Hệ động lực cho mô hình động học rừng với điều kiện biên hỗn hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ĐINH THỊ THU HỆ ĐỘNG LỰC CHO MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: Tốn Giải tích Người hướng dẫn: TS Lê Huy Chuẩn Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ĐINH THỊ THU HỆ ĐỘNG LỰC CHO MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Chuẩn Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn Hà Nội, ngày 02 tháng 10 năm 2017 Học viên Đinh Thị Thu Mục lục Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Những không gian hàm 1.1.1 Không gian Holder 1.1.2 Không gian Holder có trọng 1.1.3 Không gian Sobolev 1.2 Toán tử quạt 1.2.1 Toán tử quạt 9 1.2.2 Hàm mũ toán tử quạt 10 1.2.3 Hàm lũy thừa toán tử quạt 10 1.2.4 Xấp xỉ Yosida 12 1.3 Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính 12 1.3.1 Cặp không gian liên hợp 12 1.3.2 Bộ ba không gian 13 1.4 Toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên hỗn hợp 16 1.5 Phương trình tiến hóa 18 Chương Mơ hình động học rừng với điều kiên biên hỗn hợp 21 2.1 Nghiệm địa phương 22 2.2 Tính không âm nghiệm địa phương 24 2.3 Nghiệm toàn cục 26 2.3.1 Ước lượng tiên nghiệm 26 2.3.2 Sự tồn nghiệm toàn cục 32 2.3.3 Tính liên tục theo điều kiện ban đầu nghiệm 33 2.3.4 Hệ động lực 35 LỜI MỞ ĐẦU Vào năm 1972, D B Botkin [2] đưa mơ hình tốn học sở phát triển rừng Trong đó, Botkin nghiên cứu khu vực 3 khoảng (100m tới 300m ) rừng đưa phương trình phát triển cho với tương tác khu vực Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya Antonovsky M D Korzukhin [1] đưa mơ hình tốn học rừng quan tâm tới mối quan hệ phụ thuộc tuổi Mơ hình sau vào năm 1994 tác giả Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky, V N Biktashev A Aponina [4] phát triển thành mơ hình động học rừng theo cấu trúc tuổi có xét đến hình thành khuếch tán hạt Mơ hình động học rừng Kuznetsov đưa có dạng: ¶t =bdw ¶u > > > > > > ¶v =fu ¶t > < > ¶w = dDw b w + av > ¶ u (x; 0) = u0(x); v(x; 0) = v0(x); w(x; 0) = w0(x) > > > t > > : u v mật độ non già , w mật độ hạt khơng khí Phương trình thứ thứ hai mô tả phát triển cây; phương trình thứ ba mơ tả động học hạt; d tỉ lệ nảy mầm hạt; g(v) tỉ lệ chết non; f tốc độ phát triển non; h tỉ lệ chết già; avà b tốc độ tạo hạt già tỉ lệ lắng đọng hạt; d số khuếch tán hạt Mô hình trường hợp w thỏa mãn điều kiện biên Neumann tác giả Chuan, Tsujikawa, Yagi nghiên cứu Phương pháp sử dụng công cụ nửa nhóm giải tích để nghiên cứu tồn nghiệm tồn cục tính ổn định nghiệm dừng Các tác giả chứng minh tồn nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực nghiên cứu ổn định nghiệm dừng Sử dụng kĩ thuật tương tự trường hợp điều kiện biên Neumann, tác giả Shirai, Chuan, Yagi nghiên cứu mơ hình với điều kiện biên Dirichlet thu kết tương tự Trong luận văn này, vấn đề đặt nghiên cứu mơ hình động học rừng với điều kiện biên hỗn hợp Tức biên G W chia làm phần G N GD Đây điều kiện biên tổng quát xuất phát từ điều kiện tự nhiên Khó khăn gặp phải toán tử quạt sinh toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên hỗn hợp khơng có tính chất tốt trường hợp điều kiện biên Neumann Dirichlet Do cách tiếp cận giống trường hợp điều kiện biên Neumann Dirichlet tác giả biến đổi hệ ban đầu phương trình tiến hóa dạng Parabolic cách xây dựng toán tử quạt kết hợp toán tử Laplace với điều kiện biên hỗn hợp Từ tồn nghiệm toàn cục xây dựng hệ động lực cho mơ hình ban đầu Nội dung luận văn trình bày số kết nghiên cứu mơ hình động học rừng (0.1) với điều kiện biên hỗn hợp Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương luận văn gồm khái niệm kết giải tích hàm liên quan đến khơng gian Holder, khơng gian Sobolev, tốn tử quạt, phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng gian Banach, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, định lý kết liên quan tới luận văn Chương trình bày dựa tài liệu [6] Chương nội dung luận văn Ở chương tác giả nghiên cứu toán (0.1) với điều kiện biên hỗn hợp Cụ thể tác giả tồn nghiệm không âm nghiệm địa phương tồn nghiệm toàn cục Cuối xây dựng tập hút cho hệ động lực sinh (0.1) Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 12 tháng 08 năm 2017 Học viên Đinh Thị Thu BẢNG KÍ HIỆU Dưới số kí hiệu thường xuyên sử dụng luận văn: C(W) := f f : W ! C m liên tục Wg: a C (W) := f f : W ! C : D f C(W); 8a : jaj mg với m 1: L(X;Y ) : f f : X ! Y thỏa mãn f tuyến tính liên tụcg: Z p Lp(W) := f f : W ! C đo cho W j f (x)j dx < ¥g với p 1: Lp;loc(W) := f f Lp(W ); + Ta ý C4 f uv C3g(v)u Xét tam thức bậc hai (v Ta có C3a Vậy Tương tự, xét tam thức bậc hai u Ta có C3c Vậy Từ suy Vì vậy, tồn r > cho d dt 29 r = Vậy nên 2 C3ku(t)kL +C4kv(t)kL +kw(t)kL Từ ta suy kU(t)kL2 Ce Ce rt rt 2 C3ku0kL +C4kv0kL + kw0kL +C: kU0kL2 + ; Bước Đánh giá kw(t)kL¥ : Theo cơng thức biến thiên số ta có biểu diễn Zt tL w(t) = e w0 + e (t t)L av(t)dt: Khi Z h h tL L w(t) = L e w0 + a tL Do ke k e tb (t > 0; L b ) nên ta có h kw(t)kD(Lh ) h tL CkL wkL2(W) kL e w0k+C Zt (t t) h e 2b (t t) kv(t)kL2 dt h Ct e Theo Bước ta có Do C Zt (t t) h e b (t t) dt +C Z t (t t) h e b (t t) e rt kU0kL2 dt: 30 n Lấy r Zt b (t t) h ; r b e o (t t) r0t Zt (t t) Zt +Ce C Z t kv(t)kL2 dt C (t (t b h t) h e h e r (t s) t) b e (r (t s) ds r0)sk k e U0 L2 ds b +r0 (t s) ds b +Ce r Zt t (t t) h r0 (t s) e dskU0kL2 h i C e r t kU0k+ : kw(t)kL¥ Ckw(t)kD(Lh ) C (1 +t h rt )e kU0k+ g (2.12) Bước Đánh giá ku(t)kL¥ ; kv(t)kL¥ : Từ (2.5), ta có u(t) = e Kết hợp với đánh giá (2.12) ta có ku(t)kL¥ ft e e ft =e Zt ku0kL¥ +C e f (t t) Zt kw(t)kL¥ dt ku0kL¥ +C ft Z ku0kL¥ +C t Z h +C (1 + t )e Lấy r f f ; rg ku(t)kL¥ Ce +Ce r ft Z t f (t t) ku0kL¥ +C e dt Z t t Thay r số ta ku(t)kL¥ Ce e(f (0 < t < TU ): r )(t t)e (r r )t dtkU0kX : 31 Tương tự, từ (2.6) (2.13) ta có kv(t)kL¥ Ce rt kU0kX + (0 t TU ): Kết hợp với đánh giá thu bước ta suy kU(t)kX Ce rt kU0kX + : 2.3.2 Sự tồn nghiệm toàn cục Định lý 2.2 Cho u0; v0 L¥(W) w0 L2(W) thỏa mãn điều kiện u0 0, v0 w0 Khi hệ (2.1) có nghiệm tồn cục không gian hàm: ( u; v C([0; ¥); L¥(W)) \C ((0; ¥); L¥(W)); w C([0; ¥); L (W)) \C((0; ¥); D(L)) \C ((0; ¥); L2(W)): Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1 ta thấy hệ (2.1) tồn nghiệm địa phương (u; v; w) đoạn [0; T U0 ] Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.1 ta có ước lượng tiên nghiệm sau: rt kU(t)kX C e kU0kX + Xét toán Cauchy < dV + AV = F(V ); t (0; ¥) : V(0) = U(TU0): Theo định lý tồn nghiệm địa phương ta thấy tồn nghiệm V (t) (0; d ) , độ dài d phụ thuộc vào kU(T U0 )k Tuy nhiên, theo đánh giá (2.14) nên d phụ thuộc vào kU0k Đặt ˜ U (t) = ˜ Do tính nghiệm nên ( ) nghiệm phương trình ban đầu (0; UtT + U0 d ) Thay TU0 TU0 + d lặp lại q trình ta mở rộng U(t) (0; ¥) Như vậy, ta tồn nghiệm toàn cục toán (2.1) cho ( u; v C([0; ¥); L¥(W)) \C ((0; ¥)); L¥(W)); w C([0; ¥); L (W)) \C((0; ¥); D(L)) \C ((0; ¥); L2(W)): Phần ta xét tính liên tục nghiệm theo điều kiện ban đầu 32 2.3.3 Tính liên tục theo điều kiện ban đầu nghiệm Giả sử B tập giá trị ban đầu bị chặn sau BR = fU0 K : kU0k Rg R > Theo Định lý 2.2 với U0 BR hệ (2.1) tồn nghiệm tồn cục Khi ta có kết sau Mệnh đề 2.2 Với R > T > tồn số CR;T > (chỉ phụ thuộc vào R T ) cho với U0;V0 BR hai nghiệm U(t) V (t) hệ (2.1) tương ứng với giá trị ban đầu U0;V0 thỏa mãn đánh giá h h t kA [U(t) V (t)]k+ kU(t) V (t)k CR;T kU0 V0k; t T: (2.15) Chứng minh Với q [0; 1), từ công thức biểu diễn nghiệm ta có Z q q A [U(t) V (t)] = A e tA t (U0 Do tính Lipschitz toán tử F từ Mệnh đề 2.1 đánh giá tiên nghiệm ta có q q t kA [U(t) V (t)]k Aq kU0 h + s kU(s) V (s)kgds; < t T; q q Aq = sup t kA e 0 0; số mũ cố định m > 0, n > ta xét hàm j(t; s) có điểm kì dị t = s thỏa mãn bất đẳng thức j(t; s) a(t s) ta có j(t; s) m +b 34 G(:) hàm Gamma Em;n hàm bị chặn xác định công thức E (t) = m;n å n =0 Áp dụng bất đẳng thức trường hợp m = n = p(t) CR;T kU0 hay h h t kA [U(t) V (t)]k+ kU(t) V (t)k CR;T kU0 V0k; 2.3.4 Hệ động lực Cho K không gian giá trị ban đầu K= > < B @ > : Theo đánh giá mục nghiệm toàn cục ta thấy với U K tồn t nghiệm toàn cục U(t;U 0) = (u(t); v(t); w(t)) hệ (2.1) nghiệm liên tục với điều kiện ban đầu Khi ta định nghĩa nửa nhóm fS(t)gt xác định sau: S(t) : [0; ¥) K ! X (t;U0) 7!U(t;U0) Nửa nhóm S(t) nửa nhóm liên tục K trang bị chuẩn sinh từ khơng gian pha X Vì vậy, ta xây dựng hệ động lực (S(t); K; X) cho toán (2.1) Bây ta kiểm tra tính hấp thụ tập fS(t); K; Xg Thật vậy, lấy R > U0 K thỏa mãn kU0k R Khi đó, từ (2.14) ta thấy tồn tR cho kU(t)k ˜ ˜ 8t tR; C số xuất C+1 sup K U 02 kU0k R Đặt B = f K; k k ˜ + 1g U U 35 C tập hút hệ (S(t); K; X) Vì B tập hút nên tồn t B > cho S(t)B Xét tập B; 8t tB: ˜ X = [0 t ¶t ¶ v... kết hợp toán tử Laplace với điều kiện biên hỗn hợp Từ tồn nghiệm tồn cục xây dựng hệ động lực cho mơ hình ban đầu Nội dung luận văn trình bày số kết nghiên cứu mơ hình động học rừng (0.1) với điều. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ĐINH THỊ THU HỆ ĐỘNG LỰC CHO MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ