2 AH.MC Mà BM = MC suy ra S AMB = S AMC
3.1.2. Phương thức phân loại bài toán
Theo G. Polya khi phân loại bài toán thì ông phân loại thành hai dạng bài toán là “Bài toán tìm tòi” và “Bài toán chứng minh”.
3.1.2.1. Bài toán về tìm tòi
Mục đích của “bài toán tìm tòi” (tìm ẩn) là tìm ra một đối tượng nào đó là cái chưa biết của bài toán, cái chưa biết còn gọi là cái phải tìm, là ẩn, cái mà người ta hỏi.
Những yều tố chính của một “bài toán tìm tòi” là cái chưa biết, những cái đã biết và các điều kiện của bài toán.
Để giải hoàn toàn được một “bài toán về tìm tòi” cần phải biết một cách chính xác các yếu tố chính, cái chưa biết những cái đã biết và điều kiện của bài toán.
Như vậy để giúp HS giải quyết dạng “bài toán về tìm tòi” thì theo G. Polya thì GV cần hướng dẫn HS theo các câu hỏi và lời khuyên liên quan đến yếu tố đó như: “Cái chưa biết là gì? Những cái đã biết là gì? Chia các điều kiện ra thành những bộ phận khác nhau.
Hãy tìm quan hệ giữa cái chưa biết và cái đã biết, hãy xét kỹ cái chưa biết, thử nghĩ đến bài toán quen thuộc và cũng chứa cái chưa biết đó hay một cái chưa biết tương tự.
Hãy chỉ giữ một phần của các điều kiện và bỏ qua phần còn lại. Bây giờ cái chưa biết được xác định đến mức độ nào? Nó có thể biến đổi như thế nào? Anh có thể rút ra từ những cái đã biết, một phần tử có ích không? có thể nghĩ tới những cái cho biết khác cho phép anh xác định cái chưa biết không? Bạn có thể thay đổi cái chưa biết, hoặc những cái đã biết hoặc thay đổi cả hai nếu cần thiết sao cho cái chưa biết mới và những cái mới gần nhau hơn không?
D EI I A B C M
Bạn đã sử dụng tất cả những cái đã cho biết chưa? Bạn đã dùng toàn bộ điều kiện chưa?” ([25], tr. 62).
Ví dụ 3.2: Cho tứ giác lồi ABCD. Hãy dựng đường thẳng di qua điểm A chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
GV có thể hướng dẫn HS theo các thao tác sau: GV: Bài toán cho biết điều gì?
HS: Một tứ giác lồi ABCD. GV: Cái gì là cái chưa biết?
HS: Một đường thẳng đi qua điểm A. GV: Điều kiện của bài toán là gì?
HS: Đường thẳng di qua điểm A chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
GV: Bạn có biết một bài toán nào gần giống với bài toán bạn đang xét không?
HS: Đường trung tuyến AM của tam giác ABC chia tam giác ABC thành hai tam giác ABM và ACM có diện tích bằng nhau.
GV: Vậy bạn có thể thay đổi cái chưa biết và điều kiện của bài toán ở dạng khác được không?
HS: Dựng một tam giác có diện tích bằng diện tích của hình thang ABCD.
Giải: a) Phân tích: Giả sử dựng được tam giác ADE có diện tích bằng diện tích của tứ giác ABCD. Điểm E phải thỏa mãn điều kiện E là giao điểm của đường thẳng song song AC với DC.
b) Cách dựng
Dựng BE//AC ( E thuộc đường thẳng DC) Dựng M là trung điểm của DE.
c) Chứng minh
Gọi I là giao điểm của AE và BC.Ta có:
ABC ACE
⇒S∆ABI =S∆CEI
⇒SABCD =S∆ADE
Vì M là trung điểm của AE nên:
ADM AME AMCB
S∆ =S∆ =S
d) Biện luận
Ta luôn dựng được một đường thẳng thỏa mãn với điều kiện của đề bài. Qua bài toán trên phát triển cho HS bài toán mới tương tự. Ta có thể biến đổi bài toán đã cho thành bài toán mới theo lời khuyên của G. Polya như “Một bài toán mới càng liên quan chặt chẽ với bài toán đã cho thì càng có nhiều khả năng giúp ích. Vì vậy khi giữ nguyên ẩn ta cố gắng giữ nguyên một số dữ kiện và một số yếu tố của giả thiết, và chỉ thay đổi càng ít càng tốt – một vài dữ kiện và một số yếu tố của giả thiết. Một phương pháp hay là: không để ý đến một số điểm, nhưng cũng không thêm gì vào; giữ nguyên ẩn chỉ giữ một phần của giả thiết, bỏ qua phần còn lại, nhưng không đưa thêm phần điều kiện hay dữ kiện mới” ([25], tr.177)
Ví dụ: Cho tứ giác ABCD. Q là một điểm bất kỳ của AB. Qua Q hãy dựng đường thẳng chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Phân tích: Ta cần đi dựng tam giác QEF sao cho SQEF = SABCD. Vậy ta phải dựng hai điểm E và F thỏa mãn điều kiện: QD//AE (E thuộc đường thẳng DC). BF//QC (F thuộc đường thẳng DC)
3.1.3.2. Bài toán về chứng minh
Theo G. Polya thì “Mục đích của một “bài toán về chứng minh” là chứng minh một điều đã được phát biểu rõ ràng là đúng hay sai”
Nếu một bài toán chứng minh là một bài toán có dạng thông thường nhất, thì cái yếu tố chính của nó sẽ là giả thiết và kết luận của định lý mà ta cần chứng minh hay bác bỏ. Q F D I E C B A
Như vậy để giúp học sinh giải các dạng “bài toán về chứng minh” thì GV cần hướng lưu ý HS phải biết thật chính xác những phần chính của nó là giả thiết và kết luận. Đối với những yếu tố này, thì theo G. Polya GV cần dùng một số câu hỏi và lời khuyên như sau:
“Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hãy phân biệt những phần khác nhau của giả thiết. Hãy tìm mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận. Hãy xét kỹ kết luận. Thử nghĩ tới một định lý quen biết có cùng một kết luận hay một kết luận tương tự, hãy giữ một phần của giả thiết thôi và bỏ qua phần còn lại. Kết luận còn đúng không? bạn có thể từ giả thiết rút ra một điều có ích không? Có thể thay đổi giả thiết và kết luận, hay thay đổi cả hai nếu cần thiết, sao cho giả thiết mới và kết luận mới gần với nhau hơn không? Bạn đã dùng toàn bộ giả thiết chưa?”([25], tr. 62)
Ví dụ 3.3: Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi thì các đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện và đoạn thẳng nối các trung điểm của hai đường chéo đồng quy tại một điểm. (Định lý Gergone) (hình học 8)
Để chứng minh các đường thẳng đồng quy thông thường học sinh (lớp 8) thường đưa bài toán chứng minh các điểm thẳng hàng hay sử dụng các đường thẳng đồng quy trong tam giác. Vì vậy học sinh sẽ khó có thể tìm ra hướng chứng minh. Vì vậy GV có thể hướng dẫn HS theo một số các câu hỏi và các thao tác như sau:
GV: Giả thiết của bài toán cho biết điều gì?
HS: Một tứ giác lồi, các trung điểm của các cạnh đối diện và trung điểm của hai đường chéo.
GV: Kết luận của bài toán là gì?
HS: Các đoạn thẳng nối các trung điểm của các cạnh đối diện và đoạn thẳng nối các trung điểm của hai đường chéo đồng quy tại một điểm
GV: Hãy vẽ hình và đưa vào các kí hiệu thích hợp.
GV: Giả thiết của bài toán là gì? Hãy phát biểu nó bằng cách dùng những kí hiệu đã đưa vào.
O HG G N M F E D C B A HS: AE = EB ; BH = HC ;CF = FD ; DG = GA ; MB = MD ; NA = NC ; GV: Kết luận của bài toán là gì?
HS: Các đường thẳng MN, GH, EF đồng quy.
GV: Dựa vào giả thiết và bạn hãy nghĩ đến một bài toán nào có giả thiết tương tự?
HS: Các trung điểm của bốn cạnh một tứ giác là một hình bình hành. GV: Vậy tứ giác nào là hình bình hành?
HS: Tứ giác GEHF là hình bình hành.
GV: Dựa vào kết luận của bài toán đến đây ta có được điều gì? HS: Hai đường thẳng GH và EF giao nhau tại O
GV: Dựa vào kết luận ta cần phải chứng minh thêm điều gì nữa? HS: MN giao với EF hay GH tại điểm O.
Tóm lại một dãy các thao tác ở trên thực hiện theo một quy trình như sau:
Bước 1: Giáo viên đặt vấn đề sao cho học sinh tiếp cận hướng chứng minh bài toán một cách dễ dàng. Tứ giác GEHF, ENFM là hình gì? Thông qua hình vẽ học sinh dự đoán được các tứ giác đó là hình bình hành.
Bước 2: Hoạt động biến đổi đối tượng : Từ trung điểm các cạnh của tứ giác vận dụng đưa về trung điểm hai cạch của tam giác
Bước 3: Thành lập mối quan hệ giữa các kiến thức
Giải: Vì E là trung điểm của AB và H là trung điểm của BC nên:
EH//AC và EH = 1
2AC (1)
Tương tự GF là đường trung bình của tam giác ADC nên: GF//AC và
GF = 1
2AC (2)
⇒EHGF là hình bình hành
⇒ Hai đường chéo GH và EF giao nhau tại trung điểm O của mỗi đường.
Mặt khác: Vì E là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC nên:
EN//BC và EN = 1
2BC (3)
Tương tự MF là đường trung bình của tam giác DBC nên: MF//BC và MF = 1
2BC (4)
Từ (3) và (4) suy ra EN//MF và EN = MF ⇒ENFM là hình bình hành
⇒ Hai đường chéo MN và EF giao nhau tại trung điểm O của mỗi đường.Vậy ba đoạn thẳng MN, EF, GH giao nhau tại trung điểm O của mỗi đường. Từ đó học sinh tìm ra hướng chứng minh và chấp nhận tri thức mới một cách nhẹ nhàng.
Qua bài toán trên người học tích lũy thêm được một phương pháp chứng minh các đường thẳng đồng quy.
Khi đứng trước một bài toán có bao giờ chúng ta tự hỏi “Bài toán này thuộc kiểu gì?”. Đây không hoàn toàn là một câu hỏi vô bổ mà ngược lại, nêu câu hỏi như vậy có thể có ích, bởi lẽ nếu trả lời được câu hỏi này ở một chừng mực nhất định có nghĩa là ta đã xếp được bài toán này vào một loại nào đó, đối chiếu bài toán với đoạn này đoạn kia đã từng được biết đến trong sách giáo khoa hoặc trong quá trình giải toán, thì như vậy chúng ta đã tiến thêm một bước, hãy nhớ lại phương pháp giải các bài toán kiểu đó mà ta đã nghiên cứu trước đây.
Điều này không chỉ đúng cho những bài toán giản đơn mà còn đúng với việc giải mọi bài toán ở bất kỳ độ phức tạp nào. Câu hỏi nói trên sẽ dẫn đến một câu hỏi tiếp theo”Có thể sử dụng biện pháp nào để giải bài toán kiểu
này?”. Và những câu hỏi tương tự như thế cứ lần lượt xuất hiện cho đến khi điều bí mật được hé mở.
Việc phân loạt các bài toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu, có thể giúp ích ta khi giải toán. Một sự phân loại tốt phải chia các bài toán thành những kiểu sao cho mỗi kiểu bài toán quy định trước một
phương pháp giải.
Khá nhiều bài toán trong chương trình phổ thông thuộc dạng có thuật giải tổng quát như phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình bậc hai, phương trình trùng phương…
Việc nắm vững cách giải và rèn luyện kĩ năng giải toán này đóng một vai trò cơ bản trong dạy học toán ở trường THCS. Ngoài những lợi ích khác, nó cho phép rèn luyện tư duy thuật toán cho HS.
Tuy nhiên, việc phát triển ở HS năng lực tư duy sáng tạo đòi hỏi HS phải thoát ra kiểu học tập trong đó họ chỉ biết áp dụng một cách máy móc các thuật toán đã biết. Nói cách khác hoạt động tìm tòi chính thuật toán giải phải đóng vai trò trung tâm trong hoạt động giải toán.
Để giúp các em phát hiện ra thuật toán giải bài toán vừa nêu, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đàm thoại giải quyết vấn đề như sau:
Đối với những bài toán đã có thuật giải, vấn đề cơ bản là nhận dạng được bài toán, nghĩa là phát hiện xem bài toán thuộc dạng nào (đã có thuật giải). Tất nhiên không phải lúc nào HS cũng có thể dễ dàng nhận ra dạng của bài toán. Công việc này đòi hỏi những khả năng nhất định. Do đó trong trường hợp này, việc tìm hiểu bài toán đóng vai trò quan trọng hơn cả vì công việc còn lại chỉ là áp dụng trực tiếp thuật toán đã biết mà thôi.
Trong quá trình dạy học, ta thường gặp một số qui tắc chưa mang đủ đặc điểm đặc trưng cho thuật toán, nhưng có một số trong các đặc điểm đó và đã tỏ rõ hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán. Đó chỉ là những qui tắc có thể coi là tựa thuật toán, được hiểu như là một dãy hữu hạn những
chỉ dẫn thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của bài toán đó.
Trong quá trình dạy HS giải toán, GV còn rất nhiều việc phải làm sau khi đã giúp HS phát hiện ra quy trình giải của bài toán tổng quát.
Trong môn Toán ở trường phổ thông có rất nhiều bài toán chưa có hoặc không có thuật toán để giải. Đối với những bài toán ấy nếu ta cố gắng hướng dẫn HS cách suy nghĩ, cách tìm tòi lời giải thì sẽ trang bị được cho HS một số tri thức phương pháp, nhằm rèn luyện và phát triển ở các em năng lực tư duy khoa học. Không có một thuật toán tổng quát nào để giải mọi bài toán. Chúng ta chỉ có thể thông qua dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán.
Hoạt động giải các bài toán này cho phép người học có được những
sản phẩm tư duy thể hiện tính sáng tạo, tính mới mẽ. Tính mới mẽ ở đây thể
hiện ở năng lực phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Việc nắm được một số chỉ dẫn hay một số lời khuyên “có lí” có thể cho phép HS tìm ra lời giải bài toán đặt ra, vì những chỉ dẫn và lời khuyên này có thể gợi ra những ý tưởng hợp lí cho việc tìm kiếm lời giải. Trong trường hợp này ta nói rằng ta đã vận dụng phương pháp có tính chất tìm đoán (hay ngắn gọn là phương pháp tìm đoán). Ngay cả trong một trường hợp một dạng toán có thuật giải nhưng chưa được khám phá thì việc tìm kiếm thuật toán này cũng phải vận dụng phương pháp tìm đoán.
Chúng ta có thể biến đổi hoặc cải tiến những nội dung trên cho phù hợp với những điều kiện và đối tượng cụ thể. Chẳng hạn, các tác giả L. M. Phơritman, E. N. Turetxki, V. Ia. Xtetxencô trong “Học giải các bài toán như thế nào” đã đề xuất sơ đồ các bước tìm kiếm lời giải các bài toán như sau
- Trong khi đọc kĩ đề toán cần phải cố gắng xác định được bài toán thuộc
PM M N Q G E D C B A N Q E D C B A
- Nếu các bạn đã nhận ra được trong đó bài toán chuẩn của dạng quen biết thì hãy vận dụng quy tắc đã biết để giải nó.
- Nếu bài toán là không chuẩn thì cần phải hành động theo hai hướng:
Tách từ bài toán ra hoặc chia nhỏ nó ra thành những bài toán nhỏ có dạng
chuẩn (thủ pháp chia nhỏ); diễn đạt lại bài toán theo một cách khác, dẫn nó đến một bài toán có dạng chuẩn (thủ pháp mô hình hóa).
- Để thực hiện thủ pháp chia nhỏ hoặc mô hình hóa được dễ hơn trước tiên cần xây dựng một mô hình trực quan bổ trợ của bài toán, viết nó dưới dạng sơ đồ.
- Việc dẫn một bài toán không chuẩn đến các bài toán chuẩn bằng các thủ pháp chia nhỏ hoặc mô hình hóa là một nghệ thuật mà chỉ có thể lĩnh hội được trong kết quả của sự tự phân tích sâu sắc thường xuyên các hành động giải toán và thường xuyên luyện tập giải các loại bài toán khác nhau.
Ví dụ 3.4: ( Hình học 8 ). Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy hai