Ví dụ 1: Bài tập 7 (trang 52) SGK Hình học 10: “Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta đều cĩ:
( )22 2 2 . . 2 1 AC AB AC AB S∆ABC = − ”
• Gợi động cơ phân tích kết luận để di đến cơng thức Hêrơng tính diện tích ∆
ABC:
2. . 2 2 2 AC BC AB AC AB = + − + Từ đĩ suy ra đợc điều gì?
→ Cĩ thể tính đợc diện tích ∆ABC bất kỳ khi biết ba cạnh của nĩ:
→ (Gọi học sinh lên biến đổi để đi đến cơng thức Hêrơng).
→ Giáo viên: Đây là một cách chứng minh cơng thức Hêrơng Ví dụ 2: Bài tập 4c (trang 64) SGK Hình học 10 hiện hành.
“Chứng minh rằng một ∆ABC ta đều cĩ sinA = sinB cosC + sinC cosB” (*) Phân tích kết luận: trong đẳng thức (*) thay
A = 1800 – (B + C) ta cĩ: sin(B + C) = sinB cosC + sinC cosB (*’)
+ Nếu khơng cĩ ràng buộc A + B + C = 1800 mà chỉ cĩ ràng buộc 00≤ B + C ≤
1800 thì (*’) cịn đúng khơng?
Đặt vấn đề chứng minh: “sin(B + C) = sinB.cosC + sinC.cosB (*’) , với 00≤ B + C ≤ 1800”
+ Tri giác đẳng thức (*’): Vế phải (*’) gợi cho ta nghĩ đến định lí nào khơng?
→ Đĩ là định lí về biểu thức tọa độ của tích vơ hớng: a.b=a1b1+a2b2 với (a1,a2),b (b1,b2)
a= =
+ Để chứng minh (*’)thì vế trái của (*’) phải cĩ dạng nào?
Để ý VT(*’) = sin(B + C) → VT(*’)= sin(B + C) = a b.cos( )a,b (1) (Vì cĩ sinA nghĩ đến sinA liên quan tới cosA’ nào đĩ)
Từ (1) ta suy ra cĩ thể là . 1 sin( ) cos( , ) a b B C a b = + = r r r r
+ Vấn đề là nên chọn a,b cĩ toạ độ nh thế nào?
→ Chọn a=(cosB,sinB),b=(sinC,cosC)
+ Nhng nếu đặt nh vậy biễu diễn b trên hệ trục toạ độ xOy nh thế nào? Toạ độ b phải cĩ dạng (cosC’, sinC’), C’ =?
Học sinh: C’ = 900 – C
+ Giáo viên: Nhng ta cha biết C < 900 ?
→ Cha biết C < 900, nhng khơng mất tính tổng quát ta vẫn cĩ thể giả sử C < 900. Vì nếu C > 900 ⇒ B < 900 (vì B + C < 1800), ta đặt: b = (sinB, cosB), a = (cosC, sinC).
Nh vậy giả sử C < 900 ⇒ b = (cos(900 – C), sin(900 -C)). Cĩ: a.b.cos( )a,b =a1b1 +a2b2
( ), cos .cos(90 ) sin sin(90 ).
cosa b = B 0 −C + B 0 −C
⇔
+Làm sao để xác định gĩc ( )a,b ?
- Nếu B > 900 – C thì ( )a,b = B – (900 - C) = B + C - 900 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+Vậy ta cĩ: cos(B + C - 900) = cosB sinC + sinB cosC. Ta cần chứng minh đợc điều gì nữa là (*’)đợc chứng minh trong TH: 1800 ≥ B + C > 900?
→ Cần chứng minh cos(B + C - 900) = sin(B + C) + Làm sao để chứng minh điều này?
Biểu diễn gĩc (B + C - 900) và (B + C) trên trục toạ độ:
Ta cĩ: ∆OM P1 = ∆OM Q2 (hai tam giác
vuơng cĩ cạnh huyền bằng nhau và ãM OP M OQ1 =ã 2 )
⇒OP = OQ
hay sin(B +C) = cos(B + C - 900)
⇒ (*’) đúng với TH 900 < B + C ≤ 1800 y 1 O x 900 -C -1 b 1 y M1 -1 O x M2 B+C 1 Q B+C-900 P
- Nếu B ≤ 900 – C thì ( )a,b =(900 −C)−B
=900 −(C+B)
( ), cos(90 ( )) sin( )
cosa b = 0 − C+B = C+B
⇒
Vậy ta đã chứng minh đợc (*’) với 00≤ B + C ≤ 1800
• Nếu B = C từ (*’) ta đều cĩ điều gì?
→ sin2B = 2sinBcosB với 00 ≤ B ≤ 900
• Nếu đặt a=(cosB,sinB), b=(cosC,sinC) với 00 ≤ B – C ≤ 1800 ,
0 0
0 ;180
B∈
Làm tơng tự trên ta cĩ điều gì?
→ cos(C - B) = cosB cosC + sinB sinC.
• Hãy tìm kết quả cho sin (B - C) với 00≤ B – C ≤ 1800, B∈ 0 ;1800 0
cos(B + C) với 00 ≤ B + C ≤ 1800 ?
→ áp dụng sin(x + y) =sinx cosy + siny cosx (với 00≤ x + y ≤ 1800) Ta cĩ: sin(B - C) = sin (1800 – (B - C)) = sin((1800 – B) + C) Vì 1800 –B + C ≤ 1800 (vì B – C ≥ 00)
nên sin(B - C) = sin(1800 - B)cosC + sinC cos(1800 - B) = sinB cosC – sinC cosB
→ áp dụng cos(x - y) = cosx cosy + sinx siny (với 00 ≤ x - y ≤ 1800) và
0 0
0 ;180
x∈ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta cĩ: cos(B + C) = -cos(1800 –(B + C))
= -cos((1800 -B) - C) = -(cos(1800- B)cosC + sin(1800– B)sinC)
= -(-cosB cosC + sinB sinC)
br y ar O x B C
= cosB cosC – sinB sinC.
• Vậy ta cĩ các kết quả:
+ 00≤ B – C ≤ 1800, 00≤ B ≤ 1800 ta cĩ:
+ 00≤ B + C ≤ 1800, ta cĩ: + 00≤ A ≤ 900 thì:
a, cos(B - C) = cosBcosC + sinBsinC b, sin(B - C) = sinBcosC – sinCcosB
a, cos(B + C) = cosBcosC - sinBsinC b, sin(B + C) = sinBcosC + sinCcosB sin2A = 2sinA cosA
cos2B = cos2B – sin2B =2cos2B – 1 = 1 – 2sin2B
Chơng III. Thực nghiệm s phạm I. Mục đích thực nghiệm
Kiểm tra tính khả thi, tính hiệu quả của các biện pháp gợi động cơ đã nêu trong đề tài; kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết khoa học.