- Định hướng 5: Trong quá trình thực hiện các biện pháp cần đảm bảo sự thống nhất giữa vai trò chủ đạo của thầy với vai trò tự giác, tích cực, chủ
3.3.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cách nhìn bài toán theo nhiền góc độ khác nhau, từ đó tìm nhiều cách giải, phân tích và chọn lọc cách giải hay cho
nhau, từ đó tìm nhiều cách giải, phân tích và chọn lọc cách giải hay cho một bài toán
Treo quan điểm của G. Polya thì ông cho rằng: “Để tìm cách giải, chúng ta phải thay đổi nhiều lần quan điểm và cách nhìn bài toán, chúng ta phải luôn thay đổi vị trí. Thoạt đầu quan niệm của chúng ta về bài toán rất có thể là không đầy đủ, quan niệm của chúng ta sẽ khác đi khi chúng ta đã thu được một số kết quả và còn khác đi nữa khi chúng ta sắp sửa nắm được cách giải” ([24], tr. 18).
Biện pháp này nói về chiến thuật giải một bài toán cụ thể, chủ yếu dành cho HS. Trong quá trình tiếp cận, khám phá khi giải toán thì học sinh không chỉ nhìn bài toán từ một góc độ mà phải xem xét từ nhiều phía, không chấp nhận một cách quen thuộc hoặc duy nhất. Từ đó luôn tìm tòi đề xuất được nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán. Giáo viên có nhiệm vụ định hướng cho các em, đặc biệt chỉ ra được lý giải tối ưu cho bài toán.
* Cơ sở khoa học cho vấn đề tìm nhiều lời giải đối với một bài toán.
Những công trình nghiên cứu về Triết học của Toán học đã khẳng định: Sự thiên biến vạn hóa nhưng có quy luật của hiện tượng có cùng bản chất, tuy mâu thuẫn đối lập nhau nhưng thống nhất với nhau: Đó là những cặp phạm trù “vận động và đứng yên” và “nội dung và hình thức”. Trong Toán học, cụ thể hơn trong giải toán, GS Nguyễn Cảnh Toàn đã chỉ rõ [35]: Vận động (vạn biến) chỉ mọi phép biến đổi, mọi cách giải (nếu có) của một bài toán, đứng yên (bất biến) chỉ mọi trạng thái không thay đổi - nội dung của bài toán, lấy cái bất biến để ứng và nghiên cứu các vạn biến. Do đó, trong giải toán hoàn toàn có khả năng tìm nhiều lời giải cho một bài toán. Khi một cách giải dài và phức tạp, ta có thể suy nghĩ ngay rằng có một cách giải khác sảng sủa và đạt kết quả nhanh hơn.
Như thế với một bài toán nếu chúng ta chịu khó suy nghĩ, tìm tòi, huy động kiến thức thì có thể tìm ra lời giải mới cho một bài toán. Có nhiều cách khai thác để tìm ra nhiều lời giải của bài toán.
Ví dụ 3.10: Chứng minh định lý về tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy
Vị trí kiến thức theo sách giáo khoa sắp xếp:
Giáo viên hướng dẫn học sinh chứng minh định lý tính chất đường phân giác theo trình tự như sách giáo khoa là dựa vào kiến thức bài trước vừa học trước đó, tức là dựa vào hệ quả của định lý Ta-Lét để chứng minh.
Cho ∆ABC
GT AD là tia phân giác của góc BAD ( D ∈ BC Kl DB AB
DC = AC
Giáo viên đặt vấn đề để học sinh đi kẻ đường thẳng phụ:
GV: Ta có hai cạnh DC và DA của tam giác ADC tỉ lệ với hai cạnh DB và AB của tam giác
ABD. Vậy để áp dụng hệ quả của định lý Ta-Lét vào ∆ADC ta phải là như thế nào?
Học sinh: kẻ một đường thẳng cắt hai cạnh của ∆ADC và song song với cạnh còn lại.
Chứng minh:
Cách 1: Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại điểm E
Ta có: BAE CAE gt· =· ( )
Hệ quả định lý Ta-Let Tính chất đường phân giác Hai tam giác đồng dạng
ED D
CB B
· ·
BEA CAE= ( so le trong ).
=> ∆ABE cân tại B, suy ra BE = AB (1)
Áp dụng hệ quả của định lí Ta-Lét đối với tam giác DAC ta có:
DB BE
DC = AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra: DB AB
DC = AC
GV: Ta có hai cạnh DC và DA của tam giác ADC tỉ lệ với hai cạnh DB và AB của tam giác ABD. Vậy để áp dụng hệ quả của định lý Ta-Lét vào
∆ABD ta phải là như thế nào?
Học sinh: kẻ một đường thẳng cắt hai cạnh của ∆ABD và song song với cạnh còn lại. (Qua đỉnh C vẽ đường thẳng song song với AB, cắt đường thẳng AD tại điểm E)
Tiếp theo sau khi học xong bài trường hợp đồng dạng thứ 3 của tam giác giáo viên yêu cầu học sinh vận dụng chứng minh định lý trên để học sinh thấy được mối qua hệ kiến thức giữa hai định lý sau:
Hệ quả của định lý Ta-Lét
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho
Định lý về hai tam giác đồng dạng Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau
Cách 2: (sau khi học xong bài trường hợp đồng dạng thứ 3 của tam giác giáo viên yêu cầu học sinh vận dụng chứng minh định lý trên)
Trên AD đặt điểm E sao cho BAE· =·ACB
Chứng minh định lý về tính chất đường phân giác : Trong tam giác , đường phân giác của một
=> ∆ABE ∽ ∆ACD => AB BE
AC= DC (1)
Mặt khác ·AEB ADC=· =>
· ·
BED EDB= . Suy ra tam giác BED cân tại B => BE = BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: DB AB
DC = AC
Cách 3: Dựng BE ⊥ AD, CF ⊥ AD (E, F thuộc AD).
Ta có ∆ABE ∽ ∆ACF (g-g) ; ∆BDE ∽ ∆CDF (g-g)
Suy ra DB EB AB