp dụng quy tắc hợp giải cho cặp cơng thức r và ¬r. Như vậy tập cơng thức mâu thuẫn. nghĩa là cĩ thể rút ra kết luận r từ tập tiền đề
{p ∨ q, ¬p ∨ r, s, ¬ q ∨ r} .
Ví dụ (ii): Xét xem từ tập tiền đề {¬p ∨ r∨ s, p} cĩ thể rút ra kết luận r
khơng?
Giải: Thêm ¬ r vào tập tiền đề, rồi áp dụng các quy tắc hợp giải, ta chỉ cĩ thêm được các cơng thức r ∨ s, ¬p ∨ s, và s. Nĩi cách khác, tập cơng thức cuối cùng của chúng ta sẽ là:
{¬p ∨ r∨ s, p, r ∨ s, ¬ p ∨ s, s}.
(iv) p ∨¬ q ∨¬ r ¬ p ∨ r
Resolvent rỗng khơng xuất hiện, như vậy, tập cơng thức này khơng cĩ mâu thuẫn, nghĩa là khơng thể rút ra r từ tập tiền đề
{¬ p ∨ r∨ s, p}.