học Toán của của G. Polya
Tư duy biện chứng duy vật đòi hỏi chủ thể không chỉ phản ánh đúng
giới khách quan, mà còn phải nắm vững và vận dụng nhuần nhuyễn những phương pháp, nguyên tắc của phép biện chứng duy vật vào nhận thức và hoạt động thực tiễn. Nó có những đặc trưng cơ bản, như tính khách quan, tính
toàn diện, tính lịch sử - cụ thể, tính thống nhất giữa lý luận và thực tiễn; không chỉ phản ánh trạng thái hiện tồn, mà còn dự báo xu hướng phát triển của sự vật, hiện tượng. Tư duy biện chứng duy vật có vai trò to lớn trong nhận thức và hoạt động thực tiễn của con người nói chung và HS nói riêng. Cụ thể là:
Thứ nhất, tư duy biện chứng duy vật giúp HS, một mặt, khắc phục
được lối tư duy siêu hình, phiến diện, chiết trung, nguỵ biện; mặt khác, xem xét đánh giá vấn đề một cách toàn diện, đúng đắn. Quan điểm duy vật biện chứng khẳng định rằng, mọi sự vật và hiện tượng đa dạng, phong phú trong thế giới khách quan luôn có mối liên hệ biện chứng, có ảnh hưởng, tác động qua lại và nằm trong một chỉnh thể thống nhất; nhận thức chỉ đạt đến chân lý khi nó phản ánh đúng đắn bản chất của thế giới khách quan. Bản thân các sự vật, hiện tượng rất phức tạp, chúng là kết quả do nhiều nguyên nhân gây ra và vận động, biến đổi qua nhiều giai đoạn khác nhau mà người ta thường chỉ quan sát được kết quả cuối cùng của nó.
Nếu nắm vững phương pháp tư duy biện chứng duy vật, HS sẽ có được sự nhận thức một cách khoa học, cụ thể là xem xét sự vật, hiện tượng trong sự tương tác giữa các mặt, đặt chúng trong các mối liên hệ biện chứng, chi phối lẫn nhau trong một thể thống nhất. Thông qua nguyên tắc này, HS biết xâu chuỗi vấn đề, phát hiện sự liên hệ giữa chúng chứ không đánh giá sự vật, hiện tượng một cách rời rạc, lẻ tẻ và biệt lập khỏi các mối quan hệ đa dạng vốn có; từ đó, tìm ra được cốt lõi, bản chất và những mối liên hệ cơ bản nhất để tập trung giải quyết một cách có hiệu quả.
Thứ hai, tư duy biện chứng duy vật giúp cho HS khắc phục được tư tưởng bảo thủ, trì trệ và thái độ định kiến với cái mới. Thiếu nguyên tắc phát
các vấn đề, thường rơi vào duy tâm, siêu hình, không thấy rằng động lực nội tại của sự phát triển chính là sự giải quyết mâu thuẫn bên trong của sự vật và hiện tượng. Thật vậy, chỉ khi nắm được nguyên tắc phát triển của tư duy biện chứng duy vật, HS mới có thể xem xét và hiểu đúng bản chất của vấn đề, mới có thể tìm và phân tích các mâu thuẫn bên trong của nó để có cách giải quyết phù hợp, đúng đắn.
Thứ ba, tư duy biện chứng giúp HS tránh những sự sai lầm, mò mẫm, phỏng đoán thiếu cơ sở khoa học và nguy cơ rơi vào ảo tưởng. Khi chưa được
trang bị tư duy biện chứng duy vật, nhất là nguyên tắc lịch sử cụ thể, HS thường nhìn nhận và đánh giá sự vật một cách chung chung, hoặc tuyệt đối hoá những kết luận nào đó mà không gắn với những điều kiện, hoàn cảnh cụ thể; họ dễ rơi vào tình trạng thụ động, thiếu sáng tạo.
Thứ tư, tư duy biện chứng duy vật giúp cho HS nhìn nhận sự vật, hiện tượng một cách khách quan và khoa học, khắc phục sai lầm chủ quan. Thiếu nguyên tắc khách quan của tư duy biện chứng duy vật, việc nhận thức trong học tập và nghiên cứu của HS sẽ gặp nhiều hạn chế. Tư duy biện chứng duy vật đòi hỏi HS khi phản ánh, nhận thức đối tượng phải bảo đảm nguyên tắc khách quan, nắm được quy luật vận động, biến đổi, phát triển của nó; phải tôn trọng và dựa vào quy luật khách quan để rút ra những kết luận đúng đắn. Khi nắm vững nguyên tắc này, HS có thể đạt được sự nhận thức khoa học: nghiên cứu và giải quyết vấn đề phải xuất phát từ bản thân sự vật, quan sát tỉ mỉ chính xác để nắm bắt các thuộc tính của sự vật và đi sâu phân tích, khảo sát, khái quát hoá rút ra những kết luận khoa học; đồng thời bổ sung và kiểm nghiệm kết quả của quá trình nhận thức qua thực tiễn.
Khi vận dụng phép biện chứng duy vật trong quá trình hướng dẫn học sinh giải các bài toán Theo G’Polya thì nhận định: “cái bộ phận gợi ra cái toàn bộ… cái bộ phận càng nhiều, thì hy vọng phục hồi cái toàn bộ càng lớn” ([25], tr.247). Theo ông thì một trong những bộ phân chủ yếu của công việc người giải là thiết lập những mối tiếp cận giữa bài toán và kinh nghiệm bản
thân đã tích lũy. Người giải có thể thử phát hiện những mối tiếp cận này từ bên trong hay bên ngoài. Điều đó đã thể hiện được cụ thể cặp phạm trù cơ bản của triết học duy vật biện chứng là cặp cái chung và cái riêng.
Khái niệm về cái chung và cái riêng theo triết học duy vật biện chứng là cặp phạm trù có mối liên hệ biện chứng với nhau. Cái riêng là cái toàn thể, cái chung là cái bộ phận nên cái riêng phong phú hơn cái chung, nhưng cái chung mang bản chất sâu sắc hơn cái riêng (cái riêng: chỉ một sự vật, hiện tượng một quá trình nhất định; cái chung: chỉ những mặt, những thuộc tính giống nhau được lập lại trong các sự vật hiện tượng và các quá trình riêng lẻ).
Vì cái chung chỉ tồn tại trong cái riêng nên muốn nhận thức được cái chung, cần phải đi từ những cái riêng.
Khi bắt tay vào giải một bài toán thì người giải cần có một cái nhìn tổng quát, phải phân tích được các yêu cầu của bài toán từ đó xây dựng lên một chương trình giải, chương trình giải đó phải dựng theo một trình tự nhất định cụ thể như đi từ thấp đến cao, cái dễ đi trước cái khó đi sau, chia bài toán lớn thành các bài toán nhỏ… Mặt khác khi vận dụng cặp phạm trù trên thì G. Polya ưu tiên theo quy tắc như: “cái toàn bộ đi trước cái bộ phận, các bộ phận chính đi trước các bộ phận khác, những bộ phận gần hơn đi trước những bộ phận xa hơn”.
Như vậy để giải được một bài toán ta đi chứng minh làm sáng tỏ vấn đề đó bằng cách huy động các kiến thức có sẵn từ trước, từ đó đem lại một kết quả, quy tắc hay một tri thức mới. Mặt khác G. Polya thì cho rằng: “muốn giải một bài toán, ta phải có một số hiểu biết nào đó về vấn đề, và chọn trong số các kiến thức của ta cái nào là cần thiết. Sau khi chọn như vậy thì quan niệm của ta về bài toán sẽ phong phú hơn lúc đầu nhiều” ([24], tr. 210).
Rõ ràng một kiến thức toán học không phải là một mảng cắt ngang của một chương trình, một nội dung, mà chúng là một chuỗi mắt xích liên kết chặt chẽ với nhau, kiến thức mới được hình thành trên nền tảng của kiến thức cũ,
kiến thức cũ xây dựng nên nền tảng của kiến thức mới chúng tôi có thể xem mối liên hệ, quan hệ và liên kết đó như một vòng xoáy con ốc.
Ví dụ khi bắt đầu học các phép tính thì học sinh được tiếp cận đầu tiên là phép toán cộng, sau đó được hiểu phép trừ là bài toán ngược của phép cộng, bài toán phép cộng là nền tảng của bài toán phép nhân, bài toán phép chia là bài toán ngược của phép nhân.
Như vậy chúng tôi có thể hiểu rằng khi bắt tay giải một bài toán thì điều cốt lõi là cần phải huy động kiến thức cũ để vận dụng giải bài toán hiện có. Do đó có thể xem kiến thức cũ khi được huy động đó chính là nguyên nhân, sau khi giải xong tìm được một kiến thức mới đó chính là kết quả. Chính vì vậy, mối quan hệ duy vật biện chứng của cặp phạm trù nguyên nhân và kết quả luôn được vận dụng khi giải một bài toán.
Điều đó được thể hiện rõ ràng hơn trong quan điểm của G. Polya về sự cần thiết xuất hiện nguyên nhân trong giải toán ông khẳng định rằng: “công việc của người giải, phần lớn là huy động mọi nguồn dự trữ; luôn luôn phải rút từ trong trí nhớ ra được những đối tượng mới và mới, cần thiết cho việc giải toán” ([25], tr. 245). Khi nguyên nhân xuất hiện và được làm sáng tỏ thì lẻ tất nhiên kết quả cũng cũng xuất hiện.
Theo triết học duy vật biện chứng nguyên nhân là cái sinh ra kết quả nên nguyên nhân luôn có trước kết quả, kết quả chỉ xuất hiện khi có nguyên nhân. Cùng một nguyên nhân, có thể gây nên những kết quả khác nhau. Ngược lại, một kết quả có thể gây nên bởi nhiều nguyên nhân khác nhau tác động riêng lẻ hay tác động cùng một lúc (nguyên nhân chỉ sự tác động qua lại giữa các mặt, bộ phận, thuộc tính trong một sự vật hoặc giữa các sự vật với nhau gây ra những biến đổi nhất định; kết quả chỉ những biến đổi xuất hiện do tác động qua lại đó). Mọi hiện tượng xuất hiện đều có nguyên nhân nên trong quá trình nhận thức nói chung và nhận thức khoa học nói riêng, cần tìm ra nguyên nhân để hiểu đúng bản chất hiện tượng.
lại một kết quả có thể do nhiều nguyên nhân.
Vận dụng quan điểm trên vào hoạt động nhận thức toán học theo GS.TS Đào Tam nhận định: “kiến thức toán học là chuỗi mắt xích liên kết chặt chẽ với nhau, các nội dung đã biết sẽ tạo tiền đề và giải thích cho sự xuất hiện của một nội dung mới, và đôi khi một nội dung mới xuất hiện sẽ giải thích căn nguyên của sự tồn tại của các kiến thức cũ”.( [30], tr. 54).