Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa B.CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN.. 1..[r]
(1)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Bài giảng số 3: PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1) Định nghĩa: Cho ≠ , 0≠k ta có c=k (gọi phép số thực với vectơ) Khi đó: + c
phương
+ c
cùng hướng k>0
+ c
ngược hướng k<0
+ |c
|=| k |=|k|.| |
Quy ước: =0
; k0
=0
2) Tính chất: Cho ,b k,h ,
+ k( +b
)= k +kb
+ (k+h) = k +hb
+ k(h )= (kh)
+ = ; (1) =
* Tính chất trung điểm: Nếu I trung điểm đoạn AB, vớii M ta có:
2 MA MB MI
* Tính chất trọng tâm tam giác: G trọng tâm ABC, với M ta có:
3 MAMBMC MG
3) Điều kiện để hai vectơ phương
,b
; phương b
≠0
0≠k : =kb
( ,b
;b
phương ≠0
0≠k : b
=k ) 4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
ABcùng phương AC
0≠k : ABk AC
5) Phân tích (biểu diễn) vectơ theo hai vectơ không phương:
Cho hai ,b
khác 0
khơng phương Khi x
tìm hai số m, n cho:
x
= m +nb
a 0 a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a a
a
a
a a a a
a
a a
a
a
a
a
a
(2)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa B.CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
1 Xác định vectơ k
PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k tính chất
Ví dụ 1: Cho a AB điểm O Xác định hai điểm M N cho :
3 ; 4
OM a ON a
Giải
Vẽ d qua O // với giá a
(nếu O giá a
d giá a
)
Trên d lấy điểm M cho OM=3| a
|, OM
và a
hướng OM 3a
Trên d lấy điểm N cho ON= 4|a
|, ON
a
ngược hướng nên ON 4a
Ví dụ 2: Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm đoạn AB cho AM=1
5AB Tìm k đẳng
thức sau:
) ; ) ; )
a AM k AB b MAk MB c MAk AB
Giải
a) | | | | 1
5 | |
AM AM
AM k AB k
AB AB
, AM AB
k=1 5
b) k= 1
4 c) k= 1 5
Ví dụ 3: a) Chứng minh:vectơ đối 5 (5)
b) Tìm vectơ đối véctơ 2 +3b
, 2b
Giải
G
I C
B
A
a
a
A M B
a a
a
a
O a
M N
Nếu G trọng tâm
AG=2
(3)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
a) 5 =(1)(5 )=((1)5) = (5)
b) (2 +3b
)= (1)( +3b
)= (1) +(1)3b
=(2) +(3)b
=2 3b
c) Tương tự
2 Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ khơng phương
Ví dụ 4: Cho ABC có trọng âtm G Cho điểm D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB
và I giao điểm AD EF Đặt ;
u AE v AF Hãy phân tích vectơ AI AG DE DC, , ,
theo
hai vectơ u v,
Giải
Ta có 1 1( ) 1 1 )
2 2 2 2
AI AD AEAF u v
2 2 2
3 3 3
AG AD u v
0. ( 1) DE FA AF u v
DC FE AEAF uv
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ AM
theo
hai vectơ uAB v, AC
Giải
Ta có 2
3 AM ABBM AB BC
mà BC ACAB
2( ) 1 2
3 3 3
AM AB ACAB u v
3 Chứng minh điểm thẳng hàng
+ A, B, C thẳng hàng ABcùng phương AC
0≠k : ABk AC
+ Nếu ABkCD hai đường thẳng AB CD phân biệt AB//CD
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K trung điểm AC AK=1 AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng
Giải a
a
a
a
a a a a a
(4)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
N M
A B
C
D
Ta có
1 2
2
4 2 (1)
BI BA BM BA BC
BI BA BC
Ta có
1 3
1 2 1
( )
3 3 3
3 2 (2)
BK BA AK BA AC
BA BC BA BA BC
BK BA BC
Từ (1)&(2) 3 4 4
3 BK BI BK BI
B, I, K thẳng hàng
Ví dụ 7: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức:
0 BC MA
, AB NA 3AC0
Chứng minh MN//AC Giải
3
3
BC MA AB NA AC
hay AC MN AC MN AC
/ /
MN AC
Theo giả thiếtBC AM
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M hình bình hành M không thuộc AC MN//AC
4 Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích vectơ với số
Ví dụ 8: Gọi M, N trung điểm hai đoạn thẳng AB CD Chứng minh:
2MN ACBD
Giải
2
2
VP AC BD AM MN NC BM MN ND
MN AM BM ND NC
MN
Ví dụ 9: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh: AB2ACAD3AC
Giải
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có ABAD AC
(5)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Tổ tốn trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa K
I
A
B
C
D
Ví dụ 10: Chứng minh G G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’
3GG'AA'BB'CC' Giải
' ' '
' ' ' ' ' ' ' ' '
3 ' ' ' ' ' ' '
3 ' (
VP AA BB CC
AG GG G A BG GG G B CG GG G C
GG AG BG CG G A G B G C
GG GA GB GC
) ' ' ' ' ' '
3 '
G A G B G C
GG
5 Xác định vị trí điểm nhờ đẳng thức véctơ + AB0 AB
+ Cho điểm A a
Có M cho : AM a
+ AB AC BC AD; BD AB
Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí G biết AG2GD Giải
2 AG GD
A,G,D thẳng hàng AG=2GD gà G nằm A D Vậy G trọng tâm tam giác ABC
Ví dụ 12: Cho hai điểm A B Tìm điểm I cho: IA2 IB0 Giải
2 0 2 2
IA IB IA IB IA IB
hay IA=2IB , IAIB
Vậy I điểm thuộc AB cho IB=1 3AB
Ví dụ 13: Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G cho: GA GB GCGD0 Giải
Ta có GA GB 2GI, I trung điểm AB
Tương tự GC GD 2GK, K trung điểm CD
A I B
D G
I C
B
(6)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
2 2
0
GA GB GC GD GI GK
GI GK
G trung điểm IK
C.BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho ABC Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB O điểm tùy ý
a/ CMR :
AM + BN +
CP =
b/ CMR : OA +
OB +
OC =
OM +
ON +
OP
Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G Gọi MBC cho
BM = MC
a/ CMR :
AB + AC =
AM
b/ CMR :
MA +
MB + MC =
MG
Bài 3: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F trung điểm AB, CD O trung điểm EF
a/ CMR :
AD + BC =
EF
b/ CMR : OA +
OB +
OC +
OD =
c/ CMR :
MA +
MB + MC +
MD =
MO (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí điểm M cho MA +
MB+ MC+
MD nhỏ
Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA M điểm tùy ý
a/ CMR :
AF + BG +
CH +
DE =
b/ CMR : MA+ MB+ MC+
MD = ME+ MF+ MG + MH
c/ CMR :
AC AB +
AD=
AG (với G trung điểm FH)
Bài 5: Cho hai ABC DEF có trọng tâm G H
CMR :
AD +
BE + CF =
GH
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O E trung điểm AD CMR :
a/ OA +
OB +
OC +
OD =
b/
EA +
EB + EC =
AB
c/
EB +
EA+
(7)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Bài 7: Cho ABC có M, D trung điểm AB, BC N điểm cạnh AC cho AN =
2
NC Gọi K trung điểm MN
a/ CMR :
AK =
4
AB +
6
AC b/ CMR :
KD =
4
AB +
3
AC
Bài 8: Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D E cho
AD =
DB , CE =
EA Gọi M trung điểm DE I trung điểm BC CMR :
a/
AM =
3
AB +
8
AC
b/
MI =
6
AB +
8
AC
Bài 9: Cho lục giác ABCDEF tâm O cạnh a
a) Phân tích ADtheo AB AF
b) Tinh 1
2AB2BC
theo a
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M trung điểm BC)
Phân tích AM theo AB AC
Bài 11: Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, N điểm AC cho NA=2NC Gọi K
trung điểm MN Phân tích AK theo AB AC
Bài 12: Cho tam giác ABC, Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI, gọi J điểm BC kéo dài cho 5JB = 2JC
a) Tính AI AJ theo AB AC, ,
b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Tính AG
theo AI AJ
Bài 13: Cho điểm A, B, C, D thỏa 2
AB +
AC = CMR : B, C, D thẳng hàng
Bài 14: Cho ABC, lấy M, N, P cho
MB= MC;
NA +3
NC =0
PA +
PB =
a/ Tính
PM,
PN theo
AB AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng
(8)Bài giảng cung cấp độc quyền http://baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Tổ toán trường THPT Trần Ân Chiêm –Thanh Hóa
Bài 16: Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý Gọi A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua trung điểm K, I, J cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh M di động , MN qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 17: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
a/ MA MB
b/ MAMBMCO
c/ | C
d/ C