Đang tải... (xem toàn văn)
Hướng dẫn giải Dự doán giới hạn của dãy số,bằng cách giải phương trình:.. Thật vậy ta có:.[r]
(1)TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài Cho dãy số an xác định : a1 a a an 1 2an 2an 3an 4an Chứng minh với số thực a 0 thì dãy an hội tụ Tùy theo a , hãy tìm giới hạn dãy an Hướng dẫn giải Nếu a thì Nếu a thì a 2 a (do bất đẳng thức AM-GM) a 1 2 a a a (do bất đẳng thức AM-GM) nên * Nếu a 1 thì a1 2 Ta chứng minh: an 2, n Hiển nhiên a1 2 Giả sử Vậy ak 2 ak 1 lim an lim 2 2.23 2.22 2 3.2 4.2 a * Nếu a 1 thì a1 Ta chứng minh an n Rõ ràng a1 Giả sử ak Ta chứng minh ak 1 ak 1 2ak 2ak 2 2ak ak 3ak 4ak ( đúng) a Ta chứng minh n là dãy giảm, : an3 2an an an 1 an n, an 1 an 0 3an 4an 3an 4an ( tử âm, mẫu dương vì (2) 2 an 3an 4an 2 an Mà an 2 3an 4an ) an giảm và bị chặn an có giới hạn là L lim an 1 lim an a n 2 L3 L2 3an an 3L2 L L 2 an L Vậy lim an 2 Nếu a thì a1 Tương tự, ta có: an3 2an an an 1 an n, an 1 an 0 3an 4an 3an 4an a a nên n tăng Hơn n bị chặn trên , ak 1 ak a k 1 3ak 4ak ak 1 (2a 3) a a Vậy n tăng và bị chặn trên n có giới hạn là L an 1, n , an 1 an 0, n L L3 L2 L an 1 L 2 3L2 L Vậy lim an Tóm lại: + Nếu a 1 thì lim an 2 a + Nếu a 1 thì lim an 2 + Nếu a thì lim an (3) Bài Cho dãy số xn x1 2015 * xn 1 xn x x x3 x 2015 n n n n n xác định Tìm giới hạn dãy nxn n , với là số thực cho trước Hướng dẫn giải Dễ dàng chứng minh xn 0, n 1 qui nạp Ta có 1 xn 1 xn , n 1 xn21 xn xn2 xn2 ; n 1 xn xn xn x x xn2 x12 n 1 Bởi n N, n 2 thì n n xn 1, n 2 và lim xn n * Với n N , đặt xn 1 xn xn 1; n 2 tn 2015 tn 2015 tn xn xn xn xn đó t xn2 , với t 2 2014 2015 (1), suy 2 n 1 x 2t 1 x xn tn xn2 tn2 xntn n xn xn xn n n Áp dụng định lý trung bình Cesaro cho dãy bn ta có lim bn n suy lim n b1 x12 2 với bn xn xn , n 2 b1 b2 bn lim bn 2 n n 2 2 2 n xn2 xn xn xn xn x2 x1 x1 b1 b2 bn lim n x 2 n n n Mà n suy n n x 2 sau (chứng minh định lý trung n Thật ta có thể chứng minh trực tiếp lim bình Cesaro) c : c x 2; cn xn2 xn2 Xét dãy n 1 với n 2,3 lim cn 0 n * nên tồn m N cho cn , n m (4) Gọi M max ci với i m m 1 M m 1 M m 1 M m 1 m' m Với trên tồn thì hay n max m, m ' Xét n | i 1ci | n n c i m i n ta có m i 1 | ci | n n m 1 n m 1 M m 1 M n m 2 o đó theo n định nghĩa lim | i 1ci | n n 0 2 2 2 n xn2 xn xn xn xn x2 x1 x1 c1 c2 cn lim 2 n x 2 n n n n suy Nếu thì n.xn n.xn n 2 2 Nếu thì n.xn xn n.xn n 2 2 Nếu thì n.xn xn n.xn n Bài Cho hai số a1 , b1 với b1 a 1 .Lập hai dãy số an , bn với n 1, 2, Theo quy tắc an 1 (an bn ) b a b lim an lim bn n 1 n sau: giải nghĩa cái đó là: , n 1 Tính: n và n Hướng dẫn giải Tính a2 , b2 với b1 a1 ta có thể chọn a cho: b1 cosa , Suy a1 cos a 1 a a2 (cos a cos a) cos a(cos a 1) cos a.cos 2 2 a a b2 cos a.cos cos a cos a.cos 2 Bằng quy nạp, chứng minh được: a a a a a an cos a.cos cos n cos n (1) bn cos a.cos cos n (2) 2 2 (5) Nhân hai vế (1) và (2) cho a 2n , an a 2n.sin n sin 2a.cos bn sin a 2n và áp dụng công thức sin 2a được: sin 2a a 2n.sin n Tính giới hạn: lim an n Bài sin 2a , 2a lim bn n Cho dãy số sin 2a 2a an , a1 1 và an1 an a lim n an Chứng minh: n n Hướng dẫn giải ak21 ak2 2 ak2 n n i 2 j 1 n 1 2(n 1) j 1 a j ai2 a 2j n 1 j 1 a j an2 2n Vậy an 2n , n 2 ak2 2k k 2 n 1 a Suyra: k 2 k 1 1 1 1 2 a k (2k-1) (2k-1) 4k(k+1) k k 1 (1 ) n n 1 a j 1 j 1 4 n Suyra: Vậy: n 1 ( n 1) (n 1) (n 2) 4 j 1 a j j 1 a j 5( n 1) (n 2) an2 2n Suyra: Dođó: Bài n 2; lim n an n 2n-1<a n < 2n-1+ 5(n-1) 2- 5(n-1) an < 2n-1+ n n Cho hai số a1 , b1 với a1 cos b1 cos 8, Lập hai dãy số an , bn với n 1, 2, theo an 1 (an bn ) b a b lim an lim bn n 1 n quy tắc sau: , n 1 Tính: n và n (6) Hướng dẫn giải +Tính a2 , b2 : a2 (cos cos ) cos (cos x 1) cos cos 2 8 8 16 b2 cos cos cos cos cos 16 8 16 + Bằng quy nạp, chứng minh được: cos cos n cos n (1) bn cos cos cos n (2) 2.4 4 2.4 4 an cos +Nhân hai vế (1) và (2) cho cos n 4 , an 2n.sin n sin 2n và áp dụng công thức sin 2a được: bn 2n.sin n sin sin +Tính giới hạn: 4sin lim an n Bài , 4sin lim bn n Cho dãy số un biết: u1 1 * u un , n N n 1 u n lim (un n ) Hãy tính n Hướng dẫn giải Ta có: u1 un , n N * un un un / (1 un2 ) un ( un3 ) / (1 un2 ) n N * un là dãy số giảm và bị chặn lim un a (a R, a 0) n (7) Từ un un / (1 un ), cho n ta được: un 0 a a / (1 a ) a 0 Vậy xlim 2 * Đặt 1/ (un 1) 1/ (un ), n N 2 2 Ta có ((1 un ) / un ) 1/ (un ) 2 un n ? Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta có: lim n v1 v2 u 2 lim n n n 1 n u12 2 1 1 u u n u n u1 lim n 1 2 n n lim u n 1 u n2 n Mà n v u2 lim n 0 lim lim 0 n n ; n n n n u2 1 lim n 2 lim 2 lim (un n ) n n n n.u n ⇒ n Bài Cho dãy S Ta lập dãy n U n U1 2 * U n2 2009U n n N U n 1 2010 xác định bởi: n Ui S n lim S i 1 U i 1 với Tính x n Hướng dẫn giải Tacó a1 a0 0 Giả sử a1 , a2 , , an Tacó a0 an an n 0 1 1 1 1 an an an a0 1 2 3 n n 1 an an a0 0 n (8) Hay an an an a0 a1 1.2 2.3 (n 1)n n(n 1) Do a1 , a2 , , an nên an an a1 2an 3an na (n 1)n n 1 1.2 2.3 a a a2 a n n 02 (n 1) n a a a02 a1 n n 3a na ( n 1)n 2a 1.2 2.3 n n n n 1 Ta lại có 2an 3an 3a na a 2a n n n n 2n n 1 n a a a a n n n n a0 n 1 n a a a0 a1 n n ( n 1)n n 1.2 2.3 an an an a0 a a0 a1 02 0 1.2 2.3 (n 1)n n(n 1) n n(n 1) Từ đó suy điều phải chứng minh Bài Cho dãy số un xác định u1 1, un 1 un2 , n 1 un a) Chứng minh: un tan , n 1 2n 1 u b) Suy tính đơn điệu và bị chặn n HƯỚNG DẪN GIẢI a) Chứng minh quy nạp toán học b) Nhận xét 0 , n 1 0; n 1 và hàm số tanx đồng biến trên u nên dãy số n giảm và bị chặn số tan 0 (9) tan 1 và bị chặn trên số Bài Cho dãy số x1 0; xn 1 xn xn xác định bởi: 2014 2015 2014 2015 , n * xn xn xn xn xn * 1.Với n ,đặt hạn đó yn n xn2 Chứng minh dãy số yn có giới hạn hữu hạn và tính giới nx 2.Tìm các số để dãy n có giới hạn hữu hạn và giới hạn là số khác HƯỚNG DẪN GIẢI 1.Từ giả thiết suy Suy xn 1 xn 1 xn21 xn2 xn2 xn xn xn21 xn2 xn2 x12 2n đó lim xn Xét 2014 2015 2014 2015 xn21 xn2 xn1 xn xn1 xn xn 2014 2015 2014 2015 xn xn xn xn xn xn xn xn xn xn 2014 2015 2014 2015 2015 2016 2013 2014 xn xn xn xn xn xn xn xn xn lim xn21 xn2 2 Suy 2 2 2 xn2 xn xn xn xn x2 x1 x1 n Ta có n Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có xn2 xn2 xn2 xn2 x22 x12 x12 xn2 lim lim 2 n n Do đó lim n xn2 (10) 2.Xét zn nxn n 2 xn xn2 Từ đó: +) Nếu thì lim zn +)Nếu thì lim zn 0 +) Nếu thì lim zn Vậy là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài Bài 10 Cho dãy số yn thỏa mãn y1 0, yn 1 y1 y2 yn , n 1 yn Chứng minh dãy số n có giới hạn n Hướng dẫn giải 3 Từ giả thiết ta có yn 1 yn yn , n 2 , đó dãy số yn n2 là dãy tăng, vì 3 2 yn1 yn yn yn ( yn 1) yn 1 ( yn 1) yn21 yn2 n 2 yn21 yn2 y22 n , y22 n y2 n y lim 0 n 1 (n 1) Mà (n 1) n 1 nên theo định lý kẹp ta có y y y lim n 1 0 lim n 1 0 lim n 0 n 1 n n 1 Bài 11 Tìm tất các số un (0;1) n 1 un 1 (1 un ) c c cho dãy số dãy số hội tụ Với giá trị c tìm hãy tính giới hạn dãy (un ) Hướng dẫn giải Ta xét các trường hợp sau + Nếu c cun c un 1 4cun ; n 1 un un (1 un ) , thì từ giả thiết, ta có (un ) thỏa mãn: (11) n Từ đây quy nạp, ta suy un (4c) u1 Do 4c nên un n Do đó, c không thỏa mãn + Nếu 0c 4c c a (1 b) c a, b ; , a b 2 , thì tồn cho b(1 a ) c Thật 4c c a ; , 2 đặt b a x ( x 0) , thì vây, lấy a (1 b) c a (1 a x ) c x a (1 a ) c a Chú ý là b(1 a) a(1 a) c Do đó, ta cần chọn x trên và b a x, thì bất đẳng thức nêu trên Xét dãy số (un ) xác định a nêu n 2m un b nêu n 2m thì dãy (un ) thỏa mãn giả thiết không hội tụ Thành thử, mãn + Nếu c 0c không thỏa un 1 un 1 un 4(1 un ) 4un (1 un ) , thì Suy dãy (un ) tăng và bị chặn Do đó, (un ) hội tụ 1 x(1 x ) x lim un x li m u , n thì từ giả thiết ta có hay Vậy Đặt Bài 12 x1 x x xn ; n 1 n 1 n n2 Cho dãy số (xn) thỏa mãn: Chứng minh dãy số trên có giới hạn Hướng dẫn giải *) Ta chứng minh xn n Thật vậy: n 1 đúng n n 1 với n (1) (12) Giả sử (1) đúng với n k 1: xk k xk 1 k 1 xk k k 1 xk2 xk 2 k 1 x k k 1 k k k k 1 k k 1 k k k 1 1 k 1 2 k k k 1 k 1 k k 2 (đpcm) x *) Ta chứng minh n có giới hạn NX: xn tăng và xn với n 1 1 1 xn xn xn 1 xn n n n 1 x1 xn n với n 1 Ta có Vậy xn có giới hạn Bài 13 Cho dãy số un xác định u1 2014, un 1 un4 20132 , n * un3 un 4026 Đặt n , n * u 2013 k 1 Tính lim vn k Hướng dẫn giải un4 20132 (un 2013)(un3 2013) 2013 3 u 2013 u u 4026 (un 2013) (un 2013) (1) n n n + Ta có * Từ đó quy nạp ta chứng minh un 2013, n 1 1 1 + Từ (1) suy un 1 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 2013 un 1 2013 n 1 1 1 uk 1 2013 u1 2013 uk 1 2013 uk 1 2013 k 1 uk 2013 Do đó + Ta chứng minh lim un Thật vậy, ta có un 1 un un2 4026un 20132 (un 2013) 0, n * 3 un un 4026 un un 4026 (13) u Suy n là dãy tăng, ta có 2014 u1 u2 u Giả sử n bị chặn trên và lim un a thì a 2014 Khi đó a a 20132 a a 4026 a 2013 2014 ( vô lí) Suy un không bị chặn trên, đó lim un Vậy lim lim Bài 14 (1 ) 1 uk 1 2013 Cho dãy số un u1 2013 un21 lim n u u u u un2 2, n * n xác định bởi: n 1 Tìm Hướng dẫn giải u1 a , a - Vì u1 2013 nên đặt a>1 1 u2 u a a a a Ta có Bằng quy nạp, ta chứng minh n un 1 a a2 n , n - Xét n n i ui a 2i a i 1 i 1 1 1 n 2i 1 2n a a a 2i a a 2n 1.0 a a i 1 a a a 1 n a a 2n 2 un 1 un21 1 1 a a 2 lim 2 a a 20132 1.0 n u u u u1 u2 un a a 2n n a 2n a Bài 15 Cho dãy số (an ) thỏa mãn: lim(5an 1 3an ) 4 Tính lim an Hướng dẫn giải Đặt an 2 bn Từ giả thiết suy lim (5bn1 3bn ) 0 Với số dương bé tùy ý, tồn số N cho với n N thì ta có: 5bn 1 3bn (1) (14) 5bn 1 3bn bn b b - Nếu n 1 n thì từ (1) dẫn đến - Xét trường hợp bn 1.bn hay bn1 , bn cùng dấu, chẳng hạn chúng cùng dương 3(2bn1 bn ) bn 1 bn 1 b b dẫn đến Nếu n1 n thì kết hợp với (1): Mà từ (1) ta có 3bn 5bn 1 b n (bn 1 bn ) bn dẫn đến bn Nếu 2bn1 bn thì kết hợp với (1): Tóm lại luôn có bn , hay lim(bn ) 0 Vậy lim(an ) 2 Bài 16 Cho dãy (un ) xác định sau: u1 = và n nguyên dương n , đặt i 1 u 2014 i un1 un2015 2un , un2014 un n 1, 2, Với số Tìm nlim Hướng dẫn giải un2015 2un (un 2)(un 4) un 1 2014 2 , (*) un un (un 4) (un 2) Đặt 2014 ta có Bằng quy nạp ta chứng minh un 3, n un 1 2un (un 2) un1 un un 0, un 3 un un un u n Xét Do đó (un ) là dãy tăng và u1 u2 un Giả sử (un ) bị chặn trên, suy lim un a n , a Khi đó ta có lim u (vô lí), suy (un ) không bị chặn trên Vậy n n 1 1 1 Từ (*) suy un1 un un , hay un un un 1 n n 1 1 2014 i 1 ui ui 1 un1 i 1 ui a a 1 a a a a 2 (15) Vậy lim lim (1 n Bài 17 n Cho dãy số ) 1 un1 un u1 3 u 3un 1 un , n 1 xác định n1 Chứng minh dãy un có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó Hướng dẫn giải Dãy số un u1 3 u 3un1 un , n 1 xác định n1 Ta chứng minh un 2, n 1 Thật ta có u1 3 uk31 3uk 1 uk 2 u 2, k k Giả sử , đó nên uk31 3uk 1 uk 1 1 uk 1 uk 1 Do đó theo nguyên lý quy nạp thì un 2, n 1 Xét hàm số Ta có f t t 3t 2, trên khoảng f ' t 3t 0, t Do đó hàm số f t đồng biến trên khoảng 2, 3 f u f u2 u1 u2 Mặt khác ta có u1 3u1 18 u2 3u2 Giả sử uk uk 1 k 1 uk uk 1 uk31 3uk 1 uk32 3uk 2 f uk 1 f uk 2 uk 1 uk 2 u u Do đó un un1 , n 1 Dãy n là dãy giảm và bị chặn nên dãy n có giới hạn hữu hạn Giả sử được: lim un a a 2 Từ hệ thức truy hồi un1 3un1 un chuyển qua giới hạn ta a 3a a a 3a 2 a a a 2a 2a 4a a 1 0 (16) a a a 2a a 1 a 0 a 2 a 2 Vậy lim un 2 Bài 18 Cho dãy số n Tìm: lim i 1 xn xi thỏa mãn: x1 2015 và xn 1 xn Hướng dẫn giải * * Ta có: xn n N xn 1 x Và: n xn n N * xn là dãy số tăng * Đặt un xn * un xác định vì xn n N và un n N * un 1 xn 1 xn 1 un21 Nên từ giả thiết (*) ta có: un21 un2 un 1 un un 1 un 1 un2 un n N * (1) u * Xét dãy số n ta có: * un un 1 un un n N tăng u Giả sử n có giới hạn là a Từ (1) ta có: a a a a 0 (loại) un tăng và không bị chặn lim un * Ta có: un2 u u u u 2n1 n n 1 n un un 1 un un un un un 1.un un un 1 n 1 u u i11 i un 1 xn n N * (*) (17) n lim i 1 1 1 lim ui 2015 u1 un 1 n Vậy: lim Bài 19 i 1 1 xi 2015 u1 5 un 1 un 12 un u Cho dãy số ; (n = 1; 2;.) xác định bởi: Chứng minh dãy số n có giới hạn Tìm giới hạn đó Hướng dẫn giải Dự doán giới hạn dãy số,bằng cách giải phương trình: a 0 a a 12 a 4 a a 12 Nhận xét u1 5 u2 u1 12 17 u1 u3 u2 12 17 12 u2 u Ta dự đoán dãy số n là dãy số giảm và bị chặn tức là un 4 Chứng minh dãy số un bị chặn: tức là un 4 n 1, u1 5 4 n 1 đúng Giả sử uk 4 , ta chứng minh: uk 1 4 Thật ta có: uk 1 uk 12 uk21 uk 12 uk21 12 uk 4 uk21 16 uk 1 4 Vậy dãy số un bị chặn u Ta chứng minh dãy số n là dãy số giảm Ta có: un 1 un un 12 un un2 un 12 (u 4)(un 3) un 1 un n 0 un 12 un un 12 un u Vậy dãy số n giảm và bị chặn nên có giới hạn (vì un 4 ) (18) Đặt lim un a thì lim un1 a Ta có: un 1 un 12 lim un 1 lim un 12 a a 12 a 4 Vậy lim un 4 Bài 20 xn Cho dãy số xác định x1 2,1 xn xn2 xn * , n 1, 2, xn 1 n yn Với số nguyên dương n, đặt i 1 x Tìm lim yn i Hướng dẫn giải Ta có kết sau: với số thực a 2 a 8a a 2 a 4a bất kì, ta có a a 2 a xn là dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạn lim xn L 2,1 x1 x2 Do đó a2 Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình x x 2 x 8x 2 x x x phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn Suy dãy x tăng và không bị chặn trên nên n Ta có xn 1 xn xn xn 2 xn 1 xn xn xn 2 xn 1 xn xn xn xn 2 xn xn xn xn 1 xn xn 1 xn lim xn xn x n 1 xn 1 xn 1 xn 1 (19) n Suy yn i 1 xi x1 xn 1 10 xn 1 Vậy lim yn 10 Bài 21 Cho dãy số xn xác định x1 2016, xn 1 xn xn 1, n 1, 2,3, x a)Chứng minh n tăng và lim xn 1 1 yn 2016 xn x1 x2 b)Với số nguyên dương n , đặt Tính lim yn Hướng dẫn giải 2 x a)Ta có xn1 xn xn xn xn 1 0 xn 1 xn , n 1 Do đó n tăng Ta chứng minh quy nạp theo n xn n 1, n 1 (1) Thật vậy, (1) đúng với n 1 Giả sử (1) đúng với n (n 1) thì xn 1 xn xn 1 n n 1 n n n x Vậy (1) đúng với n Từ n tăng ngặt và xn n 1, n 1 suy lim xn b)Ta có xn 1 xn xn 1 Suy xn1 1 xn xn 1 xn xn 1 Từ đó xn xn xn 1 1 1 yn 2016 2016 2016 xn x1 x2 x1 xn 1 2015 xn 1 Từ lim xn lim 2016 0 lim yn xn 2015 Vậy an n 1 : an sin1 Bài 22 Cho dãy sin 1 sin n sin n 1 n Chứng minh dãy an a lim n2 n2 n1 hội tụ và tính n Hướng dẫn giải Bổ đề 1: x sin x x x x (20) 1 1 n 0 lim n Bổ đề 2: Đặt xn n sin 1 1 1 sin k xk k n Áp dụng bổ đề 1: k k k 6k 6k n an n 1 1 6 n 1 n 6n an Chia các vế cho n : n Cho n , và lấy giới hạn, suy Bài 23 Cho dãy số u1 2, un 1 lim n 1 an n2 un n 1 lim n Tính giới hạn un n Hướng dẫn giải n2 un n , n 1 Ta chứng minh quy nạp n 1 Rõ ràng khẳng định đã đúng với u1 k 1 u k k2 uk k 1, k 1 k 1 Giả sử đã có k 1 Ta chứng minh k (k 1) k 1 uk k uk 1 u k 2 k Thật vậy: k2 (k 1)2 k 1 uk uk 1 k k k k 1 uk k k 1 1 k 1 u n2 un n 1, n 1 lim n 1 n n Vậy ta có n x =α x n+1= Bài 24 Cho α>2 và dãy số a) Chứng minh: x n >1 ( xn) với: ¿ với ∀ n∈N {¿ ¿¿ √ x2 n+ n+ n ( n∈ N ¿) ¿ ¿ (21) b) Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn và tìm giới hạn đó Hướng dẫn giải Ta chứng minh x n >1 Ta có: x 1=α ¿ với ∀ n∈N quy nạp nên x >1 ¿ Giả sử: x k >1 với k ∈N Ta có: x k >3 Vậy x n >1 và n+1 >1 n nên √ x 2n + n+3 >2 n Suyra: x n+1 >1 ¿ với ∀ n∈N Ta chứng minh ( x n ) là dãy giảm quy nạp Vì α> nên √ α2+4<2 α .Ta có x < x 2 Giả sử: x k +1 < x k Ta có: x k +1 <3 x k x2k +1 + n+1 và f ( n ) = n là hàm nghịch biến nên: k+ k+3 <3 x 2k + k +1 k Suy ra: x k +2 <x k +1 Vậy ( x n ) là dãy giảm ( x n) lả dãy giảm và bị chặn nên hội tụ lim x n=α Ta Đặt có x1 1 * * xn (n N ) un un x2 n n N xn 1 x n α=√3 α +1 ⇔α=1 xn Vậy lim x n=1 u 1= 2011 Bài 25 Cho dãy số un xác định: 2n un + =|2n u n− 1| , n ∈ N ¿ ¿ {¿ ¿ ¿ ¿ Chứng minh dãy số un có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó Hướng dẫn giải 2n un+1 =|2n un −1|⇔un+1 =|un − n | Ta có (22) 1– n Chứng minh : un (bằng quy nạp) *với n 1 ta có u1 2011 1– k *Giả sử uk (với k ) –k *Cần chứng minh : uk 1 −k 1−k −k −k u =|u −2 |>|2 −2 |=2 k+1 k Ta có Suy điều phải chứng minh ⇒u n+1 =un − –n Từ đó ta có un – với n Ta có u2 u1 ⇒u n=u 1− 2n 1 1 ; u3 u2 ; u4 u3 ; ; un un n 2 2 ( 12 + 21 + 21 + .+ ) n−1 un =2011− 1− Công thức tổng quát : 2 n−1 () =2011−1+ n−1 () Vậy lim un =2010 Bài 26 u1 a 2013 un 1 un2 un , n a 0;1 un 2014 2014 Cho số thực , xét dãy số với: a) Chứng minh rằng: un 1, n u b) Chứng minh n có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó Hướng dẫn giải a) Chứng minh: un 1, n 1 n 1: u1 a 0;1 1 đúng với n=1 Giả sử uk với k 1, k Ta có: uk 2013 2013 uk 2014 2014 uk2 1 uk2 2014 2014 (23) 0 2013 uk2 uk u k 1 2014 2014 Vậy: un 1, n u b) Chứng minh n có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó u Ta chứng minh: n là dãy tăng n , un 1 un 2013 un2 un u n un 2014 2014 2014 un 1 un , n un u n un 2013 u hay n là dãy tăng.(2) Từ (1),(2) suy un có giới hạn hữu hạn.Giả sử un có giới hạn là a, o a 1 Ta có: a Bài 27 2013 a2 a a 1 2014 2014 Vậy lim un 1 u1 u 1 u , n N n 1 n 3 Cho dãy số(un) xác định sau: a) Chứng minh rằng: un 2, n u b) Chứng minh n có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó Hướng dẫn giải n 1: u1 1 a) Với: đúng với n=1 Giả sử: uk với k 1, k uk 1 u k3 uk uk2 2uk uk 1 3 Ta có: uk 1 uk 1 uk 1 uk 1 Vậy: un 2, n b) n , un 1 un un 1 un u u , n u n 1 n hay n là dãy giảm (2) u Từ (1),(2) suy n có giới hạn hữu hạn (24) u Gọi a là giới hạn n , a a a a 1 3 Ta có Vậy lim un Bài 28 Cho dãy số un xác định bởi: u1 1; un 1 un2 un , n N * 2015 Tìm giới hạn sau: u u u lim n n u un 1 u3 Hướng dẫn giải Từ đề bài ta có: un 1 un un un2 2015 un un 1 2015 Suy ra: un 1 1 u u1 u2 k 2015 2015 uk 1 u1 uk 1 uk 1 Ta có: u2 u3 Ta có un là dãy đơn điệu tăng và u1 1 Nếu lim un n thì 2 0 2015 u ( vô lí vì n là dãy đơn điệu tăng và u1 1 ) Suy ra: lim un n u u u lim n 2015 n u un 1 u3 Kết luận: Bài 29 u1 2013 n N* u u 2un un1 2013 0 Cho dãy số n xác định n Chứng minh dãy (un) có giới hạn và tính giới hạn đó Hướng dẫn giải Từ hệ thức truy hồi suy 2un un 1 un 2013 Bằng quy nạp chứng minh un > 0, với n Do đó ta có: un 12 2013 2013 2013 un un 2013, n 1 un 2un 2 un un (25) Mặt khác ta có : un 1 un 2013 2013 1 1 un 2un 2 2un 2 (un) là dãy số giảm và bị chặn 2013 , đó (un) có giới hạn hữu hạn Đặt lim un a Ta có : Bài 30 a a 2013 a 2013 Vậy lim un 2013 2a Cho dãy số xn a) Chứng minh xác định bởi: lim xn n x1 4, xn 1 xn4 , n * xn3 xn ; n b) Với số nguyên dương n , đặt yn k 1 x Tính lim yn k Hướng dẫn giải a) Xét xn 3 xn3 3 xn4 xn 1 * xn xn xn3 3 xn Bằng quy nạp chứng minh xn 3, n 1 xn4 xn2 xn xn 1 xn xn xn xn xn xn Xét xn 1 xn x 3 n n x xn 0, n * x Do đó n là dãy tăng và x1 x2 x3 Giả sử xn bị chặn trên lim xn a Do đó: a a4 a 3 x a3 a (vô lý) Suy n không bị chặn trên Vậy lim xn 1 1 1 b) Từ (*), suy ra: xn 1 xn xn xn xn xn 1 n Suy ra: n 1 yn xk 1 k 1 xk k 1 xk 1 3 xn1 (26) lim yn lim xn 1 Vậy Bài 31 1 3 x1 1 xn2014 x12014 x22014 xn2015 u xn n xn 1 x2 x3 xn 1 2015 Cho dãy số Tìm giới hạn dãy số un với Hướng dẫn giải xn 1 xn2015 x 2015 x x xn2015 xn xn 1 xn n n 1 n 2015 2015 xn 1 xn 2015xn 1 xn x 2014 1 xn2014 n 2015 xn xn 1 2015 xn 1 xn xn 1 xn 1 un 2015 xn 1 Từ đó Dễ thấy xn là dãy tăng và x1 x2 x3 x Giả sử n bị chặn trên lim xn a a 2015 a a a 0 x 2015 Do đó: (vô lý) Suy n không bị chặn trên Vậy lim xn limu n lim 2015 2015 xn 1 Vậy Bài 32 x1 1 xn2 x x n 1 n 2015 Tìm giới hạn dãy ( S n ) với Cho dãy số {xn } xác định Sn x x1 x2 n x2 x3 xn 1 Hướng dẫn giải x xn xn2 x xn2 2015 n 1 n 2015 xn 1 xn 2015 xn 1 xn xn xn 1 xn xn 1 xn xn1 xn xn 1 2015 Suy ra: Sn 1 x x1 x2 n 2015 2015 x2 x3 xn 1 x1 xn 1 xn 1 x Dễ thấy n là dãy tăng và x1 x2 x3 (27) x Giả sử n bị chặn trên lim xn a Do đó: a a2 a a 0 x 2015 (vô lý) Suy n không bị chặn trên Vậy lim xn limSn lim 2015 2015 xn 1 Vậy x1 1 n S n x xn ( xn 1)( xn 2)( xn 3) k 1 xk Cho dãy số ( xn ) xác định n 1 Đặt Tìm limSn Bài 33 Hướng dẫn giải xn 1 xn ( xn 1)( xn 2)( xn 3) ( xn xn )( xn xn 2) xn2 xn n 1 1 1 1 S n x1 xn 1 xn 1 k 1 xk Ta có xn xn 1 xn1 1 xn 1 xn xn 1 0, n N * Dễ thấy: x suy n là dãy tăng và x1 x2 x3 x Giả sử n bị chặn trên lim xn a x Do đó: a a 3a 1 a (vô lý) Suy n không bị chặn trên Vậy lim xn 1 limSn lim xn 1 Vậy Bài 34 Cho Sn dãy số (un) xác định bởi: 2016 u1 2015 2u u 2u , n * n 1 n n 1 . u1 u2 un Tính: limS n Hướng dẫn giải 2un 1 un un un 1 n un un un 1 un un un un un 1 1 2015 u1 un 1 2016 un 1 k 1 uk Sn Đặt (28) * Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh un 0, n N 2016 un 1 un un 0, n N * u1 u2 u3 u Khi đó: suy n là dãy tăng và 2015 u Giả sử n bị chặn trên limu n a Do đó: 2a a 2a a 0 2016 2015 (vô lý) Suy un không bị chặn trên Vậy limu n 2015 2015 limSn lim 2016 un 1 2016 Vậy Bài 35 Cho dãy số xn xn4 x1 4, xn 1 , n * xn xn xác định bởi: lim xn a) Chứng minh n ; n b) Với số nguyên dương n , đặt yn k 1 x Tính lim yn k Hướng dẫn giải a) Xét xn 3 xn3 3 xn4 xn 1 * xn xn xn3 3 xn Bằng quy nạp chứng minh xn 3, n 1 Xét xn 1 xn xn 1 xn xn4 xn2 xn x n xn3 xn xn3 xn x 3 n n x xn 0, n * x Do đó n là dãy tăng và x1 x2 x3 x Giả sử n bị chặn trên lim xn a Do đó: a a4 a 3 x a3 a (vô lý) Suy n không bị chặn trên Vậy lim xn b) Từ (*), suy ra: xn 1 1 1 xn xn xn xn xn 1 (29) n Suy ra: yn k 1 n 1 xk k 1 xk xk 1 lim yn lim xn 1 Vậy 1 3 1 3 xn1 (30)