1.4.3.1. Đặc điểm các bài toán của PISA
Tham khảo mẫu bài tập của PISA, chúng tôi được biết cơ cấu mỗi bài tập gồm có hai phần: Phần thứ nhất nêu nội dung toán học (có thể trình bày dưới dạng văn bản, bảng biểu, biểu đồ, đồ thị,…); phần thứ hai là câu hỏi.
Phần thứ nhất mô tả các tình huống thực tiễn, đó là những tình huống có tính thời sự trong thời điểm hiện tại. Trong phần này cũng có thể chứa đựng cả những thông tin không liên quan đến câu hỏi ở phần thứ hai, buộc học sinh phải so sánh, lựa chọn. Ở phần thứ hai, là phần câu hỏi. Thông
T H T A3 A1 A2
thường sẽ có nhiều câu hỏi ứng với một tình huống được đưa ra. Có thể hình dung kết cấu bài toán của PISA theo hình cây sau đây:
Hình 1.3: Mô tả đặc điểm bài toán PISA
Trong đó thân cây là các nội dung toán học được tích hợp trong một tình huống cụ thể, mỗi một chiếc cành mang một câu hỏi mà người học có nhu cầu cần giải đáp. Như vậy, xét về mặt cấu trúc nói chung thì nó giống với mô hình bài toán có nội dung thực tiễn. Các câu hỏi được bố trí phức tạp dần theo các cấp độ: ghi nhớ và tái hiện; kết nối và tích hợp; khái quát hóa, toán học hóa. Mỗi câu kiểm tra một cấp độ năng lực. Với cấu trúc và nội dung như vậy, các bài kiểm tra của PISA có thể kiểm tra năng lực toán học thuần túy của học sinh vừa có tác dụng nhất định trong việc phát triển năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn.
Nội dung toán trong các bài toán của PISA không thuộc chuyên đề toán học rõ ràng nào (Đại số, Giải tích, hình học,…) mà tích hợp chúng trong một bài toán; Các nội dung tích hợp đó ẩn trong các nhiệm vụ (câu hỏi) của bài toán chứ không nêu một cách tường minh như các bài toán truyền thống; Về mặt toán học, các tri thức toán ẩn trong các bài toán PISA cũng khá đơn giản chứ không phức tạp, hàn lâm như những bài toán trong SGK của chúng ta. Do đó, để giải được các bài toán này, không đòi hỏi học sinh có nhiều tri thức toán, mà đòi hỏi học sinh cần có năng lực ghi nhớ, vận dụng và khái quát mới có thể làm được.
1.4.3.2. Các loại câu hỏi
OECD/PISA sẽ đánh giá hiểu biết toán thông qua một sự kết hợp các loại câu hỏi:
- Câu hỏi trắc nghiệm truyền thống (Traditional multiple- choice): HS phải lựa chọn câu trả lời đúng từ một số các đáp án cho trước.
- Câu hỏi trắc nghiệm phức hợp (Complex multiple - choice): HS phải lựa chọn câu trả lời đúng từ một số đáp án cho trước.
- Câu hỏi có câu trả lời đóng (Closed -contructed reponse): Câu trả lời có dạng là số hoặc dạng khác, đáp án trả lời là duy nhất.
- Câu hỏi có câu trả lời ngắn (Short - reponse): HS trả lời tóm tắt mỗi câu hỏi đưa ra. Không giống như dạng câu hỏi đóng, có thể có nhiều đáp án đúng cho dạng câu hỏi này.
- Câu hỏi có câu trả lời mở (Open - contructed reponse): HS phải trả lời dài hơn dưới dạng viết. Thường có nhiều khả năng trả lời đúng có thể đưa ra. Không giống như những dạng câu hỏi khác, điểm của những câu hỏi loại này đòi hỏi đánh giá cụ thể của người chấm.
Ví dụ 1.2: Tỉ giá (Dịch theo [45, tr. 51])
Mei – Ling từ Singapore đang chuẩn bị đến Nam Phi theo chương trình trao đổi sinh viên. Cô ấy cần đổi một số đô la Singapore (SGD) thành đồng rand Nam Phi (ZAR) .
Câu hỏi 1: Mei – Ling biết rằng tỉ giá giữa đô la Singapore và đồng rand Nam Phi là: 1SGD = 4,2 ZAR. Mei - Ling muốn đổi 3000 đô la Singapore thành đồng rand Nam Phi với tỉ giá trên. Mei - Ling đổi được bao nhiêu đồng rand Nam Phi?
Kiểu câu hỏi : Câu hỏi có câu trả lời đóng Đáp án : 3 000 x 4,2 = 12 600 (ZAR)
Câu hỏi 2: Quay trở lại Singapore sau 3 tháng, Mei - Ling còn 3900 ZAR. Cô ấy muốn đổi thành đô la Singapore và tỉ giá lúc này là: 1SGD = 4 ZAR. Mei - Ling đổi được bao nhiêu đô la Singapore?
Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng
Đáp án: 975 SGD
Câu hỏi 3: Trong 3 tháng, tỉ giá đã thay đổi từ 4,2 xuống 4 ZAR cho mỗi SGD. Mei - Ling có lợi không khi cô đổi đồng rand Nam Phi thành đô la Singapore? Hãy đưa ra lời giải thích cho câu trả lời của bạn.
Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời mở Đáp án: Có thể có nhiều cách lập luận như
- Có lợi vì cô ấy nhận 4,2 ZAR cho 1 SGD nhưng chỉ phải trả 4 ZAR cho 1 SGD.
- Có, bởi tỷ giá hối đoái thấp hơn, Mei - Ling sẽ nhận được nhiều đô la Singapore hơn với số tiền đang có.
- Có, bởi vì mỗi SGD rẻ hơn được 0,2 ZAR.
- Có, bởi vì khi bạn chia cho 4,2 kết quả sẽ nhỏ hơn so với khi bạn chia cho 4. - Có, có lợi cho mình bởi nếu nó không xuống thì cô ấy sẽ nhận ít hơn khoảng 50 SGD.
Hai câu hỏi đầu tiên của bài tập thuộc về năng lực tái hiện. Cả hai đều yêu cầu HS liên kết các thông tin cung cấp theo yêu cầu tính toán tuy nhiên câu 2 khó hơn vì nó yêu cầu đảo ngược suy nghĩ. Câu 3 có mức độ khó cao hơn yêu cầu HS trước hết là xác định các dữ kiện toán học có liên quan, so sánh cả hai câu trả lời và kết luận và đồng thời giải thích kết luận đưa ra. Ở kì đánh giá 2003 có 79,7 % HS thuộc khối OECD trả lời đúng câu hỏi 1; 73,9% trả lời đúng câu hỏi 2 và 40,3% trả lời đúng câu hỏi 3.
Ví dụ 1.3: Trò chuyện qua Internet (Dịch theo [45, tr. 49])
Mark (từ Sydney, Australia) và Hans (từ Berlin, Đức) thường xuyên trao đổi với nhau bằng cách sử dụng “Chat” trên Internet. Để có thể trò chuyện, họ phải đăng nhập cùng một lúc vào mạng. Để tìm thời điểm thích hợp, Mark tìm ở bảng múi giờ quốc tế (Hình 1.4) và thấy như sau:
Hình 1.4: Sơ đồ về thời gian quốc tế
Câu hỏi 1: Khi ở Sydney là 7 giờ chiều thì ở Berlin là mấy giờ? Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời đóng
Đáp án: 10 giờ sáng
Câu hỏi 2: Mark và Hans không thể liên lạc với nhau vào khoảng thời gian từ 9 giờ sáng đến 4 giờ 30 phút buổi chiều (giờ địa phương) vì họ phải đi học. Ngoài ra, từ 11 giờ tối đến 7: 00 sáng (giờ địa phương) họ cũng không thể trò chuyện vì đó là giờ đi ngủ.
Khi nào là thời gian thuận lợi nhất để Mark và Hans có thể trò chuyện với nhau? Hãy viết giờ địa phương vào bảng 1.6 dưới đây:
Bảng 1.6: Bảng ghi câu trả lời
Địa điểm Thời gian
Sydney Berlin
Kiểu câu hỏi: Câu hỏi có câu trả lời ngắn
Đáp án: HS sẽ trả lời đúng nếu đưa ra được bất kì thời gian nào phù hợp với điều kiện đã cho và chênh lệch về thời gian là 9 giờ. Đáp án có thể được lấy từ một trong những khoảng thời gian sau đây.
Sydney: 4: 30 chiều – 6: 00 chiều; Berlin: 7: 30 tối – 9: 00 sáng Sydney: 7:00 sáng – 8: 00 sáng; Berlin: 10: 00 tối – 11: 00 tối
Mặc dù các dữ kiện đưa ra ít và có vẻ đơn giản nhưng đây là một câu hỏi khá phức tạp. HS cần hiểu được rằng thời gian ngủ và thời gian ở trường hạn chế thời gian thích hợp hai người có thể trò chuyện với nhau. Đầu tiên cần
phải xác định thời gian rỗi của mỗi người theo giờ địa phương sau đó so sánh để tìm thời gian mà cả hai có thể thực hiện chúng cùng một lúc. Theo báo cáo của PISA năm 2003, chỉ có 29% HS các nước trong khối OECD trả lời thành công câu hỏi này.
1.4.3.3. Một số bài toán minh họa
Ví dụ 1.4: Hải đăng [41, tr. 40]
Các ngọn hải đăng là những tháp với một đèn hiệu sáng ở trên đỉnh tháp. Các ngọn hải đăng trợ giúp các tàu biển tìm đường đi trong đêm tối khi đang đi sát với bờ biển.
Một đèn hiệu hải đăng phát ra những chớp nháy theo một quy luật cố định thường xuyên. Mỗi ngọn hải đăng có quy luật riêng của nó. Trong sơ đồ dưới đây bạn thấy một quy luật của một ngọn hải đăng. Các chớp sáng luân phiên với giai đoạn tối.
Nó là một quy luật đều đặn. Sau một khoảng thời gian, quy luật sẽ tự lặp lại. Thời gian xảy ra hoàn toàn một chu trình của quy luật, trước khi nó bắt đầu để lặp lại được gọi là một chu kỳ. Khi bạn tìm chu kỳ cho một quy luật, sẽ dễ hơn khi bạn mở rộng sơ đồ cho những giây hay phút hay thậm chí là những giờ tiếp theo.
Câu hỏi 1: Chu kỳ quy luật của ngọn hải đăng là bao nhiêu? A. 2 giây.
B. 3 giây C. 5 giây D. 12 giây
Loại câu hỏi: Nhiều lựa chọn Cụm năng lực: Các liên kết
Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng
Cách không bình thường của bài toán này khi trình bày cho học sinh là chuyển ngay khỏi cụm năng lực tái tạo. Biểu diễn đồ thị là mới đối với hầu hết nếu không nói là tất cả học sinh. Điều này liên quan đến việc lý giải và kỹ năng suy luận đúng ngay từ khi bắt đầu bài toán. Hầu hết học sinh có lẽ sẽ tái tạo lại tình huống này trong đầu: tối – tối – sáng – tối – sáng – tối – tối – sáng – và tiếp tục. Các em phải tìm ra “nhịp điệu”, hoặc với sự trợ giúp của biểu diễn đồ thị hoặc một vài biểu diễn khác như định hướng bằng chữ như vừa được trình bày. Việc đưa đến các liên kết giữa các biểu diễn khác nhau làm cho câu hỏi hỏi này khớp với cụm năng lực liên kết.
Khái niệm cơ bản về tuần hoàn là quan trọng không chỉ trong ngành toán mà còn trong cuộc sống hằng ngày. Thực nghiệm chỉ ra rằng, hầu hết các học sinh thấy rằng bài toán này không khó, mặc dù sự thể hiện bài toán là không quen thuộc.
Một số người sẽ tranh cãi rằng tình huống này có thể thiên vị những học sinh sống gần biển hay đại dương. Tuy nhiên, cũng nên chỉ ra rằng hiểu biết toán bao gồm khả năng sử dụng toán trong những tình huống khác với ở địa phương. Điều đó không nhất thiết có nghĩa là các học sinh sống gần biển có thể không ở vị trí thuận lợi. Tuy nhiên, phân tích câu hỏi theo từng nước đã cho không có chỉ số nào đáng quan tâm về điều đó. Những quốc gia trong lục địa đã thể hiện không khác gì với các quốc gia có bờ biển.
Câu hỏi 2: Trong một phút, đèn hải đăng phát ánh sáng bao nhiêu giây?
A. 4B. 12 B. 12 C. 20 D. 24
Loại câu hỏi: Nhiều lựa chọn Cụm năng lực: Các liên kết
Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng
Câu hỏi này hơi khó hơn câu hỏi 1, bài toán cũng hơi khác về bản chất. Học sinh phải chuyển thể và mở rộng mô hình trực quan được cho thành một mô hình số giúp các em phân tích quy luật tuần hoàn trên một phút. Học sinh không nhất thiết phải trả lời đúng Câu hỏi 1, nhưng dùng kết quả đó là một trong những phương án có thể: do chu kỳ là 5, có 12 chu kỳ trong một phút, và do mỗi chu kỳ có 2 nháy sáng vì thế đáp số phải là 24. Một phương án khác mà các học sinh ở mức độ này có thể dùng là xem xét đồ thị cho 12 giây hoặc 12 giây đầu tiên, do các số này là ước số của 60. Nếu xem xét trong 10 giây, các em sẽ thấy 4 nháy sáng, được nhân với 6 và đáp số sẽ lại là 24. Tuy nhiên, chúng ta “thực sự” không có “minh chứng” là các em đã hiểu hoàn toàn bài toán. Giống như vậy cho 12 giây: 4 nháy sáng nhân với 5 cho đáp số 20, sai. Sự khác biệt là ở chỗ với cách chọn 10, học sinh có chính xác 2 chu kỳ, và nếu chọn 12 các em không có một bội số của chu kỳ. Một bài toán đích thực, không quá khó, được kết hợp vào với cụm các liên kết cũng do nhiều bước cần đến.
Câu hỏi 3: Trong sơ đồ dưới đây, hãy vẽ một đồ thị cho một quy luật có thể xảy ra của các nháy sáng của một ngọn hải đăng phát sáng 30 giây trong một phút. Chu kỳ của quy luật này phải là 6 giây.
Sáng
Tối
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Loại câu hỏi: Tìm trả lời mở Cụm năng lực: Phản ánh
Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng
Cách hành văn của của vấn đề đã chỉ ra là “mở” như thế nào: “vẽ một đồ thị cho một quy luật có thể xảy ra của các nháy sáng”. Mặc dầu câu hỏi này có vẻ như là có liên hệ mật thiết với hai câu hỏi ở trên, nhưng tỉ lệ trả lời đúng của học sinh là hơi thấp, điều đó làm cho câu hỏi này được xem là “hơi khó”.
Thật thú vị khi học sinh thường xuyên được yêu cầu để “xây dựng” hay “thiết kế” một cái gì đó, đây có vẻ như là một khía cạnh mới của hiểu biết toán: sử dụng các năng lực toán không phải chỉ theo cách thụ động hay chuyển hóa, mà còn xây dựng một câu trả lời. Giải quyết vấn đề này là không tầm thường, bởi vì có hai điều kiện phải thỏa mãn: số lượng thời gian sáng và tối bằng nhau (“30 giây mỗi phút”), và một chu kỳ 6 giây. Sự kết hợp này làm cho vấn đề trở nên chính yếu khi học sinh thực sự đạt tới mức độ khái niệm để hiểu tính chu kỳ. Trong trường hợp này chúng ta làm việc với cụm năng lực phản ánh.
Ví dụ 1.5: Cước phí [41, tr. 43]
Cước phí ở Zedland dựa vào trọng lượng của bưu phẩm (đến gram gần nhất), được cho theo bảng sau:
TT Trọng lượng Cước phí 1 Đến 20g 0,46 Zeds 2 21g - 50g 0,69 Zeds 3 51g – 100g 1,02 Zeds 4 101g - 200g 1,75 Zeds 5 201g - 350g 2,13 Zeds
6 351g - 500g 2,44 Zeds 7 501g - 1000g 3,20 Zeds 8 1001g – 2000g 4,27 Zeds 9 2001g – 3000g 5,03 Zeds
Câu hỏi 1: Đồ thị nào sau đây là biểu diễn tốt nhất cho giá cước bưu phẩm ở Zedland?
(Trục hoành chỉ trọng lượng theo gram, và trục tung chỉ giá theo đồng Zed)
Loại câu hỏi: Nhiều lựa chọn Cụm năng lực: Liên kết
Ý tưởng bao quát: Không chắc chắn Bối cảnh: Công cộng
Tình huống rõ ràng là công cộng và bài toán này thường hay gặp, nhưng không nhất thiết phải dưới dạng này. Trong cuộc sống thường ngày các
người ta chỉ đưa bưu phẩm vào quầy và hỏi cước phí sẽ là bao nhiêu. Nhưng người ta trông đợi những công dân có hiểu biết phản ánh một ít về cấu trúc của hệ thống cước phí và những cấu trúc tương tự. Nhiều người biết rằng sự tăng cước phí lúc đầu là khá cao, nhưng nếu thêm trọng lượng thì sự tăng cước phí sẽ giảm lại. Cấu trúc này cũng khá thông dụng.
Câu hỏi 2: Jan muốn gửi hai bưu phẩm, nặng tương ứng là 40 gram và 80 gram cho một người bạn. Theo bảng giá cước bưu phẩm ở Zedland, hãy quyết định liệu gửi hai bưu phẩm trong cùng một gói rẻ hơn hay là gửi hai bưu phẩm riêng lẻ nhau. Trình bày tính toán về giá cước cho mỗi trường hợp.
Loại câu hỏi: Tìm trả lời đóng Cụm năng lực: Phản ánh
Ý tưởng bao quát: Thay đổi và các quan hệ Bối cảnh: Công cộng