Theo tư tưởng của G. Polya về mục đích dạy học ông cho rằng: “cần phải dạy cho thanh niên suy nghĩ”. Do đó, ông đã đưa ra ba nguyên lý dạy học cũng như ba nguyên lý học tập.
* Nguyên lý thứ nhất: Học tập tích cực.
Theo tư tưởng của G. Polya thì việc dạy học toán phải thể hiện được tính tích cực ngay cả đối với người dạy và người học. Trong nguyên lý học tập ông nhận xét rằng: “Học tập tích cực, thông thường theo nhiều cách khác
nhau, nói việc học tập cần phải tích cực mà không được thụ động hay tái diễn, có nghĩa là dựa trên sự thụ cảm; khi giới hạn của việc đọc sách, nghe giảng hay xem phim mà không kèm theo sự hoạt động tích cực của trí tuệ bản thân thì các bạn có thể học tập được cái gì và rõ ràng không học tập được nhiều”. Trong nguyên lý dạy học ông cho rằng người giáo viên luôn phải tích cực về việc thiết kế bài giảng, giúp đỡ học sinh, luôn dẫn dắt và tạo cho học sinh một niềm đam mê cũng như niềm tin vào quá trình học tập từ đó thúc đẩy sự phát triển các tư duy cho hoc sinh. Trong nguyên lý dạy học điều mà ông nhấn mạnh là:”những điều mà thầy giáo giảng ở lớp học tất nhiên là quan trọng, nhưng điều mà HS nghĩ còn hàng nghìn lần quan trọng hơn. Những khái niệm cần được nảy sinh trong trí tuệ của HS, vai trò chính của người thầy trong quá trình này có thể so với vai trò của bà đỡ” ([25], tr. 256).
Tính tích cực có trong sự vận động của vật chất. Sự vận động này giúp cho sự vật thoát khỏi trạng thái “đứng yên”, “quân bình”. Tính tích cực còn thể hiện trong sự tác động của chủ thể làm thay đổi khách thể, tạo ra sự biến đổi nhất định ở khách thể, có quan hệ qua lại với chủ thể.
Như vậy, tính tích cực là vốn có trong sự phát triển, sự biến đổi các trạng thái bên trong, dưới ảnh hưởng của các tác động bên ngoài.
Mặt khác chúng tôi hiểu rằng quá trình giải một bài toán là tìm lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc một chướng ngại vật ngăn cản trên con đường ta đang đi, đó chính là quá trình đạt tới mục đích mà thoạt đầu ta chưa nhìn ra được hướng đi. Theo G.Plya thì ông cho rằng: “Giải một bài toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ còn trí tuệ chỉ có ở con người. Vì vậy giải bài toán được xem như những biểu hiện đặc trưng nhất trong hoạt động trí óc của con người”. ([25], tr. 4).
Do đó khi bắt tay vào giải toán thì HS phải khám phá một cách tích cực, phải xét đến tính toàn diện của bài toán, tính riêng lẻ, cái chung, cái riêng, cái bộ phận, cái toàn bộ… Nhằm mục đích hiểu rõ bài toán để đi xây
dựng chương trình giải và thực hiện chương trình giải một cách thuận tiện hơn.
Bên cạnh đó G. Polya còn cho rằng: “Một trong những bộ phận chủ yếu trong công việc người giải là thiết lập những mối tiếp cận giữa bài toán và kinh nghiệm bản thân đã tích lũy. Lúc nghiên cứu từ trong, người giải xem xét thật tỉ mỉ bài toán, những bộ phận cấu thành, các khía cạnh của bài toán, nghiên cứu từ ngoài, người giải phân loại vốn tri thức của mình; moi tìm trong mọi xó xỉnh của trí nhớ những điều có triển vọng áp dụng vào bài toán” ([25], tr. 226).
Tính tích cực là thể hiện tính chủ định của ý thức, tính chủ động của chủ thể với thế giới bên ngoài. Tính tích cực là thông số đo sự biến đổi, hoạt động tâm lý của chủ thể gắn liền với việc tiêu hao năng lượng tâm lý và sinh lí. Tính tích cực thể hiện chức năng chỉ báo hoạt động của con người. Con người có tính tích cực là con người đang hoạt động.
Tính tích cực học tập của học sinh phù hợp với nguyên tắc “tính tự giác, tích cực” vì nó khêu gợi được hoạt động học tập đã được hướng đích, gợi động cơ trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của HS là biểu hiện sự thống nhất giữa giáo dưỡng và giáo dục. Tác dụng giáo dục của kiểu dạy học này là ở chỗ nó dạy cho HS cách khám phá, tức là rèn luyện cho HS cách phát hiện và giải quyết vấn đề một cách khoa học. Đồng thời nó góp phần bồi dưỡng cho người học những đức tính cần thiết của người lao động sáng tạo như tính chủ động tự giác, tính tích cực kiên trì vượt khó...
- Hưởng ứng và thấy rõ bổn phận thực hiện những yêu cầu đặt ra trong tình huống học tập.
- Chịu khó suy nghĩ trả lời câu hỏi, chăm chỉ, tự giác thực hiện các hoạt động để có được những tri thức mới, nhận thức mới, kĩ năng mới.
- Quyết tâm hoàn thành công việc của mình, khi có điều kiện thì tương trợ giúp đỡ người khác hoàn thành công việc.
* Nguyên lý thứ hai: Sự kích thích tốt nhất.
Theo quan điểm của G. Polya khi nói về việc học tập của HS thì ông nhận xét rằng: “Chúng ta nói việc học tập cần phải tích cực; nhưng HS sẽ không biểu hiện tính tích cực, nếu ở họ không có lý do để tích cực. Cần kích thích tính tích cực động não” ([25], tr. 254).
Như vậy người thầy giáo với vai trò của người thiết kế, tổ chức các hoạt động nhận thức cho người học, cần xác định: không làm thay cho người học, phải tạo điều kiện để người học được học và phải học một cách tích cực. Nhưng nếu người thầy đưa ra yêu cầu quá cao thì dù người HS có thực sự tích cực suy nghĩ, làm việc thì cũng không tìm ra hướng để giải quyết thì HS sẽ chán nản. Do vậy GV cần phải đưa ra những tình huống có vấn đề sao cho kích thích tính tích cực động não cho HS một cách tốt nhất thì G. Polya khuyên: “Thầy giáo cần phải dành sự chú ý đặc biệt vào việc chọn bài toán, cách diễn đạt nó và trao cho HS sao cho tốt nhất. Bài toán cần phải sinh động không những theo quan điểm của thầy giáo mà còn theo quan điểm của HS. Mong rằng nó gắn liền với kinh nghiệm hằng ngày của HS”.([25], tr. 257) Tính chủ động trong quá trình bắt tay vào giải một bài toán thì theo G. Polya khuyên người học phải tự đặt cho mình những câu hỏi để đi đến mục đích như:
“Tôi phải bắt đầu từ đâu? Phải bắt đầu khảo sát những yếu tố chính của bài toán…
Tôi có thể làm gì? Hãy xét bài toán của anh dưới nhiều khía cạnh khác nhau....
Tôi có thể bắt đầu từ cái gì? Một ý hay có thể là một ý quyết định, chỉ ngay ra cho anh con đường tới đích.
Làm như vậy có lợi gì? Anh có thể may mắn tìm được một ý khác và ý này có thể sẽ dẫn anh thẳng tới cách giải” ([24], tr. 50).
Bên cạnh đó G. Polya còn cho rằng: “Nếu chúng ta muốn kích thích những nỗ lực sáng tạo của HS, thì chúng ta buộc phải cho họ những cơ sở nào
đó để thấy rằng những nỗ lực đó của họ không mất đi một cách vô ích” ([25], tr.257). Hơn nữa khi nói về vần đề sáng tạo của HS thì theo ông việc sáng tạo không phải là một điều phát minh ra một vấn đề gì to tác như một kiến thức mới, một định lý mới, mà với ông dựa vào những kiến thức đã có và kinh nghiệm của bản thân đem ra vận dụng giải một bài toán thì đó là một phát minh như ông đã khẳng định: “Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh. Nếu bài toán không khó, thì phát minh đó ít có giá trị, nhưng dù sao cũng là một điều phát minh”. ([24], tr. 96).
* Nguyên lý thứ ba: Tính liên tục trong các giai đoạn của quá trình học tập.
“Việc học tập bắt đầu từ hành động và sự thụ cảm, rồi từ đó đi đến các từ và các khái niệm và phải kết thúc bằng sự rèn luyện những đặc điểm mới mẽ nào đó của tư chất trí tuệ.
Tính liên tục trong các giai đoạn của quá trình học tập.
Giai đoạn thứ nhất: Giai đoạn nghiên cứu, gần hơn cả đối với hành động và cảm thụ biểu hiện trước hết ở mức độ linh cảm hay trực quan.
Giai đoạn thứ hai: Giai đoạn hình thức hóa, liên quan với sự hình thành thuật ngữ, định nghĩa và chứng minh, được nâng lên đúng mức độ cao hơn, mức độ khái niệm.
Giai đoạn thứ ba: Giai đoạn tiếp thu, xảy ra sau cùng; nó trả lời cho ý định nắm được thực chất bên trong của vấn đề; trong giai đoạn này tài liệu học tập cần phải được HS tiếp thu, cần phải đi vào hệ thống kiến thức của họ, mở rộng tầm hiểu biết, tri thức của họ; giai đoạn này một mặt hình thành con đường đi đến ứng dụng, mặt khác đi đến sự khái quát ở mức độ cao hơn”. ([25], tr. 256)