Gợi động cơ hoạt động trong dạy học các khái niệm, định lí, bài tập về hệ thức lượng trong tam giác và trong đường tròn lớp 10 PTTH

1 Phần I: Mở đầu I Lí chọn đề tài Thực trạng dạy học Toán trờng THPT từ trớc tới thiên truyền thụ kiến thức chiều Vì vậy, phơng pháp dạy học cha phát huy đợc tính tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh, làm họ rơi vào bị động tiếp nhận kiến thức, họ học thuộc công thức mà không hiểu đợc chất vấn đề gì? Cơ sở lại có kiến thức ấy? Dẫn đến mơ hồ thiếu khoa học kiến thức mà trò tiếp nhận Và lối truyền thụ kiến thức mà không gây cho trò hứng thú tập trung học lớp, không phát huy phát triển đợc tiềm t học sinh Xuất phát từ yêu cầu xà hội phát triển nhân cách hệ trẻ, từ đặc điểm nội dung từ chất trình học tập, buộc phải đổi phơng pháp dạy học theo định hớng hoạt động hoá ngêi häc Tæ chøc cho häc sinh häc tËp hoạt động hoạt động tự giác, tích cực chủ động sáng tạo Khi nghiên cứu lí thuyết hoạt động, quan tâm đến thành tố hoạt động động hoạt động, lẽ đóng góp vào lí thuyết hoạt động u điểm lớn sau: - Việc thiết kế giảng, tổ chức dạy lớp gợi động hoạt động cho học sinh tạo cho họ niềm say mê hứng thú, trí tò mò khám ph¸ tri thøc khoa häc, gióp c¸c em hiĨu vÊn đề giải vấn đề - Gợi động nh»m lµm cho häc sinh cã ý thøc vỊ ý nghĩa hoạt động đối tợng hoạt động Gợi động nhằm làm cho mục đích s phạm biến thành mục đích cá nhân học sinh Nó có tác dụng phát huy tính tích cực tự giác học sinh hớng vào việc khơi dậy, phát triển khả suy nghĩ làm việc cách tự chủ, sáng tạo, động, tự khám phá nắm bắt cha biết, tìm kiến thức, chân lí, giải đợc toán dới dẫn dắt giáo viên Về vấn đề gợi động cho hoạt động dạy học Toán đà có nhiều tác giả bàn tới công trình hay luận văn mình, chẳng hạn tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thuỵ Phơng pháp dạy học môn Toán Cũng đà nghiên cứu lí luận gợi động cơ, nhng cha có điều kiện sâu vào nghiên cứu lĩnh vực kiến thức cụ thể; riêng lĩnh vực hình học có nhiều tác giả nghiên cứu vấn đề gợi động cơ, chẳng hạn: GS.TS Đào Tam với giáo trình Phơng pháp dạy học hình học trờng THPT đà thành công việc gợi động cơ, hớng đích cho việc hình thành khái niệm, quy tắc, phát định lý, chẳng hạn: Khái niệm hai vectơ phơng hay chiều, hai vectơ nhau, quy tắc hình bình hành, định lý cosin tam giác (Hình hoc 10); Định lý quan hệ song song, vuông góc không gian (Hình học 11); Khái niệm elip, hypebol (Hình học 12) Hay nh luận văn thạc sĩ Nguyễn Dơng Hoàng- Đại học Huế- 1999 với tiêu đề: Hoạt động gợi động hớng đích dạy học định lý hình học không gian lớp 11 THPT, nhiên làm sáng tỏ vận dụng gợi động dạy học hình học 11 Tác giả Phạm Sĩ Nam- Đại học Vinh- 2001, luận văn thạc sĩ đà thực việc gợi động với đề tài Thực hành dạy học giải tập biến đổi lợng giác theo hớng gợi động cho học sinh khá, giỏi trung học phổ thông Việc gợi động đợc số tác giả khác quan tâm nhng cha có điều kiện nghiên cứu sâu sắc, đề cập tới công trình hay luận văn số phân mục nhỏ (Chẳng hạn luận văn thạc sĩ Nguyễn Thị Hờng- Đại học Vinh2001, với đề tài Vận dụng quan điểm hoạt động hoá ngời học thông qua chủ đề hệ thức lợng tam giác đờng tròn lớp 10 THPT) Nh việc gợi động hoạt động dạy học đợc quan tâm, song cha đợc rộng khắp kiến thức Toán học, chẳng hạn phần kiến thức hệ thức lợng tam giác đờng tròn (Chơng II, sách giáo khoa hình học 10 hành) Về việc dạy học chơng đà có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nhằm cao hiệu ,chẳng hạn: Thực hành dạy học chơng II hệ thức lợng tam giác hình tròn hình học 10 CCGD theo hớng tích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh Phạm Hồng Đức - ĐH Vinh 1999 - luận văn thạc sĩ giáo dục; Vận dụng quan điểm hoạt động hoá ngời học thông qua dạy học chủ đề hệ thức lợng tam giác đờng tròn lớp 10 THPT Nguyễn Thị Hờng - Đại học Vinh năm 2001 - luận văn thạc sĩ giáo dục; Tích cực hoá hoạt động nhận thức học sinh thông qua dạy học khai thác ứng dụng định lí: cosin, sin, công thức độ dài đờng trung tuyến Lê Đăng Khoa - Đại học Vinh 2003 khoá luận tốt nghiệp Trong luận văn tác giả chủ yếu đề cập đến biện pháp giúp học sinh hoạt động cách tích cực, nhằm ứng dụng khai thác khái niệm, định lí; đó, chơng Hệ thức lợng tam giác đờng tròn phần kiến thức khó, nên gây cho học sinh tâm lí ngại học phần Vì gợi động hình thành khái niệm, công thức, phát định lí giải pháp đắn để tạo hứng thú học tập cho học sinh, làm cho học sinh có ý thức tự giác, tích cực học phần kiến thức Đó tiền đề tốt để học sinh tiến tới khai thác tốt ứng dụng khái niệm, định lí Nâng cao hiệu dạy học , làm cho học sinh thấy đợc đẹp, gây cho họ hứng thú học phần kiến thức hệ thức lợng tam giác đờng tròn lý chọn đề tài: Gợi động hoạt động dạy học khái niệm, định lí, tập hệ thức lợng tam giác đờng tròn lớp 10 THPT II Mục đích nghiên cứu: Mục đích nghiên cứu luận văn xác định sở lý luận thực tiển làm đề biện pháp thực gợi động cho hoạt động dạy học hệ thức lợng tam giác đờng tròn, sở tôn trọng chơng trình sách giáo khoa hành nhằm nâng cao hiệu dạy học toán trờng THPT III Nhiệm vụ nghiên cứu: a, Xác định vị trí, vai trò gợi động hoạt động trình dạy học Toán b, Xác định sở đề nguyên tắc theo hớng gợi động c, Xác định nguyên tắc cần quán triệt thực hành dạy học phần hệ thức lợng tam giác đờng tròn theo hớng gợi động d, Đề xuất biện pháp gợi động dạy học hệ thức lợng tam giác đờng tròn IV Giả thuyết khoa học Trong trình dạy học, giáo viên biết tổ chức tốt việc gợi động cho hoạt động điều hớng học sinh vào việc giải vấn đề toán học cách tích cực mà hình thành học sinh phẩm chất trí tuệ từ góp phần nâng cao hiệu dạy học Toán V Phơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận: từ sách báo tài liệu chuyên môn xác định nội dung, đặc điểm, chất khái niệm động hoạt động Phân tích SGK Hình học lớp 10 hành để cách thức gợi động hoạt động nh vào dạy học phần kiến thức hệ thức lợng tam giác đờng tròn nhằm nâng cao hiệu dạy học Điều tra việc thực gợi động hoạt động dạy học Toán trờng THPT Thực nghiệm s phạm VI Đóng góp luận văn Về mặt lí luận: - Làm sáng tỏ nội dung gợi động hoạt động nh vai trò, vị trí cần thiết hoạt động dạy học Toán trờng THPT - Đề xuất biện pháp cần thực dạy học phần kiến thức hệ thức lợng tam giác đờng tròn Về mặt thực tiễn: Luận văn làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán THPT, sinh viên trờng đại học s phạm VII Cấu trúc luận văn: Phần I: Mở đầu - Lý chọn đề tài - Mục đích nghiên cứu - Nhiệm vụ nghiên cứu - Giả thuyết khoa học - Phơng pháp nghiên cứu - Đóng góp luận văn Phần II: Nội dung Chơng I: Một số vấn đề sở lí luận thực tiễn xây dựng nguyên tắc dạy học kiến thức hệ thức lợng tam giác đờng tròn theo hớng gợi động Đ1: Gợi động hoạt động dạy học toán 1.1 Hoạt động học sinh thành tố PPDH 1.2 Gợi động hoạt động dạy học Toán 1.2.1 Thế gợi động hoạt động 1.2.2 Các cách thờng dùng để gợi động 1.2.3 Mối liên hệ gợi động với hoạt động khác dạy học 1.2.4 Mối liên hệ g6ợi động với tình gợi vấn đề dạy học Toán 1.2.5 Vai trò gợi động dạy học Toán Đ2 Thực trạng việc thực gợi động hoạt động dạy học Toán Chơng II Một số biện pháp tạo tình nhằm gợi động hoạt động dạy học khái niệm, định lí, tập hệ thức lợng tam giác đờng tròn Đ 1: Các sở xây dựng nguyên tắc gợi động hoạt động dạy học khái niệm, định lí, tập hệ thức lợng tam giác đờng tròn 1.1.Cơ sở đề nguyên tắc a, Cơ sở triết học b, Cơ sở tâm lí học c, Cơ sở s phạm thực tiễn d, Cơ sở lí luận dạy học Toán 1.2 Các nguyên tắc cần quán triệt gợi động cho hoạt động dạy học khái niệm, định lí, tập hệ thức lợng tam giác đờng tròn 1.2.1 Dạy học tuân theo quy luật phép biện chứng thể trình độ nhận thức 1.2.2.Dạy học phù hợp với trình độ nhận thức học sinh 1.2.3 Đảm bảo thống hoạt động điều khiển thầy hoạt động học tập trò định hớng đổi phơng pháp dạy học 1.2.4 Khai thác đặc trng lợng giác với t cách tri thức môn học 1.2.5.Đảm bảo tôn trọng, kế thừa phát triển tối u chơng trình SGK hành Đ 2: Một số biện pháp tạo tình nhằm gợi động hoạt động dạy học khái niệm, định lí, tập hệ thức lợng tam giác đờng tròn 2.1 Thực tạo tình nhằm gợi động hoạt động dạy học khái niệm 2.1.1 Mục đích 2.1.2 Nội dụng 2.1.3 Biện pháp 2.1.3.1 Gợi động để hình thành khái niệm 2.1.3.2 Gợi động để củng cố khái niệm 2.2 Thực tạo tình nhằm gợi động hoạt động dạy học định lí 2.2.1 Mục đích 2.2.2 Nội dụng 2.2.3 Biện pháp 2.2.3.1 Gợi động để tìm tòi, phát định lí 2.2.3.2 Gợi động để tìm đờng lối chứng minh trình bày chứng minh 2.2.3.3 Gợi động nhằm củng cố, khắc sâu định lí 2.3 Thực tạo tình nhằm gợi động hoạt động dạy học tập 2.3.1 Mục đích 2.3.2 Nội dụng 2.3.3 Bịên pháp Chơng III Thực nghiệm s phạm Mục đích nghiên cứu Nội dung thực nghiệm Kết thực nghiệm Phần III Kết luận Phần II: Nội dung Chơng I: Một số vấn đề sở lí luận thực tiễn xây dựng nguyên tắc dạy học kiến thức hệ thức lợng tam giác đờng tròn theo hớng gợi động Đ 1: Gợi động hoạt động dạy học toán 1.1 Hoạt động học sinh thành tố sở phơng pháp dạy học: 1.1.1.Hoạt động học sinh: Công cc x©y dùng x· héi míi tríc ngìng cưa cđa kỷ XXI đòi hỏi nhà trờng phổ thông phải đào tạo ngời nắm đợc kiến thức khoa học mà loài ngời đà tích luỹ đợc mà phải có lực sáng tạo, giải vấn đề mẻ đời sống thân mình, đất nớc, xà hội Trong vài thập kỷ gần đây, dựa thành tựu tâm lý học, lý luận dạy học đà chứng tỏ đạt đợc mục đích cách đa học sinh vào vị trí chủ thể hoạt động trình dạy học, thông qua hoạt động tự lực, tích cực thân mà chiếm lĩnh kiến thức đồng thời hình thành phát triển lực Hoạt động quy luật chung tâm lý học Nó phơng thức tồn sống chủ thể Hoạt động sinh từ nhu cầu nhng lại đợc điều chỉnh mục tiêu mà chủ thể nhận thức đợc Nh vậy, hoạt động hệ toàn vẹn gồm hai thành tố bản: Chủ thể đối tợng; chúng có tác động lẫn nhau, thâm nhập vào sinh thành tạo phát triển hoạt động Hoạt động học yếu tố quan trọng có tính chất định, thông thờng hoạt động khác hớng vào làm thay đổi khách thể (đối tợng hoạt động) hoạt động học lại làm cho chủ thể hoạt động thay đổi phát triển Dĩ nhiên có hoạt động học lại làm thay đổi khách thể nhng phơng tiện để đạt mục đích làm cho ngời học phát triển lực nhận thức (chẳng hạn thí nghiệm vật lí, hoá học) Hoạt động mắt xích, điều kiện hình thành nên mối liên hệ hữu mục đích, nội dung phơng pháp dạy học Mỗi nội dung dạy học liên hệ mật thiết với hoạt động định Đó hoạt động đà đợc tiến hành trình hình thành vận dụng nội dung Cho nên, để đảm bảo đợc nội dung dạy học, thu đợc kết nh mong muốn chóng ta cÇn tỉ chøc cho chđ thĨ häc sinh tiến hành hoạt động cách tự giác hiệu Cụ thể là: Bắt đầu từ nội dung dạy học ta cần phát hoạt động liên hệ với vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh số hoạt động đà phát đợc Việc phân tích hoạt động thành hoạt động thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành hoạt động với mức độ vừa sức với họ t tởng chủ đạo để ®i ®Õn xu híng cho häc sinh thùc hiƯn vµ tập luyện hoạt động hoạt động thành phần tơng thích với nội dung mục đích dạy học Hoạt động thúc đẩy phát triển hoạt động mà chủ thể thực cách tích cực tự giác Vì thế, cần gắn liền với gợi động để học sinh ý thức rõ ràng thực hoạt động hay hoạt động khác Chính vậy, xu hớng gợi động đợc đa vào quan điểm hoạt động PPDH trở thành xu hớng hoạt động có ý nghĩa đặc biệt quan trọng Việc tiến hành hoạt động đòi hỏi tri thức định, đặc biệt tri thức phơng pháp Những tri thức nh có lại kết trình hoạt động Thông qua hoạt động để truyền thụ tri thức, đặc biệt tri thức phơng pháp có ý nghĩa quan trọng dạy học Trong hoạt động, kết rèn luyện mức độ hoạt ®éng cã thĨ lµ tiỊn ®Ị ®Ĩ tËp lun vµ đạt kết cao hoạt động Cho nên, cần phân bậc hoạt động theo mức độ khác làm sở cho việc đạo, điều khiển trình dạy học Nói tóm lại, để thực cách toàn diện mục đích dạy học phải tổ chức thực hoạt động theo xu hớng Những t tợng chủ đạo hớng vào việc tập luyện cho học sinh hoạt động hoạt động thành phần, gợi động hoạt động, xây dựng tri thức mà đặc biệt tri thức phơng pháp, phân bậc hoạt động Nên chúng đợc xem thành tố sở PPDH 1.1.2 Các thành tố sở hoạt động dạy học toán: (Các t tởng chủ đạo thể quan điểm hoạt động phơng pháp dạy học toán) (xem[ 11]) 10 1.1.2.1 Cho häc sinh thùc hiƯn vµ tập luyện hoạt động hoạt động thành phần tơng thích với nội dung mục tiêu dạy học: Một hoạt động ngời học đợc gọi tơng thích với nội dung dạy học có tác động góp phần kiến tạo củng cố, ứng dụng Những tri thức đợc bao hàm nội dung rèn luyện kỹ năng, hình thành thái độ có liên quan Việc phát hoạt động tơng thích với nội dung phần quan trọng vào hiểu biết dạng nội dung khác nhau: Khái niệm, định lí, hay phơng pháp, đờng khác để dạy học nội dung; Chẳng hạn: Con đờng quy nạp, suy diễn hay kiến thiết để tiếp cận khái niệm? Con đờng tuý suy diễn hay có suy đoán để dạy học định lí đờng nói ta cần ý xem xét dạng hoạt động khác bình diện khác nh: - Nhận dạng thể - Những hoạt động toán học phức hợp - Những hoạt động trí tuệ phổ biến môn Toán - Những hoạt động trí tuệ chung - Những hoạt động ngôn ngữ Ví dụ: Khi dạy phần: Liên hệ tỷ số lợng giác hai gãc bï nhau”, ta cã thĨ tỉ chøc c¸c hoạt động: * Hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tơng tự Ta biết đờng tròn đơn vị, điểm M, M vectơ OM ' OM à à đối xøng qua trơc tung (Trong ®ã MOx = α, M 'Ox = 1800 - ), vận dụng định nghĩa tỉ số lợng giác góc tìm mối liên hệ cos cos(1800 - ), sin sin(1800 - )? * Hoạt động nhận dạng thể hiện: + sin320 = sin1480 ? - cos320 = cos1480 ? sin2320 = 1- cos21480 ? cos2220 = 1- sin21590 ? 83 2, Tính đợc góc tam giác biết ba cạnh 3, Nhận dạng tam gi¸c cos A > b + c > a   ⇔ cos B > ⇔ a + c > b cos C > b + a > c   + ∆ABC nhän  cos A < b + c < a   2 + ∆ABC tï ⇔  cos B < ⇔  a + c < b cos C < b + a < c   + ∆ABC vu«ng cos A = b + c = a   ⇔ cos B = ⇔ a + c = b cos C = b + a = c   4, Chứng minh hệ thức lợng giác tam giác - Có thể tính đợc AC AB qua a, b ,c kh«ng? uuu uuu b + c − a r r AB AC = (*) Từ ta có ứng dụng định lí cosin chẳng hạn áp dụng (*) vào tập trang 52 SGK Hình học 10 để chứng minh lại công thức Hêrông tính điện tích tam gi¸c: S ABC = p ( p − a )( p − b)( p − c) (trong ®ã p = a+b+c ) - Định lí cosin biến đổi theo cách không? a = b + c − 2bc cos A ⇔ a = b + c − 2bc sin A ⇔ cot gA = cot gB = b2 + c2 − a2 T¬ng 4S cos A sin A tù cã: a + c2 − b2 a2 + b2 − c2 , cot gC = 4S 4S (Định lí cosin mở rộng) Ví dụ 3: Từ định lí mục trục đẳng phơng hai đờng tròn, sau chứng minh định lí, giáo viên nói có phơng pháp chứng minh điểm thẳng hàng? Nêu phơng pháp? ii, Biện pháp 2: Gợi động lật ngợc vấn đề cách xét mệnh đề đảo Ví dụ 1: Định lí: Hai góc bù có sin cosin đối 84 Tóm tắt định lí: = 1800 - , ∈ [00; 1800] ⇒ sinα1 = sinα2 vµ cosα1 = cos2 ã Giáo viên yêu cầu xem xét mệnh đề đảo định lí không? - Lập mệnh đề đảo: Định lí có dạng ( P) (Q) ( R) + Mệnh đề đảo 1: ( ( Q ) ∧ ( R ) ⇒ ( P ) ) ⇔ ( ( sin α = sin α ) ∧ ( cosα1 = −cosα ) ⇒ α1 = 1800 − α , α1 00 ;1800 + Mệnh đề đảo 2: ( ( Q ) ⇒ ( P ) ) ⇔ ( ( sin α = sin α ) ⇒ α1 = 1800 − α , α1 ∈ 00 ;1800    ) + MƯn ®Ị ®¶o 3: ( ( R ) ⇒ ( P ) ) ⇔ ( ( cosα = −cosα ) ⇒ α1 = 1800 − α , α1 ∈ 00 ;1800    ) - LËp luËn: + Mệnh đề đảo vì: Xét hai trờng hợp: α1 = 900 ⇒ α2 = 900 ⇒ α1 =1800 - α2 α1 ≠ 900 ⇒ α2 ≠ 900 Khi ®ã M α , M α ®èi xøng qua trôc trung suy α1= 1800 - α2 + Từ mệnh đề đảo mệnh đề ®¶o cịng ®óng + MƯnh ®Ị ®¶o sai tồn 1, cho = ≠ 900 ⇒ α1 + α2 ≠ 1800 mµ ta vÉn cã sinα1 = sinα2 VËy ta cã mƯnh ®Ị đảo gì? + Định lí đảo: Nếu hai góc có cosin đối bù (cos1=-cos2 với 1, 2[00,1800] 1=1800 - 2) Sự lật ngợc vấn đề giúp học sinh biết cách lập mệnh đề đảo rút nhận xét mệnh đề đảo định lí đúng, giúp học sinh tỉnh táo lập luận có tránh đồng điều kiện đủ điều kiện cần điều kiện cần đủ ) 85 uuu uuu r r Ví dụ 2: Từ định lí phơng tích điểm đờng tròn: MA.MB = const Giáo viên nêu vấn đề: Nh cho trớc M (O) Từ M kẻ hai cát tuyến MAB MDC ta có: MA.MB = MC.MD Hay nãi c¸ch kh¸c: NÕu tø gi¸c ABCD néi tiếp (O) có hai cạnh đối diện AB, CD cắt M MA.MB = MC.MD Ngợc lại tứ giác ABCD có hai cạnh uuu uuu uuur uuur r r u u đối AB CD cắt M thoà mÃn MA.MB = MC.MD tứ giác ABCD có nội tiếp đờng tròn không? (1) B A O ⋅ M D C T¬ng tù tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC BD cắt M ta có: MC.MD = MA.MC Ngợc lại tứ giác ABCD có hai đờng chéo AC BD cắt M có MB.MD = MA.MC , liệu tứ giác có nội tiếp đờng tròn không? (2) Khẳng định đợc (1) (2) ta có định lí điều kiện cần đủ để tứ giác nội tiếp đờng tròn (Thật vậy: từ MB.MA = MD.MC A B MB.MD = MA.MC M MB.MA=MD.MC MB.MD=MA.MC cặp tam giác đồng dạng O D C tổng số đo hai góc đối diện tứ giác ABCD b»ng 180 ⇒ tø gi¸c ABCD néi tiÕp) Định lí 1:Cho tứ giác ABCD, hai cạnh đối AB CD cắt M Cần đủ để ABCD nội tiếp là: MA.MB = MC.MD Định lí 2:Cho tứ giác ABCD, hai đờng chéo AC,BD cắt M Cần đủ để ABCD nội tiếp là: MA.MC = MB.MD iii, Biện pháp 3: Từ định lí đà học, tạo tình để gợi động cho học sinh khái quát hoá, đặc biệt hoá, xét mệnh đề tơng tự nhằm khắc sâu định lí 86 VD1: Xét mệnh đề tơng tự định lí hai gãc bï cho tang vµ cotang BiĨu diƠn tgα (cotg) theo cos sin kết hợp với định lí: sinα=sin(180 − α ) cosα=-cos(180 − α ) ta suy đợc kết tơng tự nào? tg=-tg(180 − α ) (1) cotgα=-cotg(180 − α ) (2) Xét mệnh đề đảo tơng tự nh cách mệnh đề đảo định lí: sin = sin(180 α ), cosα=-cos(180 − α ) cho (1) vµ (2) ? Ví dụ 2:Đặt vấn đề khái quát định lí hình chiếu: Tích vô hớng hai vectơ a uu r b tích vô hớng chứa a a hình chiếu b' vectơ b đờng thẳng Gợi động tìm hớng khái quát định lí: Nêu yếu tố không chất định lí? Đó chiếu vectơ b đờng thẳng chứa lấy hình chiếu vectơ b u r b Có thể khái quát định lí cách đờng thẳng song song với đờng thẳng chứa vectơ Định lÝ më réng: TÝch v« híng cđa chiÕu b' cđa a a b tích vô hớng ®êng th¼ng song song víi ®êng th¼ng chøa a a a hình Ví dụ 3: Mở rộng định lí công thức trung tuyến ABC: ma2= b2 + c2 a2 (1) Giáo viên gợi vấn đề : Công thức (1) trờng hợp đặc biệt M trung điểm BC: MB =1 MC NÕu MB p = MC q , M điểm thuộc cạnh BC, hÃy tìm công thức tính AM? AC áp dụng định lí cosin cho AMB vµ ∆ACM ta cã: c AB2=MB2 + MA2 –2MA.MB cos · AMB (2) AC2 = MC2 +MA2 – 2AM.MC cos · AMC (3) B nh©n (2) víi q nh©n (3) với p cộng lại ta đợc: b M C 87 qAB2 + pAC2 = qMB2 + pMC2 +(q+p) MA2-2AM (qMB cos · AMB +pMC cos · AMC ) (v× cos · AMB = −cos · AMC vµ qMB = pMC ) nên đẳng thức viết đợc thành: qAB2 + pAC2 = qMB2 + pMC2 + (p+q)MA2 (*) V× MB = a p p +q , MC=a ap ) + p +q qc2 + pb2 = q( p( ⇒ (p+q)MA2=qc2 +pb2- q p +q thay vµo (*) ta cã : aq ) + p +q a pq ( p + q) (p+q)MA2 (4) (công thức định lí stiuoa) Rõ ràng (4) công thức tổng quát (1) Khi M trung điểm BC p = q ⇒ AM2= b2 + c2 - a2 Ta đợc trở lại công thức tính ®é dµi ®êng trung tuyÕn ®· biÕt: Khi AM lµ phân giác góc A MB MC = c b ,do ®ã (4) thay A b c B C M p = c, q = b vµo ta có công thức tính độ dài phân a2 giác: AM =bc[1- (b + c) ] iv, BiÖn pháp 4: Xét mối quan hệ định lí khái niệm từ dẫn đến hiểu biết mới: * Ví dụ 1: Từ định nghĩa tích vô hớng hai vectơ biểu thức toạ đọ tích vô hớng (Định lí) ã Từ định nghĩa tích vô hớng hai vectơ a.b = a b cos( a , b ) h·y so s¸nh → Do a.b cos( a, b ) vµ a b ≤1 ⇒ ? a.b ≤ b a (*) a, b : 88 • NÕu a =(a1, a2), b = (b1, b2) th× a.b = a1b1 + a2b2 | a | = a12 + a2 , b = b12 + b22 Từ (*) có biểu thức giải tích là: a1b1 + a2b2 ≤ a12 + a2 b12 + b22 (**) r r r r rr rr DÊu “=” xÈy ⇔ a = ∨ b = ∨ cos(a, b) = ∨ cos(a, b) = −1         r r r r a=0  a=0 r r r b=0  b=0 rr ⇔ r r a, b =  a ↑↑ b r r rr  a ↑↓ b a, b = 1800  ( ) ( ) (**) Chính bất đẳng thức Bunhiacopxki đại số 10 + Tõ biĨu thøc gi¶i tÝch cđa (**), suy đợc ứng dụng nào? Dùng (**) để giải phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình Nhờ tích vô hớng haictơ ta đà giải số dạng toán đại số nhờ hình học hoá biểu thức đại số: Ví dụ 1: Giải phơng trình: x x + + − x = x + Với phơng trình này, phép giải thông thờng luỹ thừa vế để khử dấu dẫn đến phơng trình bậc cao nói chung không giải đợc, song với việc tri giác đặc điểm hai vế phơng trình từ (**) có đợc học sinh định hớng sử dụng vectơ để giải Đặt a = ( x,1), b = Ta cã: ( x +1, − x ) (Víi x ∈[ −1,3] ) ab = x x +1 + − x r r a b = x2 + Nh phơng trình trở thành x = x +1 x ⇔ x2 =  x =1 ⇔ x = ± a.b =a b ⇔, b a cïng chiÒu x +1 ⇔ x − 3x + x + = 3− x (tho· m·n x [ 1;3] ) Nghiệm phơng trình x = 1; x = ±  x2 + y = − y ( x + z )  x + x + y = −2 yz Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình: x + y + xy + yz = x + z + 89 Ví dụ 3: Giải bất phơng trình: x −1 + x − ≥ 2( x − 3) + ( x − 2) Nh vËy, nhê phơng pháp vectơ hoá toán đại số đà giúp ta giải cách ngắn gọn toán này: Vấn đề phải quan sát tố đặc điểm toán để nhìn thấy đợc khả vectơ hoá toán hay không phải chọn vectơ a, b nh để vectơ hoá đợc toán v, Biện pháp 5: Diễn đạt định nghĩa, định lí cách khác nhau, dới nhiều hình thức khác để thấy mối liên hệ định lí khái niệm Sau học xong Đ3: Tích vô hớng hai vectơ đặt vấn đề biểu diễn a.b theo nhiều cách khác nhau: + Từ định nghĩa có: + Từ định lí hình chiÕu cã: chøa a ( a.b =a b cos a, b a.b = a.b ' ) ( b ' hình chiếu b đờng thẳng ) + Tõ tÝnh chÊt cđa tÝch v« híng suy ra: a.b = 2 1   a +b − a − b  2  a.b = 2 1   a +b − a −b  4 + Từ định lí biểu thức tọa độ có: ab = a1b1 + a b2 (Víi a = ( a1 , a ) , b = ( b1 , b2 ) ) 2.3 Thực tạo tình nhằm gợi động hoạt động dạy học tập 2.3.1 Mục đích: trờng phổ thông, dạy toán dạy hoạt động toán học cho học sinh, giải Toán hình thức chủ yếu Do vậy, dạy giải tập Ttoán vó vị trí quan trọng dạy học toán nhằm vào nhiều mục đích khác nhau: - Hình thành, củng cố tri thức, rèn luyện kỹ năng, kỹ xÃo khâu khác trình dạy học, kể kỹ ứng dụng Toán học vào thực tiễn - Qua giải tập mà hình thành cho học sinh giới quan vËt biƯn chøng, høng thó häc, niỊm tin vào phẩm chất đạo đức ngời lao động - Phát triển lực t cho học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành phẩm chất t khoa học - Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết dạy học, đánh giá khả độc lập học toán trình độ phát triển học sinh 90 2.3.2 Nội dung: Gợi động cho: - Tìm hiểu nội dung đề - Tìm cách giải toán - Trình bày lời giải - Nghiên cứu sâu lời giải * Có thể gợi động dựa gợi ý áp dụng phơng pháp chung giải toán (Xem [11, trang 420, 421, 422]) 2.3.3 Mét sè biƯn ph¸p tạo tình nhằm gợi động dạy tập hệ thức lợng tam giác đờng tròn: i, Biện pháp 1: Gợi động khai thác toán theo hớng khác cách đặc biệt hoá, khái quát hoá, tơng tự hoá Ví dụ: Bài tập (trang 64) SGK Hình học 10 chỉnh lí hợp năm 2000 Cho tam giác ABC víi träng t©m G a, Chøng minh r»ng víi mäi ®iÓm M ta cã: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 (1)” * Gỵi động chứng minh (a) - Tri giác hai vế:hệ thức cần chứng minh liên quan đến bình phơng độ dài, nên sử dụng công cụ để giải? (Bình phơng độ dài bình phơng vô hớng vectơ Dùng công cụ vectơ để giải) - Để chứng minh đẳng thức ta thờng có cách nào? + Biến đổi tơng đơng đa đến đẳng thức cuối + Biến đổi hai vế + Biến đổi vế phải thành vế trái ngợc lại +Xuất phát từ đẳng thức -Tri giác đặc điểm hai vế đẳng thức để tìm hớng biến đổi ? Cách 1: Vế phải vế trái tổng bình phơng độ dài Vì để đa công cụ vectơ ta nghĩ đến sử dụng đẳng thức nào? Hớng biến đổi: Ta cã: (1) ( ⇔ MA − GA + MB − GB + MC − GC = 3MG )( ) ( )( ) ( )( ) ⇔ MA + GA MA − GA + MB − GB MB + GB + MC + GC MC − GC = 3MG 91 ( ⇔ MG (MA + MB + MC ) = 3MG ) ⇔ MG MA + GA + MB + GB + MC + GC = 3MG (V× (2) GA + GB + GC = ) (H·y lµm cho vế trái gần vế phải hơn?) ( ) MG MG + GA + MG + GB + MG + GC = 3M G §PCM ⇔ 3MG = 3MG Cách 2: Để xuất vectơ vế phải cần biến đổi vectơ vế trái nh nào? ( MA + MB + MC = MG + GA ) + (MG + GB ) + (MG + GC ) 2 uuuu uuu uuu uuu r r r r = 3MG + 2MG GA + GB + GC + GA2 + GB + GC ( ) = 3MG + GA + GB + GC (V× GA + GB + GC = ) + Kiểm tra kết nhờ đặc biệt hoá giả thiÕt: M ≡ G th× (1) ⇔ = 3GG2 (1) * Gợi động phát triển toán (a): ã Hớng khai thác 1: a, Chú ý: M điểm tam giác, ta thử đặc biệt hoá vai trò cảu M để tìm kết + M O (O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Khi (1) trë thµnh OA2 + OB2 + OC2 = 3OG2 + GA2 + GB2 + GC2 (3) Do OA = OB = OC = R ⇒ (3) ⇔ 3OG2 = 3R2 (GA2 + GB2 + GC2) (4) Mặt khác GA = 2 m a , GB = mb , GC = mc 3        ⇔ 3OG = 3R −  ma ÷ +  mb ÷ +  mc ÷  Nªn (4)           b2 + c2 a2 a2 + c2 b2 a2 + b2 c2 = 3R −  − + − + − 9 4  = 3R − Hay OG = R − (a + b + c ) (a + b2 + c )   92 + Từ kết cuối ta có điều gì? Do OG2 nên ta cã R2 − (a + b2 + c ) ≥ ⇔ a + b + c ≤ 9R (5) + DÊu = (5) xảy nào? (Khi OG = ⇔ O ≡ G ⇔ tam giác ABC đều) + Có thể viết (5) theo cách khác đợc không? - Nếu thay a=2RsinA, b=2RsinB ta đợc BĐT: sin A + sin B + sin C ≤ (6) - NÕu thay sin2A=1- cos2A, sin2B = 1- cos2B, sin2C =1- cos2C vào (6) ta có kết quả: cos2A + cos2B + cos2C ≥ (6) cã thĨ l¹i viÕt díi dạng ẩn tàng: 1 + + 2 + cot g A + cot g B + cot g C + V× a2 + b2 + c2 = ( ma + bb2 + cc2 ) ≥ ( ma + mb + mc ) 3 Ta cã: ( ma + mb + mc ) ≤ R Hay ma +mb + mc R Vậy ta đợc toán mới: Bài toán 1: 1, Chứng minh với tam giác ABC thì: a, a2+b2+c2 9R2 b, sin2A+sin2B+sin2C ≤ (Hay cos2A+cos2B+cos2C ≥ ) c, ma+mb+mc R Bài toán 2: Nhận d¹ng ∆ABC nÕu biÕt a2+b2+c2=9R2 (hay sin2A+sin2B+sin2C= 93 hay 1 + + = ) 2 + cot g A + cot g B + cot g C Bài toán 3: Chøng minh r»ng ∀ ABC ®Ịu cã ∆ OG2 = R2 - (a2 + b2 + c2) b, Nếu đặc biệt hoá vai trò ABC, chẳng hạn: + Nếu giả thiết tập cho ABC M điểm bất kỳ, từ (1) ta có kết nào? Vì ABC G O (tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC) nên ta cã MA2 + MB2 + MC2 = 3MO2 + 3R2 + Nếu giả thiết tập cho: ABC M thuộc đờng tròn ngoại tiếp ABC, ta có điều gì? Ta có: MO = R ⇒ MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 + Vậy ta có hai toán nào? Bài toán 1: Cho ABC đều, M điểm bất kú, h·y chøng minh: MA2 + MB2 + MC2 = 3MO2 + 3R2 Bài toán 2: Cho ABC điểm M thuộc đờng tròn ngoại tiếp ABC, chứng minh r»ng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 • Híng khai thác 2: Khái quát hoá toán (a) + HÃy thay đổi cách phát biểu toán? Nếu G trọng tâm hệ điểm A1, A2, A3, víi ∀ ta cã: M, MA12 + MA22 + MA32 = 3MG + GA12 + GA22 + GA32 + Gọi G trọng tâm hệ điểm A1, A2 (G trung điểm A1A2), ta đà có kết tơng tự nào? Từ công thức tính ®é dµi ®êng trung tuyÕn, ta cã: MA12 + MA22 = MG + A1 A22 V× A1A2 = 2GA1=2GA2 nªn ta cã: MA12+MA22=2MG2+GA12+GA22 94 + Tõ hai kết trên, hÃy phân tích đặc điểm hệ thức toán để khái quát tìm hệ thức tổng quát cho hệ n điểm A1, A2, , An? Từ học sinh dự đoán kết quả: Cho n điểm A1, A2, ,An có trọng tâm G, với mäi M, ta cã: n ∑ MA i =1 i n = nMG + ∑ GAi2 (*) i =1 + Để chứng minh (*) ta làm tơng tự nh chứng minh (1) cách phân tích vectơ ý đến: n GA i =1 i =0 * Gợi động tiến tới giải câu (b) vµ (c) bµi tËp 3, trang 64: “(b) Víi giá trị điểm M, tổng MA2 +MB2+MB2 có giá trị bé giá trị bé bao nhiêu? (c) Tìm quỹ tích điểm M cho MA2 + MB2 + MC2 = k2, k∈R” Gi¸o viên gợi động cơ: Từ đẳng thức (1) xét phơ thc cđa MA + MB2 + MC2 qua đại lợng lợng vế phải? MA2 + MB2 + MC2 MG2 GA, GB, GC số (Do G trọng tâm ABC G cố định) + Xét biến thiên tổng (MA2 + MB2 + MC2) qua đại lợng biến thiên MG? (MA2 + MB2 + MC2) tăng MG lớn ngợc lại + Vậy (MA2 + MB2 + MC2) nhá nhÊt ⇔ MG nhá nhÊt ⇔ MG = M G Nhờ câu (a) cách dễ dàng học sinh tìm đợc quỹ tích điểm M cho: MA2 + MB2 +MC2 = k2, k ∈R: → MG = ( k − GA + GB + GC ) - NÕu k2 > GA2 + MB2 + MC2, quü tÝch M đờng tròn tâm G bán kính: R= k − ( GA + GB + GC ) - NÕu k2 = MA2 + MB2 + MC2, quỹ tích M điểm G - NÕu k2 < MA2 + MB2 + MC2, quü tÝch M tập 95 ã Giáo viên gợi động để học sinh nhớ lại toán tơng tự đà đợc học Từ khái quát thành toán tổng quát: Bài toán quỹ tích giống toán đà đợc học? Bài toán giống với vÝ dơ (trang 50) SGK H×nh häc 10 chØnh lí hợp năm 2000: Cho hai điểm A, B cố định Tìm quỹ tích điểm M thoà mÃn ®iỊu kiƯn MA2+ MB2 =k2 Trong ®ã k lµ sè thực cho trớc.(**) + Giáo viên đặt vấn đề: Phát biểu toán tổng quát hai toán tơng tự đó? Bài toán tổng quát (***) Cho n điểm cố định A1, A2,An Tìm quỹ tích ®iÓm M cho: MA12 + MA22 +…+MAn2 = k2, k lµ mét sè thùc cho tríc” + Ta sÏ giải toán tổng quát nhờ tơng tự cách giải hai toán riêng lẻ hay không? Câu hỏi gợi cho học sinh nghĩ đến đẳng thức (*) từ có lời giải tơng tự nh hai toán cho tổng quát Gợi động cho học sinh tìm toán tổng quát toán (***): Để giải đợc toán (**) ta đà sử dụng định lí công thức trung tuyến mặt khác ta có định lí công thức Stiuoa: (p + q)MO2 = qMB2 + pMA2 OB pq BA p +q Với A,B cố định, M bất p kú, O ∈AB cho OA = q HÃy nêu toán tổng quát toán (**)? Bài toán (**): Cho A, B cố định, tìm quỹ tích điểm M cho pMA2 + qMB2 = k2, víi k lµ sè thùc cho tríc + HÃy trình bày lời giải toán (**)? + Vậy ta giải đợc toán quỹ tích tổng quát sau không: Cho n điểm cố định A1, A2,,An Tìm quỹ tích điểm M cho: a1MA12 + a2MA22 + +anMAn2 = k2 ,với a1, a2,,an số dơng cho trớc? Ta giải đợc toán nhờ không (n-1) bớc giải mà bớc áp dụng cách giải (**) + Nếu giả thiết a1, a2,an số dơng cho trớc toán quỹ tích tổng quát vừa nêu có giải đợc không cho kết gì? 96 Nếu a1, a2, ,an số thực toán quỹ tích trở nên phức tạp, giải đợc số toán cụ thể (chẳng hạn toán: A, B, C ba điểm cố định phân biệt, tìm quỹ tích điểm M cho: MA2 + 3MB2 – 4MC2 =k2, k lµ số thực cho trớc Để giải toán ta áp dụng định lí Stiuoa ví dụ (trang 65) SGK Hình học 10 chỉnh lí hợp năm 2000) ta đợc quỹ tích M đờng thẳng nói chung trình tự giải chung cho toán quỹ tích dạng này, mà phải linh hoạt để tìm cách giải phù hợp Ví dụ 2: Bài tập (trang 65) SGK Hình học 10 năm 2000 Chứng minh: Tổng bình phơng hai đờng chéo hình bình hành tổng bình phơng bốn cạnh a, Gợi động chứng minh: HÃy vẽ hình bình hành ABCD diễn đạt điều cần chứng minh ngôn ngữ khác? A B O D AB + BC + CD + DA = AC + DB (1) 2 2 2 C ⇔ 2(AB2 + BC2) = AC2 + BD2 (2) +§Ĩ chøng minh đẳng thức ta thờng làm nh nào? Cách 1: Biến đổi vế phải thành vế trái: Hai vế (2) bình phơng độ dài vectơ Nên sử dụng cách để chứng minh (2)? (Sử dụng công cụ vectơ phân tích AC, DB theo AB, BC , CD , DA ) H·y lµm cho vế phải gần vế trái: Từ ta có lêi gi¶i: ( AC + BD = AB + BC ) + (BC − AB ) ( ) = AB + BC + AB.BC − AB.BC ( = AB + BC ) (ĐPCM) Cách 2: Biến đổi vế trái thành vế phải: HÃy xét xem AB BC cã quan hƯ nh thÕ nµo víi AC vµ BD? Từ gợi cho học sinh nghĩ đến: Xét ABC mối liên quan đại lợng thĨ hiƯn bëi c«ng thøc trung tun 97 AC  BD  AB + BC = 2.  +   ⇔ 2( AB + BC ) = BD + AC (ĐPCM) + Còn giải theo cách 3, cách 4,? b, Gợi động phát triển toán: Phân tích giả thiết: Hình bình hành ABCD trờng hợp đặc biệt tứ giác ABCD hai đờng chéo tứ giác cắt trung điểm đờng Hay gọi trung điểm lần lợt hai đờng chéo AC, BD tứ giác ABCD I J thì: - Nếu ABCD hình bình hành thì: I J IJ = A B J I D C → H·y dù đoán đẳng thức tơng tự (1) cho ABCD tứ giác bất kỳ? Dự đoán AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + kIJ2 (*) + HÃy xét trờng hợp đặc biệt ABCD để dự đoán k ? + Cho D B ta cã: J ≡ B ≡ D B ≡ D ≡J AB + BC + CB + BA = AC + BB + kIB 2 2 2 ⇔ 2(AB2 + CB2) = AC2 + kIB2 ( ) AB + BC AC ⇔ IB = k k A I C Mặt khác theo công thức trung tuyến thì: BI = AB + BC AC − ⇒k = Dự đoán trờng hợp ABCD tứ giác bất kỳ, I, J lần lợt trung điểm AC BD ta có đẳng thức: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4IJ2 HÃy chứng minh đẳng thức này? ... nhằm gợi động hoạt động dạy học khái niệm, định lí, tập hệ thức lợng tam giác đờng tròn Đ 1: Các sở xây dựng nguyên tắc gợi động hoạt động dạy học khái niệm, định lí, tập hệ thức lợng tam giác. .. gợi động hoạt động dạy học khái niệm, định lí, tập hệ thức lợng tam giác đờng tròn Đ Các sở xây dựng nguyên tắc gợi động hoạt động dạy học khái niệm, định lí, tập hệ thức lợng tam giác đờng tròn. .. hớng gợi động Đ1: Gợi động hoạt động dạy học toán 1.1 Hoạt động học sinh thành tố PPDH 1.2 Gợi động hoạt động dạy học Toán 1.2.1 Thế gợi động hoạt động 1.2.2 Các cách thờng dùng để gợi động 1.2.3