Ví dụ 1: Phát hiện định lí phơng tích của một điểm đối với đờng trịn: Cho đờng trịn (O; R) và một điểm M cố định. Một đờng thẳng thay đổi đi qua M và cắt đờng trịn tại hai điểm A và B thì tích vơ hớng MA MBuuur uuur. là một số khơng đổi. Trớc hết giáo viên tạo tiền đề cho học sinh bằng cách vẽ hình.
- Nếu M ở trong đờng trịn vẽ qua M hai cát tuyến AB và CD, cho học sinh nhắc lại kết quả quen thuộc mà các em đã biết ở lớp 9.
MA.MB = MC.MD (*)
(Cĩ thể gợi lại việc chứng minh bằng xét các tam giác đồng dạng).
- Giáo viên cho học sinh so sánh MA.MB và MC.MD khi M ở ngồi (O)
→ M ở ngồi đờng trịn bằng việc xét hai tam giác đồng dạng ta cũng cĩ MA.MB = MC.MD.
- M ở trên đờng trịn thì sao? Khi đĩ (*) hiển nhiên đúng vì cả hai vế đều bằng 0.
Hãy phát biểu các kết quả trên bằng ngơn ngữ vectơ cho trờng hợp M bất kỳ cố định thuộc mặt phẳng?
Gợi học sinh đi đến phân tích:
+ M ở trong (O) thì MA↑↓MB,MC↑↓MD
+ M ở ngồi (O) thì MAuuur↑↑MB MCuuur uuuur, ↑↑MDuuuur
+ M ở trên (O) thì MA.MB = MD.MC= 0
Từ đĩ trong mọi vị trí của M ta đều viết đợc MA.MB=MC.MD
Hãy diễn đạt bằng lời kết quảvừa tìm đợc (gợi động cơ phát biểu định lí).
D B B O C A • M
vi, Biện pháp 6: Phối hợp nhiều biện pháp gợi động cơ nhằm giúp học sinh
phát hiện định lí.
Ví dụ: Phối hợp biện pháp tìm sự liên hệ và phụ thuộc và biện pháp khái quát hố để phát hiện định lí hình chiếu:
Cho trớc đờng thẳng d và vectơ a⇒hình chiếu a' của a trên d xác định
α =
⇒ a,a' xác định. Xét sự liên hệ và phụ thuộc của a' vào a và α? Nhận xét α∈[00,900] nên ura' = arcosα (*)
Thấy rằng nếu nhân 2 vế của (*) với a' ta cĩ đẳng thức vectơ a'.a' =a'.a.(*) Nh vậy: Tích vơ hớng của vectơ a và hình chiếu của nĩ trên d bằng bình ph- ơng vơ hớng của hình chiếu: a ar.ur ur ur'=a a'. '
Đặt vấn đề: Trong đẳng thức (*) nếu thay vectơ a' bởi b nằm trên d thì a.b
=?
→ Từ đây học sinh sẽ nhân hai vế của (*) với b và lập luận sự cùng hớng hay ngợc hớng của b và a' để phát hiện định lí: a.b= a b' .
2.2.3.2. Gợi động cơ để tìm đờng lối chứng minh và trình bày chứng minh.
Sở dĩ phải gợi động cơ chứng minh vì: “Những lần đầu chứng minh một định lí hay giải một bài tập chứng minh theo yêu cầu của thầy giáo, học sinh thờng cha thấy rõ sự cần thiết phải làm việc này. Một nhà Tốn học kể lại rằng một hơm đi đ- ờng ơng nghe thấy hai học sinh nĩi chuyện với nhau: Hơm nay cơ giáo mang lên“
lớp hai tam giác bằng nhau, một cái màu xanh, một cái màu đỏ, rồi loay hoay một lúc trên bảng để nĩi rằng hai tam giác ấy bằng nhau”. (A.phêtixop, trích theo Hồng Chúng 1975, trang 95). Lên bậc THPT, câu hỏi đặt ra về nhu cầu chứng minh tuy cĩ bớt căng thẳng hơn, nhng thật ra học sinh cũng khơng dễ gì ý thức đợc một cách chính xác lí do của việc làm này. Vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh thấy rõ sự cần thiết phải chứng minh một mệnh đề Tốn học. Cĩ giải đáp đợc câu hỏi trên thì mới phát huy đợc tính tự giác, tích cực của học sinh trong học tập.
Theo Walsch, ý cơ bản để gợi động cơ chứng minh là “phải cho học sinh thấy rõ rằng việc kiểm nghiệm những ví dụ riêng lẻ về nguyên tắc khơng đủ để chứng
minh một mệnh đề khái quát (về tất cả các phần tử của một tập xác định)”.
(Walsch 1975, trang 124 - 125).
Cần cho học sinh thấy rằng những điều thấy hiển nhiên trên hình vẽ thật ra chỉ là trên một hình vẽ, hay nếu chịu khĩ thử là trên một số hữu hạn hình vẽ. Vấn đề đặt ra là với một mệnh đề tổng quát, ta khơng thể thử trực tiếp nĩ trên vơ số tr- ờng hợp. Vì vậy cần phải chứng minh nĩ”.
(Trích theo Nguyễn Bá Kim, “Phơng pháp dạy học mơn Tốn”, NXB ĐHSP 2004. trang 391 - 392).