1.2.3.1. Bài toán
Theo G. Polya thì cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay”. ([25], tr.119)
Như vậy từ quan điểm trên ta có thể kết luận rằng một bài toán có thể là phức tạp hay đơn giản; trong trường hợp thứ nhất, tìm ra lời giải là một việc khó, trong trường hợp thứ hai thì dễ. Chính vì vậy tính chất khó của lời giải, ở chừng nào đó, nằm ngay trong bản thân khái niệm bài toán, nếu không có khó khăn thì cũng không có bài toán.
Bên cạnh đó ông cũng cho rằng: tư duy có ý thức của chúng ta liên quan tới việc giải các bài toán. Khi chúng ta không đảng trí và không mơ màng thì ý nghĩa của chúng ta hướng tới một mục đích cuối cùng nào đó, chúng ta sẽ tìm kiếm con đường và phương tiện đạt được mục đích ấy.
Việc giải bài toán là một thành tựu của lý trí, mà lý trí là một thiên tư đặc biệt, phú riêng cho con người. Năng lực vượt qua trở ngại, năng lực tìm ra lối đi vòng khi không có con đường đi thẳng.
Công trình nghiên cứu của G. Pôlya cũng đã khẳng định: “Giải toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ có ở con người; vì vậy giải toán có thể xem như một trong những biểu hiện đặc trưng nhất trong hoạt động của con người" ([25], tr.273). Do đó: “Người giải toán phải hiểu được trí tuệ của mình như người lực sĩ hiểu thân thể anh ta” và “Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài tập” ([24], tr. 183).
- Tổ chức và động viên kiến thức.
Khi giải toán, thoạt đầu người giải chỉ thấy bài toán như một cái tường tách biệt với vốn kiến thức của mình (giữa kiến thức loại 1 và loại 2 chưa thiết lập được mối liên hệ qua lại) khi đã giải được bài toán rồi thì khác hẳn; người giải thấy nhiều chi tiết nhiều hình vẽ của bài toán mà lúc đầu không thể tin được rằng những chi tiết, những hình vẽ đó của bài toán lại có liên quan đến bài toán. Thoạt đầu hình vẽ của bài toán còn thiếu cụ thể; mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán còn bị che giấu, người giải vận dụng đến nhiều kiến thức đã có (những định lí, những tính chất có liên quan đến các yếu tố hình vẽ) để vẽ thêm đường phụ, để đưa vào ẩn số phụ, hình vẽ ban đầu với sự xuất hiện thêm một số yếu tố phụ mới hoặc cũng cố dự đoán ban đầu của người giải, vì kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn. Quá trình cứ như vậy mà tiếp diễn.
Trong tư duy, đã diễn ra hai hành động trí tuệ, động viên kiến thức và tổ chức kiến thức. “Động viên kiến thức là lấy ra, là tách ra từ trí nhớ những yếu tố có liên quan đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố ấy lại với nhau. Giải bài toán như là xây dựng ngôi nhà; thoạt đầu phải thu nhận những vật liệu cần thiết, sau đó phải cấu kết những vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể” ([35], tr. 111).
- Bổ sung và nhóm lại:
“Thao tác bổ sung là một thao tác quan trọng trong hành động tổ chức kiến thức, vì với thao tác ấy người giải có quan niệm càng ngày càng đầy đủ
hơn về bài toán” ([35], tr. 112).
“Việc thay đổi cách nhìn nhận các yếu tố của bài toán, nghĩa là thôi không xem xét những mối quan hệ này giữa các yếu tố mà lại xem xét đến các mối quan hệ khác giữa các yếu tố ấy (không cần thêm yếu tố nào mới), cũng có thể làm cho quan niệm về bài toán của người giải thay đổi. Theo hướng có khả năng thích hợp đối với bài toán. Đó là thao tác nhóm lại” ([19], tr. 113). Tiếp theo của các hoạt động này là hoạt động:
- Tách biệt và kết hợp: “Tách biệt là hành động trí tuệ tách một chi tiết,
một bộ phận cụ thể khỏi cái toàn thể bao quanh nó, tập chung mọi chú ý vào chi tiết bộ phận này. Hành động trí tuệ tách biệt không thể diễn bên ngoài thao tác đối lập với nó.
Hành động trí tuệ kết hợp sau khi đã nghiên cứu một loạt chi tiết, một loạt hành động kết hợp liên kết những chi tiết, những bộ phận đã được xem xét lại với nhau trong một cái toàn thể, cái toàn thể này được phản ánh đầy đủ hơn trước, tính hài hoà và thống nhất của nó rõ nét hơn. Hành động tách biệt dẫn đến hành động kết hợp, hành động kết hợp lại dẫn đến những hành động tách biệt mới, những bộ phận mới, đó là tiến trình suy nghĩ làm cho người giải hiểu bài toán và giải được toán” ([35], tr. 114).
Từ những lí luận trên các tác giả đã khái quát bằng một sơ đồ và có sự giải thích gọi là:
Sơ đồ hoạt động trí tuệ trong giải toán [35, tr. 115 Tách biệt
Nhận biết Nhóm lại
Động viên Dự đoán Tổ chức
Nhớ lại Bổ sung
Khi giải quyết một bài toán cụ thể thì những thao tác trí tuệ có dạng xác định và những câu hỏi tương ứng (tức là những nhiệm vụ nhận thức làm xuất hiện những thao tác ấy).
Trong quá trình giải toán, cứ một lần trí tuệ vận hành theo cơ chế trên, là một lần người giải toán lại nhìn bài toán ở các khía cạnh khác nhau. Tất nhiên sẽ có lần kết quả của hoạt động không đem lại lời giải của bài toán, nhưng đó cũng là bổ ích bởi ta loại bỏ được một con đường và hơn thế nữa, học sinh lại một lần nữa được rèn luyện năng lực giải toán.