Sóng mặt rayleigh với điều kiện biên trở kháng vật chất 604401

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Nguyễn Quỳnh Xuân SÓNG MẶT RAYLEIGH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Quỳnh Xuân Sóng mặt Rayleigh với điều kiện biên trở kháng Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 60440107 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Phạm Chí Vĩnh Hà Nội - 2017 Mục lục PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SĨNG RAYLEIGH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG 1.1 Phương trình 1.2 Phương trình đặc trưng 1.3 Điều kiện biên trở kháng 1.4 Phương trình tán sắc CÔNG THỨC VẬN TỐC SÓNG 2.1 Điều kiện biên trở kháng ả 2.2 Điều kiện biên trở kháng ả 2.3 Sự tồn són Kết luận LỜI CẢM ƠN Lời luận văn cho phép em gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy Phạm Chí Vĩnh, người tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em hồn thành luận văn tốt nghiệp Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy cô giáo dạy dỗ em suốt năm học đại học sau đại học, đặc biệt thầy, cô môn Cơ học, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè anh chị nhóm semina ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Học viên Cao học Nguyễn Quỳnh Xuân LỜI MỞ ĐẦU Trong phần lớn nghiên cứu sóng Rayleigh, bán khơng gian đàn hồi giả thiết tự ứng suất, tức ứng suất không mặt biên Sóng mặt tương ứng gọi "Sóng Rayleigh tự ứng suất" Mặc dù vậy, nhiều toán thực tế âm học, điện từ học, , điều kiện biên trở kháng (impedance boundary conditions), liên hệ tuyến tính hàm cần tìm đạo hàm chúng biên, xuất thường xuyên, tham khảo chẳng hạn báo [4]-[16] lĩnh vực âm học, [17]-[8] lĩnh vực điện-từ học, tài liệu tham khảo Mặt khác, nghiên cứu sóng Rayleigh truyền bán khơng gian đàn hồi phủ lớp mỏng, tác giả thường thay (một cách gần đúng) toàn ảnh hưởng lớp mỏng lên bán không gian điều kiện biên phân chia chúng, gọi "các điều kiện biên hiệu dụng" (effective boundary conditions), tham khảo chẳng hạn [1]-[24] Các điều kiện biên hiệu dụng có dạng điều kiện biên trở kháng Sau đó, sóng Rayleigh xem xét truyền bán không gian đàn hồi, không bị phủ (lớp mỏng), chịu điều kiện biên trở kháng Sóng mặt tương ứng gọi sóng Rayleigh với (chịu) điều kiện biên trở kháng Ngày nay, cấu trúc lớp mỏng gắn với lớp dày, mơ hình hóa bán khơng gian phủ lớp mỏng, sử dụng rộng rãi công nghệ đại, nhấn mạnh tài liệu tham khảo [9, 14] Do vậy, việc nghiên cứu sóng Rayleigh với điều kiện biên trở kháng địi hỏi thực tế Bài tốn truyền sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi đẳng hướng chịu điều kiện biên trở kháng Godoy cộng [7] nghiên cứu gần Các tác giả tìm phương trình tán sắc chứng minh tồn sóng Mặc dù vậy, cơng thức vận tốc sóng chưa tìm Đối với sóng mặt Rayleigh, vận tốc đại lượng vật lý bản, nhà nghiên cứu lĩnh vực khoa học khác quan tâm Nó nói đến hầu hết sách chun khảo sóng mơi trường đàn hồi Nó liên quan đến hàm Green nhiều tốn động lực học bán khơng gian, công cụ tiện lợi để đánh giá không phá hủy đặc trưng học kết cấu trước chịu tải Do vậy, cơng thức giải tích vận tốc sóng Rayleigh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng phương diện lý thuyết lẫn ứng dụng thực tiễn Mục đích luận văn tìm cơng thức vận tốc sóng Rayleigh chịu điều kiện biên trở kháng Để tìm công thức này, phương pháp hàm biến phức sử dụng Nội dung luận văn trình bầy hai chương: Chương 1: Phương trình tán sắc sóng Rayleigh với điều kiện biên trở kháng Trình bày tổng quan sóng mặt Rayleigh: phương trình bản, phương trình đặc trưng Điều kiện biên trở kháng, q trình tìm phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh bán không gian đàn hồi chịu điều kiện biên trở kháng Cách rút phương trình trình bày vắn tắt nghiên cứu Godoy công [7] Chương 2: Công thức vận tóc sóng Rayleigh 2.1 Cơng thức vận tốc sóng Rayleigh cho trường hợp điều kiện biên trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất tiếp 2.2 Công thức vận tốc sóng Rayleigh cho trường hợp điều kiện biên trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất pháp Những kết chương 2.1 đăng tạp chí European Journal of MechanicsA/Solids Link: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0997753816302595 Chương PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC CỦA SĨNG RAYLEIGH VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN TRỞ KHÁNG 1.1 Phương trình Xét bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng nén x2 (Hình 1.1) Giả sử bán không gian đàn hồi chịu trạng thái biến dạng phẳng: Hình 1.1 ui = ui(x1, x2, t), i = 1, 2, u3 0, ui thành phần chuyển dịch vecto chuyển dịch, t thời gian Các thành phần ứng suất sij liên hệ với thành phần chuyển dịch hệ thức: s s s 11 = (l + 2m)u1,1 + lu2,2 , 22 = lu1,1 + (l + 2m)u2,2 , 12 = m(u1,2 + u2,1) , dấu phẩy đạo hàm theo biến không gian x k, l, m số Lame Bỏ qua lực khối, phương trình chuyển động có dạng [2]: s 11,1 s 12,1 +s 12,2 +s 22,2 = ruă , = ruă , (1.3) du chm ch o hàm theo biến thời gian t, r mật độ khối lượng Quy ước: Trong phần tiếp theo, dấu phẩy đạo hàm theo biến không gian, dấu chấm (trên) đạo hàm theo biến thời gian Thay (1.2) vào (1.3) ta có: < : hay: (l + 2m)u1,11 + mu1,22 + (l + m)u2,12 = ruă1 , (l + m)u1,12 + mu2,11 + (l + 2m)u2,22 = ruă2 , Fb2(t) = (1 26 (2.44) > Cỏc tính chất hàm G(z) Đưa vào hàm g(t) xác định L sau: (2.45) gb(t) = (2.46) > : ( Từ (2.16), (2.28) ta có : g + Fb (t) = g(t)Fb (t), t L Xét hàm G(z) (tích phân dạng Cauchy) xác định sau: Z log g(t) G(z) = dt, z C L Mệnh đề 9: ) G ( z ) H ( S ) ( g ) G ( ¥ ) = ( g ) G(z) = W0(z) với z N( 1) (N(1)), W0(z) hàm bị chặn N(-1) (N(1)) có giá trị hữu hạn z=-1 (z= 1) Các tính chất hàm F(z) Xét hàm F(z) xác định sau: F(z) = e G(z) , z C Mệnh đề 10: (f1) F(z) H(S) (f2) F(z) = O(1) jzj ! ¥ (f3) F(z) bị chặn N( 1) N(1) có giá trị hữu hạn điểm z = z = + (f ) F (t ) = g b (t )F ( t ), t L (f5) F(z) 6= với z S Các tính chất hàm Y(z) Xét hàm Y(z) xác định qua F(z) F(z) sau: Yb(z) = Fb(z)/F(z) 27 Ta có mệnh đề sau tính chất hàm Y(z): Mệnh đề 11: (y1) Yb(z) H(S) (y2) Yb(z) = O(z ) jzj ! ¥ (y3) Yb(z) bị chặn N(-1) N(1) + (y4) Yb (t) = Yb (t), t L Mệnh đề 12: Yb(z) đa thức bậc hai: Y (z) = P b b Thật vậy, tính chất (y1) (y4) (mệnh đề 11) Yb(z) hàm chỉnh hình tồn mặt phẳng phức C, ngoại trừ điểm z=-1 z=1 Nhưng từ (y3) (mệnh đề 11) suy điểm điểm kì dị khử Do vậy, hàm Yb(z) chỉnh hình tồn mặt phẳng phức C Theo định lý Liou-ville mở rộng [12], Yb(z) đa thức, (y2) (mệnh đề 11) nên Yb(z) đa thức bậc hai z Tính tương đương đại số phương trình Fb(z) = Mệnh đề 13: Fb(z) = , Pb2(z) = miền S [ f 1g [ f1g Thật vậy, từ (2.48) (2.49) ta có: Fb(z) = F(z)Pb2(z) Từ (f5) (mệnh đề 10) suy F(z) 6= với z S Từ (g3) (mệnh đề 9) suy F(z) có giá trị khác không z = z = Do F(z) 6= với z S [ f 1g [ f1g Cho nên từ (2.51) suy khẳng định (2.50) Chú ý 2: (i) Phương trình Fb(z) = khơng có nghiệm khoảng ( 1, 1) tính gián đoạn hàm Fb(z) khoảng (do ( f5) mệnh đề 8) (ii) Từ mệnh đề 6, để tìm nghiệm phương trình siêu việt F b(z) = miền S [ f 1g [ f1g, ta tìm nghiệm phương trình bậc hai P b2(z) = 28 Mệnh đề 14: Phương trình Fb(z) = có hai nghiệm là: z1 = 1 z2 = E1/E2, E1 E2 hệ số đa thức bậc hai Pb2(z) Thật vậy, từ ( f1) (mệnh đề 8) mệnh đề 13 suy P( 1) = Theo định lý Vi-et, nghiệm thứ hai phương trình bậc hai P b2(z) = z2 = E1/E2 Lại theo mệnh đề 13, suy z2 nghiệm phương trình Fb(z) = Do Pb2(z) = có hai nghiệm, nên theo mệnh đề 13, phương trình Fb(z) = có hai nghiệm z1 = z2 = E1/E2 Công thức vận tốc sóng Theo mệnh đề 14, phương trình Fb(z) = có nghiệm: z1 = 1, z2 = E1/E2 Theo trên, nghiệm (thực) phương trình F b(z) = tương ứng với sóng Rayleigh phải có giá trị tuyệt đối lớn Cho nên, sóng Rayleigh tồn nghiệm z1 khơng tương ứng với sóng Rayleigh Tức vận 2 tốc sóng Rayleigh khơng thứ ngun xbr = c /c T tính theo cơng thức: x = br Để thu cơng thức vận tốc sóng ta cần tìm biểu thức E E2 Biểu thức E1 E2: Từ (2.47) (2.51) ta có: (z) = F (z)e P b2 b Từ (2.53), để xác định hệ số đa thức bậc hai P b2(z) ta cần khai triển Laurent hàm F (z), b Từ (2.41) -(2.45) suy ra: loggb(t) = iqb(t), qb(t) := Arg gb(t), đó: Vì đoạn L2 = sau: Xét hai trường hợp: 29 G(z) q b1 q b2 p qb1(t) = (1 tan p qb2(t) = tan (1 p Để khai triển Laurent hàm Fb(z) (xác định (2.40)) z = ¥ biến đổi F(z) dạng sau: Ta có: r r 1+ = z 1+ 1 2z 8z2 + O (z ) d2 Thay công thức (2.58) vào (2.59) ta kết sau: F (z) = D z a đó: > < > : 30 Thay khai triển Laurent (2.25), (2.60) vào (2.53) dẫn đến: Pb2(z) = Fb(z) e = G(z) a 1 a (D2z + D1z + D0 + O(z ))(1 + z + z + O(z )) = D2z + (D1 + a1D2)z + (D0 + a1D1 + a2D2) Từ (2.16) (2.28) suy : E2 = D2, E1 = (D1 + a1D2) = D1 + I0D2, hệ số D2, D1, I0 xác định (2.61), (2.28) Đó biểu thức cần tìm E1 E2 Ta có định lý sau: Định lý 2: Nếu sóng Rayleigh tồn vận tốc khơng thứ ngun xr xác định cơng thức sau: x = br + z2 2z2 , = z I0 =p qbi(t), i = 1, xác định (2.56), (2.57), D1, D2 xác định (2.61) Chứng minh: Theo (2.52), xbr biểu diễn qua z2 công thức thứ (2.63) Định lý chứng minh Kết số: 31 d g 2 10 1/4 -1/2 -1/3 -1/5 -1/2 -1/3 1/2 2/3 1/4 1/4 1/2 1/2 1/8 1/4 1/16 2.3 Sự tồn sóng Rayleigh Định lý 3: Sóng Rayleigh ln tồn với điều kiện trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất tiếp Chứng minh: Sự tồn - Theo mệnh đề 7, phương trình Fa(z) = có hai nghiệm z1, z2 Vì z1 = (tương ứng với xar = 0) không dẫn đến tồn sóng Rayleigh nên: Điều kiện cần đủ để sóng Rayleigh tồn là: z2 2/ [ 1, 1] (, < x ar < 1) - Theo ( f5) (mệnh đề 1), Fa(z) gián đoạn khoảng ( trình Fa(z) = khơng có nghiệm khoảng ( ( 1, 1) Mặt khác, F(1) = 6= nên z2 6= Như z2 2/ ( 1, 1] - Ta chứng minh z2 6= 6, (2.18) (g3) (mệnh đề 2) ta có: lim số hữu hạn Suy ra: lim x!0 Nhưng điều khơng đúng, từ (2.1) dễ ràng chứng minh rằng: fa(x) lim x x!0 Rayleigh (luôn) tồn Sự 32 = ¥ Vậy - Giả sử tồn hai sóng Rayleigh tương ứng với vận tốc x (1) ( 2) ,x ( 1) (2) x 6= x Khi x theo (1.18): (1) ( 2) ,x hai nghiệm khác (1.17) nghiệm khác (do ánh xạ (2.2) ánh xạ 1-1 ): z1 = (2) z2 = 2x phương trình Fa(z) = có ba nghiệm phân biệt - Theo mệnh đề phương trình Pa2(z) = có ba nghiệm khác Điều vơ lý P a2(z) đa thức bậc hai nên có tối đa hai nghiệm khác Định lý chứng minh 33 KẾT LUẬN Luận văn khảo sát truyền sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi đẳng hướng nén chịu điều kiện biên trở kháng Áp dụng phương pháp hàm biến phức, cơng thức giải tích xác vận tốc sóng Rayleigh tìm với hai trường hợp sóng Rayleigh chịu điều kiện biên trở kháng ảnh hưởng đến ứng suất tiếp pháp Sự tồn sóng Rayleigh với điều kiện trở kháng ảnh hướng đến ứng suất tiếp chứng minh Chứng minh đơn giản nhiều so với chứng minh Godoy cộng [7] Hướng nghiên cứu tiếp theo: Mở rộng cho trường hợp điều kiện trở kháng ảnh hưởng cho ứng suất pháp tiếp Tìm cơng thức vận tốc sóng môi trường đàn hồi trực hướng chịu điều kiện biên trở kháng Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận văn [1] Phạm Chí Vĩnh, Nguyễn Quỳnh Xn (2015)Sóng Rayleigh bán khơng gian đàn hồi đẳng hướng chịu điều kiện biên trở kháng: cơng thức vận tốc sóng, tồn Tuyển tập hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng toàn quốc lần thứ XII, Đà Nẵng 2015 [2] Vinh, P C , Xuan, N Q (2016) Rayleigh waves with impedance bound-ary condition: Formula for the velocity, existence and uniqueness, European Journal of Mechanics-A/Solids,61,180–185(SCI) 35 Tài liệu tham khảo [1] Achenbach, J D and Keshava, S P (1967), "Free waves in a plate sup-ported by a semi-infinite continuum", Journal of Applied Mechanics, 34, pp 397-404 [2] Achenbach, J D (1973), "Wave propagation in Elastic Solids", North- Holland, Amsterdam [3] Asghar, S., Zahid, G H (1986), "Field in an open-ended waveguide sat-isfying impedance boundary conditions", Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP), 37, pp 194-205 [4] Antipov, Y A (2002), "Diffraction of a plane wave by a circular cone with an impednance boundary condition", SIAM Journal on Applied Mathemat-ics, 62, pp 1122-1152 [5] Bovik, P (1996), "A comparison between the Tiersten model and O(H) boundary conditions for elastic surface waves guided by thin layers", Journal of Applied Mechanics, 63, pp 162-167 [6] Castro, L P., Kapanadze, D (2008), "The impedance boundary-value problem of diffraction by a strip", J Math Anal Appl, 337, pp 1031-1040 [7] Godoy, E., Durán, M., Nédélec, J-C (2012), "On the existence of surface waves in an elastic half-space with impedance boundary conditions", Wave Motion, 49, pp 585-594 [8] Hiptmair, R., Lopez-Fernandez, M., Paganini, A (2014), "Fast convolution quadrature based impedance boundary conditions", Journal of Computa-tional and Applied Mathematics, 263, pp.500-517 36 [9] Makarov, S., Chilla, E and Frohlich,E J (1995), "Determination of elastic constants of thin films from phase velocity dispersion of di R erent sur-face acoustic wave modes", Journal of Applied Physics, 78, pp 5028-5034 [10] Malischewsky, P G (1987), "Surface Waves and Discontinuities", Elsevier, Amsterdam [11] Mathews, I C., Jeans, R A (2007), "An acoustic boundary integral for- mulation for open shells allowing different impedance conditions, top and bottom surfaces", Journal of Sound and Vibration, 300, pp 580-588 [12] Muskhelishvili, N I (1963), "Some Basic problems of mathematical the- ory of elasticity", Noordhoff, Netherland [13] N I Muskhelishvili, N I (1953) "Singular intergral equation", Noordhoff-Groningen [14] Niklasson, A J., Datta, S K and Dunn,M L (2000), "On approximating guided waves in plates with thin anisotropic coatings by means of effective boundary conditions", J Acout Soc Am, 108, pp 924-933 [15] Nkemzi, D (1997), "A new formula for the velocity of Rayleigh waves", Wave motion, 26, pp 199-205 [16] Qin, H-H., Colton, D (2012), "The inverse scattering problem for cavities with impedance boundary condition" , Adv Comput Math, 36, pp 157-174 [17] Senior, T B A (1960), "Impedance boundary conditions for imperfectly conducting surfaces", Applied Scientific Research, Section B8, pp 418-436 [18] Steigmann, D J., Ogden, R W (2007), "Surface waves supported by thin-film/substrate interactions", IMA Journal Applied Mathematics, 72, pp.730-747 [19] Stupfel, B., Poget, D (2011), "Sufficient uniqueness conditions for the so-lution of the time harmonic Maxwell’s equations associated with surface impedance boundary conditions", Journal of Computational Physics, 230, pp 4571-4587 37 [20] Tiersten, H.F (1969), "Elastic surface waves guided by thin films" ,Journal of Applied Physics, 46, pp 770-789 [21] Vinh, P C (2013), "Scholte-wave velocity formulae", Wave Motion, 50, pp 180-190 [22] Vinh, P C., Anh, V T N (2014), "Rayleigh waves in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer with smooth contact", Internatinal Journal of Engineering Science, 75, pp 154-164 [23] Vinh, P C., Anh, V T N (2014), "An approximate secular equation of Rayleigh waves in an isotropic elastic half-space coated with a thin isotropic elastic layer", Acta Mechanica, In press, DOI 10.1007/s00707014-1090-8 [24] Vinh, P C., Anh, V T N., Thanh, V P (2014), "Rayleigh waves in an isotropic elastic half-space coated by a thin isotropic elastic layer with smooth contact", Wave Motion, 51, pp 496-504 [25] Vinh, P C., Khanh Linh, N T (2012), "An approximate secular equation of Rayleigh waves propagating in an orthotropic elastic half-space coated by a thin orthotropic elastic layer", Wave Motion, 49, pp 681-689 [26] Vinh, P C., Khanh Linh, N T (2013), "An approximate secular equa-tion of generalized Rayleigh waves in pre-stressed com-pressible elastic solids", International Journal of Non-Linear Mechanics, 50, pp 91-96 [27] Yla-Oijala, P., Jarvenppa, S (2006), "Iterative solution of high-order boundary element method for castro, L P., Kapanadze, D (2008), "The impedance boundary-value problem of diffraction by a strip", J Math Anal Appl, 337, pp 1031-1040 [28] Zakharov, D D (2006), "Surface and internal waves in a stratified layer of liquid and an analysis of the impedance boundary conditions", Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 70, pp 573-581 38 ... sắc sóng Rayleigh với điều kiện biên trở kháng Trình bày tổng quan sóng mặt Rayleigh: phương trình bản, phương trình đặc trưng Điều kiện biên trở kháng, trình tìm phương trình tán sắc sóng mặt Rayleigh. .. không bị phủ (lớp mỏng), chịu điều kiện biên trở kháng Sóng mặt tương ứng gọi sóng Rayleigh với (chịu) điều kiện biên trở kháng Ngày nay, cấu trúc lớp mỏng gắn với lớp dày, mơ hình hóa bán khơng... Do vậy, việc nghiên cứu sóng Rayleigh với điều kiện biên trở kháng địi hỏi thực tế Bài tốn truyền sóng Rayleigh bán không gian đàn hồi đẳng hướng chịu điều kiện biên trở kháng Godoy cộng [7] nghiên