+ Từ đây ta cĩ bài tốn mới nào?
→ Cho hai đờng trịn khơng đồng tâm (O1; R1) và (O2; R2). Tìm quỹ tích các điểm M sao cho hiệu giữa phơng tích điểm M đối với (O1) và phơng tích của M đối với (O2) là hằng số k.
(Quỹ tích M trong trờng hợp này cũng là một đờng thẳng vuơng gĩc với O1O2
tại H sao cho:
2 21 2 1 2 1 2 2 R R k IH O O − +
= . Với I là trung điểm O1O2).
iii, Biện pháp 3: Gợi động cơ lật ngợc vấn đề để học sinh lập bài tốn đảo của
bài tốn ban đầu.
Đây là một trong những con đờng đi tới bài tốn mới từ bài tốn đã cho. Giáo viên cho học sinh tự lập bài tốn đảo, sau đĩ chính xác hố lại cách lập bài tốn đảo của học sinh bằng cách nêu cách lập bài tốn đảo cho dạng bài tốn đĩ. Từ đĩ học sinh thu đợc một tri thức phơng pháp mới, là cơ sở để học sinh biết cách lập một bài tốn đảo từ bài tốn đã cho.
Ví dụ: Sau khi học sinh chứng minh đợc bài tập 4(trang 52 SGk Hình học 10 năm 2000): Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
a, Nếu b + c = 2a thì 2 1 1
a b c h = h +h
b, Nếu bc = a2 thì sinBsinC = sin2A và hbhc = 2
a h .
+ Giáo viên yêu cầu học sinh đặt vấn đề đảo giả thiết và kết luận của bài tốn cĩ đợc khơng?
+ Hãy lập bài tốn đảo của bài tập này?
+ Giáo viên thơng báo cách thức lập mệnh đề đảo của bài tập này: Nếu kí hiệu:
thì bài tốn cĩ cấu trúc: a, (P) ⇒ (Q)
b, (R) ⇒ (S) ∧ (T)
- Mệnh đề đảo của câu a là (Q) ⇒ (P) - Mệnh đề đảo của câu b cĩ 3 mệnh đề: + Mệnh đề đảo 1: ( ) ( ) ( )S ∧ T ⇒ R
+ Mệnh đề đảo 2: ( ) ( )S ⇒ R
+ Mệnh đề đảo 3: ( ) ( )T ⇒ R .
Tuy nhiên nếu mệnh đề đảo (2) hoặc (3) đúng thì (1) đúng. Bằng chứng minh ta cĩ (2) và (3) đúng, nên ta cĩ bài tốn đảo của bài tập trên là:
“Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:” a, 2 1 1
a b c
h =h +h thì b + c = 2a
b, Nếu sinBsinC = sin2A thì bc = a2
c, Nếu 2
b c a
h h =h thì bc = a2”
iv, Biện pháp 4: Thay đổi giả thiết để dẫn đến bài tốn mới cĩ nhiều kết quả
hơn bài tốn ban đầu.
(P) là mệnh đề b + c = 2a. (Q) là mệnh đề 2 1 1 a b c h = h +h (R) là mệnh đề bc = a2 (S) là mệnh đề sinBsinC = sin2A (T ) là mệnh đề hbhc = 2 a h .
Ví dụ 1: Bài tập 2 (trang 36 SGK Hình học 10 hiện hành ): Cho gĩc nhọn β mà
1sin sin
4
β = . Tính cosβ, tgβ.
+ Giáo viên gợi động cơ: Nếu bỏ ràng buộc gĩc β nhọn, xét kết quả của bài
tốn: Cho gĩc β ∈ 0 ;1800 0 thỗ mãn sinβ = 14. Tính cosβ, tgβ?
→ Rõ ràng nếu bỏ ràng buộc gĩc β nhọn ta cĩ thêm một đáp số nữa ngồi đáp
số của bài tốn đã cho 15, 1 4 15 cosβ tgβ = = ữ ữ là: 15 1 , 4 15 cosβ = − tgβ =
Ví dụ 2: Bài tập 3 (trang 62 SGk Hình học 10 hiện hành):
“Tam giác vuơng ABC tại A cĩ AB = c, AC = b. Kẻ đờng cao AH. Tìm phơng tích của điểm H đối với các đờng trịn cĩ bán kính lần lợt là AB, AC, BC? ”
+ Nếu thay giả thiết AH là đờng cao của tam giác ABC bở giả thiết H là hình chiếu vuơng gĩc của một đỉnh xuống cạnh đối diễn, xét kết quả bài tốn mới?
→ Ta phân làm 3 trờng hợp:
- H là hình chiếu của A trên BC: đợc kết quả nh bài tốn ban đầu.
- H là hình chiếu của B trên AC ⇒ H ≡ A
1 2 3 0 , , , 2 2 2 H H H P P P AB AC BC O O O ⇒ = = = ữ ữ ữ
- H là hình chiếu của C trên AB đợc kết quả tơng tự TH H là hình chiếu của B trên AC.