Như đã phân tích ở chương 1 thì bài toán của PISA thực chất chính là một bài toán thực tiễn tuy nhiên nó có những đặc trưng riêng. Do đó, xây dựng kiểu bài toán của PISA trước tiên phải dựa trên tinh thần xây dựng bài toán có nội dung gắn với các tình huống thực tiễn. Có thể coi bài toán có lời văn mang nội dung thực tiễn, hay bài toán thực tiễn chính là những tình huống thực tiễn đã được lựa chọn cho phù hợp với các nội dung dạy học tương ứng.
Vấn đề đặt ra là để xây dựng được một bài toán thực tiễn kiểu PISA có những cách nào? Theo chúng tôi có thể thực hiện theo hai con đường: Xuất phát từ một bối cảnh hay tình huống thực tiễn để xây dựng bài toán thực tiễn hoặc xuất phát từ một số mô hình toán học để xây dựng thành bài toán thực tiễn.
3.2.1.1. Xuất phát từ bối cảnh hay tình huống thực tiễn để xây dựng bài toán thực tiễn
Theo OECD/PISA, các bối cảnh là một phần của thế giới của học sinh trong các nhiệm vụ được xảy ra. Với PISA, bối cảnh gần nhất là cuộc sống cá nhân của học sinh đó; kế đến là cuộc sống nhà trường, cuộc sống nghề nghiệp và thời gian rảnh rỗi, tuân thủ theo cộng đồng và xã hội địa phương khi tham gia vào cuộc sống hàng ngày. Xa rời nhất là các bối cảnh khoa học. Bốn loại
bối cảnh sẽ được xác định và sử dụng cho các vấn đề được giải quyết: cá nhân, giáo dục/ nghề nghiệp, công chúng và khoa học. Tình huống của một câu hỏi là sự thể hiện cụ thể trong một bối cảnh. Nó bao gồm tất cả các yếu tố chi tiết được sử dụng để thiết lập vấn đề.
Bối cảnh và tình huống của một vấn đề có thể được xem xét theo khoảng cách giữa vấn đề và toán học có liên quan. Nếu một nhiệm vụ chỉ liên quan đến các đối tượng toán học, các ký hiệu và cấu trúc, và không đả động gì đến các yếu tố bên ngoài thế giới toán học, tình huống của nhiệm vụ được xem như là nội tại toán học và nhiệm vụ đó sẽ được phân loại là tình huống “khoa học”. Những loại tình huống như vậy sẽ được đưa vào OECD/PISA một cách hạn chế, ở đó sự liên kết mật thiết giữa vấn đề và toán học cơ bản được thể hiện tường minh trong tình huống có vấn đề. Một cách tiêu biểu hơn, các vấn đề gắn liền với kinh nghiệm hằng ngày của học sinh không được phát biểu một cách tường minh dưới dạng toán học. Các vấn đề đó chỉ các đối tượng thực tế. Những tình huống nhiệm vụ được gọi là “bên ngoài toán học”, và học sinh phải chuyển thể các tình huống vấn đề này thành một dạng toán học. Nói chung, PISA chú trọng vào các nhiệm vụ có thể được gắn liền với một vài bối cảnh thực tế và thu được một tình huống đích thực để sử dụng toán có ảnh hưởng đến lời giải, cách giải thích của nó. Điều này có thể tương phản với các bài toán thường thấy ở các sách toán ở trường học, ở đó mục đích chính là thực hành toán học có liên quan hơn là sử dụng toán học để giải quyết một vấn đề thực tiễn. Tính đích thực này trong việc sử dụng toán là một khía cạnh quan trọng của việc thiết kế và phân tích các câu hỏi của OECD/PISA, nó liên quan chặt chẽ với định nghĩa hiểu biết toán. Tóm lại, PISA đặt cái giá trị nhất của nó vào nhiệm vụ có thể được gắn kết với nhiều bối cảnh thực tế, và có một tình huống ở đó việc dùng toán học để giải quyết vấn đề là đích thực. Các vấn đề với tình huống bên ngoài toán học mà ảnh hưởng đến lời giải và cách lí giải của nó được chọn lựa như là một cỗ máy để
đánh giá hiểu biết toán, bởi vì những vấn đề này giống hầu hết giống với những gì mà chúng ta gặp phải trong cuộc sống hàng ngày.
Đứng trước một tình huống thực tiễn, không phải đã có ngay bài toán thực tiễn mà phải phát hiện vấn đề cần giải quyết, những đại lượng tham gia và các mối liên hệ giữa chúng, từ đó mới hình thành được bài toán thực tiễn. Mặt khác, có khi từ một tình huống thực tiễn lại không xuất hiện bài toán giải quyết được bằng công cụ toán học mà là bài toán khác, như tình huống xem xét các sản phẩm tạo thành sau khi nung vôi sẽ dẫn đến một bài toán hóa học hay tình huống cần đưa một vật nặng lên sàn xe ô tô bằng đòn bẩy hoặc palăng bản chất lại là một bài toán vật lí. Hơn nữa, từ một tình huống thực tiễn, cũng có khi xuất hiện không chỉ một mà là nhiều bài toán thực tiễn khác nhau có thể giải bằng công cụ toán học. Chẳng hạn, với tình huống một ca nô chạy trên sông, có thể dẫn đến bài toán tìm khoảng cách giữa hai địa điểm A và B nào đó hay bài toán tìm vận tốc của ca nô hay bài toán tìm chi phí nguyên liệu của ca nô…Với những lí do như trên, việc phát hiện hay xây dựng bài toán thực tiễn từ một tình huống thực tiễn là rất quan trọng và có tính hoàn chỉnh. Theo tác giả Phan Anh [1, tr. 32-33]: Xây dựng mô hình toán học cho tình huống thực tiễn là mô tả tình huống đó bằng ngôn ngữ toán học. Giả sử rằng: tình huống thực tiễn (THTT) đang xét có mô hình toán học là M và trước tình huống đó chủ thể có nhu cầu N1 (tìm hiểu về khách thể). Nhu cầu này chuyển hóa thành mục đích và được diễn tả bởi một nội dung toán học là A1. Khi đó, mô hình của bài toán có nội dung thực tiễn vừa xuất hiện là M1, có quan hệ với mô hình của tình huống ban đầu được diễn tả như hình vẽ 3.4:
THTT N1
M A1
M1 = +
Hình 3.4: Mô hình của bài toán thực tiễn
Cần phải lưu ý rằng đứng trước mỗi một tình huống thực tiễn, chủ thể có thể có nhiều nhu cầu; do đó, ứng với mỗi tình huống có thể xây dựng được nhiều bài toán. Sự tách bạch giữa các khái niệm tình huống thực tiễn và bài toán có nội dung thực tiễn cùng việc mô tả mối quan hệ giữa các mô hình của chúng phù hợp với quan điểm của PISA về vấn đề này. Về phương diện dạy học, việc tách bạch rạch ròi như trên có những thuận lợi sau đây: 1) Làm cho học sinh thấy được rằng bài toán có nội dung thực tiễn có nguồn gốc từ nhu cầu của con người, khi bản thân chứng kiến tình huống đó. 2) Làm cho học sinh thấy rõ có thể xây dựng mô hình bài toán có nội dung thực tiễn trên cơ sở mô hình toán học của tình huống thực tiễn. 3) Học sinh thấy được mỗi tình huống thực tiễn có thể có nhiều bài toán có nội dung thực tiễn.
Ví dụ 3.3: Trước tình huống chiều cao trung bình của cả hai giới trẻ nữ
và giới trẻ nam ở Hà Lan vào năm 1998 (THTT) có mô hình toán học là đồ thị về chiều cao của cả hai giới (M) và yêu cầu xem xét về tốc độ tăng trưởng chiều cao của hai giới (N1) chúng ta có thể liên hệ đến việc khai thác các nội dung về chủ đề hàm số để xây dựng bài toán thực tiễn tương ứng. Chẳng hạn như bài toán sau:
Lớn lên (Theo [41, tr.74])
Năm 1998, chiều cao trung bình của nam nữ thanh thiếu niên ở Hà Lan được biểu diễn bằng biểu đồ dưới đây (hình 3.5):
Hình 3.5: Biểu đồ về chiề
Tuổi
Chiều cao
(cm) Chiều cao trung bình của nam thanh niên năm 1998 tính theo cm Chiều cao trung bình của nữ thanh
niên năm 1998 tính theo cm
Câu hỏi1: So với năm 1980, chiều cao trung bình của nữ thanh niên 20 tuổi đã tăng 2,3 cm lên tới 170,6 cm. Chiều cao trung bình của một nữ thanh niên 20 tuổi vào năm 1980 là bao nhiêu ?
Câu hỏi 2: Theo biểu đồ này, trung bình, thời gian nào trong cuộc đời nữ giới cao nhanh hơn nam giới cùng độ tuổi ?
Câu hỏi 3: Giải thích biểu đồ để thấy rằng tốc độ tăng trưởng về chiều cao của trẻ em gái chậm lại sau 12 tuổi.
Ví dụ 3.4: Trước hiện tượng nhiều người tham gia đánh đề tại một địa
phương, việc làm này những tác động tiêu cực của nó tới đời sống của từng cá nhân và của cộng đồng. Vậy làm thế nào để giúp họ nhận thấy không nên tham gia vào trò chơi này? Chúng ta có thể liên hệ tình huống này với nội dung toán xác suất thống kê và xây dựng bài toán thực tiễn sau:
Chơi lô đề
Hiện nay trò chơi lô đề mặc dù bị ngăn cấm nhưng một số người vẫn lén lút tổ chức ghi đề và chơi lô đề. Luật chơi được quy định như sau: Người chơi sẽ dùng một số tiền nào đó để mua một hoặc nhiều số có hai hoặc ba chữ số ở nơi người ghi đề và được phát một tích kê ghi số vé, ngày mua và số tiền mua. Mỗi ngày, trước khi chương trình quay xổ số diễn ra 15 phút, người ghi đề sẽ không nhận ghi số cho ngày hôm đó nữa. Căn cứ vào kết quả xổ số trong ngày, nếu con số mà người mua gồm hai chữ số trùng với 2 chữ số cuối của vé số trúng giải đặc biệt thì người mua sẽ nhận được số tiền gấp 70 lần giá trị tiền đã mua; nếu con số người mua chọn gồm 3 chữ số trùng với 3 chữ số cuối của vé số trúng giải đặc biệt thì số tiền nhận được sẽ gấp 700 lần. Hãy lý giải tại sao chúng ta không nên tham gia vào trò chơi này?
Ví dụ 3.5: Gửi tiết kiệm
Một người có một khoản tiền T gửi vào ngân hàng với lãi suất hàng năm là 7%.
Câu hỏi 1: Tính số tiền người đó nhận về sau 1 năm, 2 năm, 3 năm,…n năm? Có nhận xét gì về dãy các khoản tiền của người đó trong ngân hàng qua từng năm?
Câu hỏi 2: Người đó muốn có khoản tiền là 100 triệu đồng cho con sau khi tốt nghiệp đại học (hệ 5 năm). Vậy phải chuẩn bị khoản tiền T là bao nhiêu để gửi vào ngân hàng khi con bắt đầu nhập học?
Bài toán trên được xây dựng với bối cảnh là “tài chính và ngân hàng”. Tình huống của câu hỏi liên quan đến tiền tệ và lãi suất cho một tài khoản tiết kiệm. Đây là một tình huống thực tiễn rất gần gũi với cuộc sống xung quanh mỗi cá nhân học sinh. Đó có thể là vấn đề thực tế trong gia đình, bà con, hàng xóm của các em. Yêu cầu thực tiễn ở đây là cần xác định được số tiền mà người gửi tiết kiệm nhận được sau 1 năm, 2 năm, 3 năm,...và n năm và số tiền cần gửi để sau 5 năm sẽ có được 100 triệu đồng. Điều này hoàn toàn phù hợp với suy nghĩ, mong muốn của mỗi người khi quyết định làm một việc gì đó người ta cần xem xét kết quả của nó sẽ ra sao, nên hay không nên thực hiện và thực hiện như thế nào. Từ tình huống thực tiễn này chúng ta liên hệ với nội dung kiến thức toán liên quan về cấp số nhân bao gồm: định nghĩa, công thức số hạng tổng quát, tính chất các số hạng để xây dựng thành bài toán Gửi tiết kiệm như trên.
3.2.1.2. Xuất phát từ một số mô hình toán học để xây dựng thành bài toán thực tiễn
Mô hình toán ở đây được hiểu là các tri thức toán học tương đối hoàn chỉnh, diễn tả tình huống nào đó trong cuộc sống. Những bài toán có mặt trong sách giáo khoa phổ thông đã được chính xác hóa, có đầy đủ cả giả thiết và kết luận, thậm chí đáp số tìm ra rất "đẹp". Khi chúng ta quan tâm tới PISA, quan tâm tới cách kết quả học sinh giải quyết những tình huống thực tiễn như thế nào thì đứng trước một bài toán cho trước ta có thể đặt ra câu hỏi: Liệu trong thực tiễn có thể gặp một bài toán tương tự như trên hay không? Để trả
lời cho câu hỏi trên chúng ta cố gắng tìm kiếm những bối cảnh, tình huống thực tiễn phù hợp với mô hình toán học trên rồi từ đó xây dựng nên bài toán thực tiễn tương tự. Hoạt động trên, có thể ví như đã có một “bộ xương” (toán học thuần túy), người giáo viên có nhiệm vụ “đắp” phần “thịt” để có một “cơ thể sống”. Mục đích là tạo nên các “hình ảnh”, giúp học sinh liên tưởng tới các tình huống gặp phải trong cuộc sống, để đặt ra các bài toán thực tiễn. Điều cốt lõi là phải tìm được các tình huống thực tiễn tương hợp với mô hình có sẵn. Giáo viên phải lựa chọn được các mô hình toán học có tiềm năng khai thác được sau đó mới tìm kiếm những tình huống thực tiễn phù hợp để ghép vào tạo thành bài toán thực tiễn tương tự.
Bài toán thực tiễn được xây dựng từ một mô hình toán học nào đó có thể không có sự thay đổi nào về nội dung so với bài toán ban đầu nhưng cũng có thể có những biến đổi nhất định tùy vào mục đích của giáo viên. Khi đó bài toán thực tiễn thu được sẽ có nội dung tương tự hoặc có liên quan đến bài toán ban đầu.
Ví dụ 3.6: Từ bài toán:
Tìm giá trị lớn nhất của hàm f (x,y) = xy với điều kiện: 2x +y = 150; x, y > 0.
ta có thể chuyển thành bài toán thực tiễn sau:
Rào vườn
Một người dùng 150m lưới để rào mảnh vườn rau. Hỏi người đó có thể rào được mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là bao nhiêu m2 biết rằng một kích thước của mảnh vườn có thể lợi dụng bờ tường không phải rào.
Việc giải bài toán thực tiễn này thực chất đưa về giải bài toán đã nêu ở trên nếu chúng ta xem hai đại lượng x và y là hai kích thước của mảnh vườn. Khi đó tích xy chính là diện tích của mảnh vườn. Như vậy nội dung của bài toán mới không có sự khác biệt nào so với bài toán ban đầu. Với cách chuyển
từ bài toán thuần túy toán học về bài toán thực tiễn như trên sẽ giúp các em nhận thấy mối quan hệ gần gũi giữa toán học và thực tiễn, rèn luyện ý thức cũng như năng lực toán học hóa và năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh.
Ví dụ 3.7: Bài toán mà sách giáo khoa Đại số 10 đưa ra là một ví dụ cụ
thể, áp dụng vào kinh tế, sau khi đã mô hình hoá có dạng:
Cho f (x,y) = ax + by, trong đó a, b không đồng thời bằng 0. Tìm
max f(x,y) với ≥ ≤ + 0 ,y x c y b x ai i i ai2 +bi2 ≠0, i = 1,...,m (*)
trong đó (*) xác định một miền đa giác lồi.
Đây là bài toán quy hoạch tuyến tính được đưa vào trong sách giáo khoa Đại số 10 dưới dạng một ví dụ áp dụng, sau phần bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, góp phần gắn chặt tri thức toán học với thực tiễn đời sống. Thông qua những tri thức toán học như vậy, ta có thể rèn luyện cho học sinh tư tưởng tối ưu hoá, tư duy thuật giải, tư duy kinh tế,…tạo điều kiện hình thành ở họ tác phong công nghiệp, lao động có kỹ thuật, sống có kỷ luật. Sách giáo khoa Đại số 10 chỉ xét bài toán trên, với giả thiết tập các điểm thoả mãn điều kiện (*) biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là miền của một đa giác lồi. Đồng thời đưa ra cách giải như sau: xác định miền đa giác lồi thoả mãn điều kiện (*), sau đó tìm các giá trị của f (x,y) tại các đỉnh, so sánh các giá trị tìm được và đưa ra kết luận. Tuy là một ví dụ cụ thể, nhưng sách giáo khoa đã đưa vấn đề này vào trong chương trình rất hợp lý, cả về dung lượng