Về phân tích phổ của hệ động lực tô pô

I HC QUăC GIA H NáI TRìNG I HC KHOA H¯C TÜ NHI N KHOA TO N - CÌ - TIN H¯C o0o NGUY N HO NG VI T V PH NTCHPH˚ CÕA H ¸NG LÜC T˘-P˘ LU NV NTH CS TO NHC H Ni - 2019 I HC QUăC GIA H NáI TRìNG I HC KHOA HC Tĩ NHI N KHOA TO N - CÌ - TIN H¯C o0o NGUY N HO NG VI T V PH NTCHPH˚ CÕA H ¸NG LÜC T˘-P˘ LU NV NTH CS TO NH¯C Chuyản ng nh: ToĂn giÊi tch M s: 8460102 NGìI HײNG D N KHOA H¯C TSL HUYTI N H Nºi - 2019 Mưc lưc Líi c£m ìn Mð ƒu Kin thức chu'n b 1.1 Tnh giÂn ỗng phổi 1.2 Tnh bõng ca ỗng ph 1.3 ỗng phổi Anosov tổpổ Ph¥n t‰ch phŒ cıa h» ºng lüc tỉpỉ 2.1 T“p quay lui x‰ch 2.2 T“p Œn ành v khỉng 2.3 Ph¥n t‰ch phŒ cıa h» K‚t lu“n T i li»u tham kh£o i L˝IC MÌN Lun vôn n y ữổc thỹc hiằn ti Trữớng i håc khoa håc tü nhi¶n ⁄i håc QuŁc gia H ni v ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS Lả Huy Tin Em xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc chƠn th nh v tợi thy giĂo hữợng dÔn khoa hồc ca mnh, ngữới  t vĐn ã nghiản cứu, d nh nhiãu tƠm huyt, thới gian hữợng dÔn v tn tnh giÊi Ăp nhœng th›c m›c cıa em suŁt qu¡ tr…nh l m lun vôn - Em cụng xin trƠn trồng cÊm ìn Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ⁄i håc khoa håc tü nhi¶n, Ban Chı nhi»m Khoa To¡n-Cì-Tin håc, Bº mỉn To¡n giÊi tch, cĂc giÊng viản  tham gia giÊng dy,  to mồi iãu kiằn tt nhĐt em hồc v nghiản cứu ỗng thới, em cụng xin gòi lới cÊm ỡn tợi th lợp cao hồc To¡n håc (khâa 2016-2018), c£m ìn gia …nh b⁄n b–  ng viản v giúp ù em rĐt nhiãu qu¡ tr…nh håc t“p H Nºi, ng y 15 thĂng 11 nôm 2019 Hồc viản Nguyn Ho ng Viằt M u Lch sò lỵ thuyt hằ ng lỹc bt u ữổc bit n bi Issac-Newton, ngữới m  mổ t£ c¡c quy lu“t chuy”n ºng v ph¡t hi»n lỹc hĐp dÔn Trong lỵ thuyt ca Newton, cĂc chuyn ºng mºt h» ºng lüc ÷ỉc mỉ t£ bði cĂc hằ phữỡng trnh vi phƠn Sau õ, cui th k 19, Poincar  phĂt trin lỵ thuyt nh tnh phữỡng trnh vi phƠn Poincar nghiản cứu tnh chĐt nghiằm thay v… t…m ÷ỉc cỉng thøc gi£i t‰ch cıa nghi»m Nhiãu nôm sau õ, cĂc nh khoa hồc  phĂt trin cĂc lỵ thuyt nghiản cứu nh tnh hằ ng lỹc cỡ s lỵ thuyt tổpổ Trong õ, viằc nghiản cứu ỗng phổi giÂn v bõng l mt ch ã lợn nhng nôm qua Tnh chĐt bõng xuĐt phĂt t viằc giÊi s phữỡng trnh vi phƠn Tnh chĐt bõng cõ nghắa l tỗn ti mt qu o gn mt giÊ qu o cho trữợc T nh bõng ÷ỉc nghi¶n cøu ƒu ti¶n bði Anosov, Bowen, Sinai, c¡c tĂc giÊ n y  cho rng nõ liản quan ‚n b i to¡n Œn ành to n cöc cıa h» ºng lüc C¡c t¡c gi£ n y •u ti‚p c“n t‰nh bâng b‹ng c¡c ph÷ìng ph¡p h…nh håc Trong lu“n v«n n y, chóng tỉi s‡ tr…nh b y vĐn ã Vã phƠn tch ph ca hằ ng lỹc tỉ-pỉ Trong â, chóng tỉi s‡ tr…nh b y chi tit vã ỗng phổi khổng giÂn v bõng cõ phƠn tch ph Ni dung lun vôn ữổc chia l m ch÷ìng Trong â, Ch÷ìng 1: Ki‚n thøc chu'n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tỉi s‡ tr… nh b y cĂc kin thức ỗng phổi giÂn ca mt khổng gian mảtric tổpổ v cĂc tnh chĐt liản quan, tnh bõng ca ỗng phổi v ỗng phổi Anosov tổpổ Chữỡng 2: PhƠn tch ph ca hằ ng lỹc tæpæ C¡c nºi dung quan trång v chøng minh chi tit vã phƠn tch ph theo Smale v Bowen s ÷æc tr…nh b y i li»u ch‰nh ÷æc tham kh£o kh£o ho n th nh lu“n v«n n y l [2] Ngo i ra, chóng tỉi cơng tham kh£o c¡c t i li»u [1], [7] T Ch÷ìng Ki‚n thøc chu'n bà Ch÷ìng n y s‡ tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n v• h» ng lỹc, Ănh x liản tửc v cĂc tnh chĐt cıa h» Anosov v ¡nh x⁄ Anosov tỉpỉ B¶n c⁄nh â, chóng tỉi cơng tr…nh b y mºt sŁ v§n ã vã ỗng phổi giÂn v tnh chĐt giÊ qu ⁄o C¡c t i li»u ch‰nh ÷ỉc tham kh£o cho ki‚n thøc ð ch÷ìng n y l [2] 1.1 T‰nh giÂn ỗng phổi Trong mửc n y, chúng tổi s trnh b y nh nghắa, tnh chĐt ca mt ỗng phổi giÂn T õ dÔn n tnh chĐt ca Ănh x giÂn dữỡng, Ănh x c-giÂn trản mt khổng gian m¶tric compact Trong phƒn n y, ta ln gi£ thi‚t khæng gian pha cıa mºt h» ºng lüc l mºt a t⁄p kh£ vi ành ngh¾a 1.1.1 To n ¡nh li¶n tưc f : M ! N cıa mºt khỉng gian mảtric ữổc gồi l mt ỗng phổi nu nõ l mºt ìn ¡nh v ¡nh x⁄ ng÷ỉc f : N ! M cơng li¶n tưc Khỉng gian m¶tric M ữổc gồi l mt a tổpổ n-chiãu nu tỗn ti m Ui M v ỗng phổi i bi‚n t÷ìng øng 1-1 mØi t“p Ui th nh mºt t“p n mð cıa khæng gian R , cho fUig phı M ành ngh¾a 1.1.2 Cho X l khổng gian mảtric vợi mảtric d ỗng phổi f : X ! X ữổc gồi l ỗng phổi giÂn nu tỗn ti hng s e > cho vỵi x 6= y, x; y X ta câ n n d(f (x); f (y)) > e; vỵi n l s nguyản Hng s e Ơy ữổc gåi l h‹ng sŁ gi¢n cıa f Hìn nœa, t‰nh chĐt n y phử thuc v o cĂch chồn mảtric i vợi X X l compact Ta ữa kh¡i ni»m º phư thuºc nh⁄y c£m v o i•u ki»n ban ƒu i•u ki»n n y y‚u hìn i•u kiằn giÂn, tức l vợi mỉi x X, tỗn t⁄i > n n l¥n c“n U cıa x m tỗn ti y U v n Z cho d(f (x); f (y)) > Tł kh¡i ni»m n y suy X khæng câ i”m cổ lp v Tip theo, ta ữa tnh chĐt truyãn ứng tổpổ ca mt ỗng phổi ỗng phổi f : X ! X câ t‰nh truy•n øng tỉpỉ n‚u tỗn ti x X cho n qu ⁄o Of (x0) = ff (x0) : n Zg trị m“t X Vỵi kh¡i ni»m n y, ta cõ mt s kt quÊ sau Ơy nh lỵ 1.1.3 Cho f : X ! X l ỗng phổi ca khổng gian mảtric compact Khi õ, (a) ỗng phổi f cõ tnh chĐt truyãn ứng tổpổ v ch vợi cĂc m khĂc rỉng U; V , tỗn t⁄i sŁ nguy¶n n n Z cho f (U) \ V 6= ; (b) N‚u gi£ thi‚t th¶m X l vổ hn, ỗng phổi f cõ tnh chĐt truyãn n ứng tổpổ v P er(f) = fx X : f (x) = x; n > 0g trị m“t X th… f phư thuºc nh⁄y c£m v o iãu kiằn ban u Chú ỵ rng, vợi f : X ! X l ỗng phổi ca khổng gian mảtric compact nhữ trản v kỵ hiằu cl(E) l bao âng cıa t“p E n o â Khi â, mºt phı mð hœu h⁄n cıa X l phƒn tß sinh (phƒn tß sinh y‚u) : giao vỉ hn i vợi f nu vợi mồi dÂy kp fAng ca T1 n n= ti nhiãu nhĐt mt f (cl(An)) i”m N‚u ; l c¡c phı mð cıa X th… hỉp cıa chóng l _ ÷ỉc x¡c ành bði _ = fA \ B : A ; B g: Ta nâi r‹ng l hìn n‚u måi phn tò ca ãu l ca phn tò n o õ thuc v õ ta kỵ hiằu l Rª r ng _ v _ Hìn nœa, n‚u f : X ! X l to n ¡nh 1 li¶n tưc th… f ( ) = ff (A) : A g l mºt phı mð cıa X Ta cơng câ th” th§y 1 1 r‹ng n‚u f ( _ ) = f ( ) _ f ( ) v f ( ) f ( ) nu nh lỵ 1.1.4 Cho f : X ! X l compact Khi â, c¡c khflng ành sau l (1) f l gi¢n, (2) f câ mºt phƒn tß sinh, (3) f câ mºt phƒn tß sinh yu ỗng phổi ca khổng gian mảtric tữỡng ữỡng Chøng minh Rª r ng (2) ) (3) l hi”n nhiản Trữợc i v o chứng minh phn tip theo, ta nh›c l⁄i r‹ng vỵi X l mºt khỉng gian m¶tric compact v l mºt phı mð hœu h⁄n ca X Nu vợi bĐt ký A B luổn thọa mÂn diam (A) < th ữổc gồi l sŁ Lebesgue cıa Ta s‡ chøng minh (3) ) (2) Th“t v“y, cho = fB 1; B2; : : : ; B2g l c¡c phƒn tß sinh y‚u cıa f v > l sŁ Lebesgue cıa Kỵ hiằu l mt ph m hu hn chứa cĂc Ai vợi ữớng knh diam (cl(Ai)) Nu fAin g l mt dÂy ổi th vợi mồi n, tỗn ti jn cho cl(Ajn ) Bj nản Do â, l phƒn tß sinh (1) ) (2): Cho > l h‹ng sŁ gi¢n cıa f v hœu l mºt phı h⁄n chøa c¡c n T1 h…nh cƒu mð b¡n k‰nh =2 Gi£ thi‚t r‹ng x; y f (cl(An)), vỵi An n= n n Khi â, d(f (x); f (y)) vợi mồi n nản theo giÊ thi‚t suy x = y (3) ) (1): Gi£ sß l phƒn tß sinh y‚u v > l sŁ Lebesgue cıa Khi â, n n n‚u f(f (x); f (y)) < vợi mồi s nguyản n th An , n Z cho f T hn n y ti nhiãu nhĐt mt im Suy f l giÂn Vy nh lỵ ữổc chứng minh nh lỵ 1.1.5 Cho f : X ! X l compact v k l sŁ nguy¶n kh¡c Khi â, f l k f l gi¢n Chøng minh Ta ỵ t khflng nh nu l jkj k cụng l phn tò sinh i vợi f Ngữổc li n‚u l k f th… cơng l phƒn tß sinh i vợi f T õ, ta cõ iãu phÊi chứng minh nh lỵ 1.1.6 (a) Nu f : X ! X l ỗng phổi giÂn v Y l f(Y ) = Y , â fjY : Y ! Y l (b) õng ca X vợi ỗng phổi gi¢n, N‚u fi : Xi ! Xi, i = 1; 2, l Ănh x giÂn th ỗng phổi f1 f2 : X1 X2 ! X1 X2 ữổc nh nghắa nhữ sau (f1 f2)(x1; x2) = (f1(x1); f2(x2)); (x1; x2) X1 X2 ỗng phổi giÂn Hỡn na, mồi tch trỹc tip hu hn ca cĂc ỗng phổi giÂn l giÂn, l (c) N‚u X compact v f : X ! X l ỗng phổi giÂn th h f h l çng phỉi gi¢n, â, h : X ! Y l mt ỗng phổi :Y!Y Trong phn tip theo cıa mưc n y, chóng tỉi s‡ tr…nh b y khĂi niằm vã ỗng phổi giÂn dữỡng v c-giÂn mt s tnh chĐt nh nghắa 1.1.7 Cho X l khổng gian mảtric ỗng phổi f : X ! X l gi Ân dữỡng nu tỗn ti hng s e > cho n‚u x 6= y th… Chứng minh chứng minh nh lỵ n y, ta ch cn chứng minh khổng tỗn ti hồ fRij g cho Ri1 < Ri2 < < Rik = Ri1 Nõi riảng, nu Ri > Ri vợi i n o õ th tỗn ti x; y Ri cho u s z W (x) \ W (y); z 2= CR(f): L§y " > cŁ ành ı nhä cho d(z; CR(f))) 2" V… f : CR(f) ! CR(f) cõ t nh chĐt giÊ qu o nản ta l§y > cho måi -gi£ quÿ ⁄o cıa f k k k k CR(f) l v‚t-" V… > d(f (z); f (x)) v > d(f (z); f (y)) vỵi k ı lỵn, f : Ri ! Ri cõ tnh chĐt bc cu tổpổ nản tỗn ti ! Ri v m > cho k d(!; f (z)) < ; m k d(f (!); f (z)) < : Do â, -gi£ quÿ ⁄o tuƒn ho n (2k + m) k ff (z); : : : ; z; : : : ; f k (z); !; : : : ; f m (!) ữổc xƠy dỹng Nu p CR(f) l mt i”m vi‚t-" cıa gi£ quÿ ⁄o th… d„ d ng ki”m tra ÷ỉc r‹ng p l mºt i”m tuƒn ho n (2k + m) v d(z; p) < " Tuy nhiản, p 2= CR(f), mƠu thuÔn Bng cĂc lp lun t÷ìng tü, ta câ th” chøng minh ph£n chøng cho tr÷íng hỉp tŒng qu¡t Ri1 < Ri2 < < R =R ik i1 Vỵi Ri l t“p cì sð Ta nâi r‹ng Ri l u Ri X v Ri l nguỗn nu W (Ri) l nh lỵ 2.2.4 Gi£ sß f : X ! X l ⁄o v s nót n‚u W (Ri) l l¥n c“n cıa l¥n cn ca Ri X ỗng phổi giÂn cõ tnh ch§t gi£ q u Ri l t“p cì sð Khi â, Ri l nót v ch¿ W (Ri) = Ri v s Ri l nguỗn v ch W (Ri) = Ri Chøng minh N‚u Ri l mºt nót, s W (Ri) vỵi " > â ta câ B"(Ri) = fx X : d(x; Ri) ı nhä 33 "g; u n u Gi£ sß r‹ng z W (Ri) n Ri Khi â, f (z) W (Ri) \ B"(Ri) vỵi n > s n s V… B"(Ri) W (Ri) n¶n ta suy f (z) W (y) vỵi y Ri Gåi x Ri l n u n i”m cho f (z) W (x) V… f (z) l i”m di ºng n¶n ta suy Ri > Ri, u mƠu thuÔn Do õ, W (Ri) = Ri Vợi " > ı nhä, cho > l sŁ cho måi -gi£ quÿ ⁄o cıa f l v‚t-" N‚u u s W (Ri) = Ri th… ta suy Ri l mºt nót, tøc l W (Ri) l mºt l¥n c“n cıa Ri u n N‚u W (Ri) 6= Ri th tỗn ti y B =2(Ri) n Ri cho f (y) ! Rj vỵi j 6= i LĐy z Ri vợi d(y; z) < Khi â, f: : : ; f (z); f (z); y; f(y); : : : g l mºt -gi£ quÿ ⁄o Cho ! X l i”m vi‚t-" cıa -gi£ quÿ ⁄o V… ı nhä n¶n ta câ n f (!) ! Rj; n f (!) ! Ri: u Tuy nhi¶n, v… ! l i”m di ºng n¶n ta cõ W (Ri) 6= Ri, mƠu thuÔn Do õ, Ri l mt nút Phn cặn li cho trữớng hổp l nguỗn, ta chứng minh bng cĂc lp lun tữỡng tỹ nh lỵ 2.2.5 Cụng vợi giÊ thit nhữ nh lỵ 2.2.4, õ f cõ im nguỗn v i”m nót Chøng minh Gåi Ri l t“p cì sð cüc ti”u vỵi quan h» thø tü \ > " Khi â, R i l mºt nót Th“t v“y, n‚u Ri khỉng l mºt nót, â ta câ th” l§y u S s s W (Ri) n Ri V… X = i W (Ri) n¶n ta câ z W (Rj) vỵi j n o â u u Do õ, tỗn ti x Ri v y Rj cho z W (x) \ W (y) V… z l mºt i”m z di ºng n¶n ta câ Ri > Rj Tuy nhi¶n, v… Ri l cüc tiu, t Ơy dÔn n mƠu thuÔn vợi Ri > Rj Do â, Ri l mºt nót v ta k‚t thúc chứng minh nh lỵ 2.2.6 Cụng giÊ thit ging nhữ nh lỵ 2.2.3, kỵ hiằu C l cì b£n n‹m c¡c t“p cì sð R i Khi â, vỵi mØi x C, W (x) \C trị m“t C vỵi = s; u 34 Chøng minh Ta th§y r‹ng f n (C) = C vỵi n0 > n o â V… C l õng nản vợi c > 0, tỗn ti !1; !2; : : : ; !q C cho q [ Bc(!i) C: s ” chøng minh W (x) \ C trị m“t C, ta l§y z C v " > nhä V… f ı n0 jC Gåi > l i”m n o õ V c > l bĐt ký nản ta cõ th lĐy c = B =4(!j) vợi j n o â n¶n ta suy B =4(!j) B =2(f nN nN L§y ! f (B"(z)) \ B =2(f (x)) \ CR(f) Khi ⁄o f: : : ; f (!); f (!); f nN (x); f n N+1 n0N (x)) â, -gi£ quÿ (x); : : : g ữổc xƠy dỹng CR(f) N‚u y CR(f) l mºt i”m vi‚t-" cıa -gi£ quÿ ⁄o s nN th… y W" (f (!) B"(z) v d(f (x)) v f nN (y); f nN (y) W" (x) Do â, f nN (!)) < " n¶n ta suy 0 s d(f nN nN (y) B"(x) V… f nN (y); z) < 2"; s s v õ W \B2"(z) 6= ; V z ữổc lĐy C l bĐt ký nản W (x) \C trũ m“t C 2.3 Ph¥n t‰ch phŒ cıa h» ºng lüc tỉ-pỉ Trong phƒn n y, chóng tỉi s‡ tr…nh b y nh lỵ phƠn tch ph õi vợi Ănh x Anosov tổpổ Ơy l kt quÊ chnh ca chữỡng n y Trong phƒn n y, ta luæn gi£ thi‚t X l khổng gian mảtric compact vợi mảtric d v f : X ! X l to n ¡nh li¶n tưc Nh›c l⁄i r‹ng, x X l i”m b§t ng nu vợi bĐt ký n lƠn cn m U n o ca x, tỗn ti n > cho f (U) \ U 6= ; Kỵ hiằu (f) l gỗm tĐt cÊ cĂc im bĐt ng ca f Khi â, (f) l t“p âng, kh¡c rØng v f( (f)) (f) 35 nh lỵ 2.3.1 Cho f : X ! X l ỗng phổi ca khổng gian m¶tric compact N‚u f câ t‰nh bâng th… f( (f)) = (f) Chøng minh B¥y gií, ta s‡ gi£ thi‚t ph£n chøng r‹ng (f) f( (f)) 6= ; Khi â, tỗn ti x (f) f( (f)) v " > cho B"(x) = fy X : d(x; y) "g X f( (f)): GiÊ sò l s vợi cĂc tnh chĐt nhữ nh nghắa tnh chĐt giÊ qu o V x (f) nản tỗn ti n > v mºt -gi£ quÿ ⁄o n-tuƒn ho n (x i) Z X vỵi x0 = x V… f cõ tnh chĐt giÊ qu o nản tỗn ti (yi) Xf cho Z d(yi; xi) < " vỵi måi i Z, â Xf = f(xi) X : f(xi) = xi+1; i Zg V… th‚, ni ff (y0) : i < 1gB"(x0): ni V X compact nản dÂy ca dÂy ff (y0)g hºi tö ‚n y X v â, y n n 0 n‹m t“p giỵi h⁄n-w cıa y0 V… f (y ) B"(x) v f (y ) f( (f)), mƠu thuÔn Vy (f) = f( (f)) Vợi (f) l cĂc im bĐt ng ca to n Ănh liản tửc ữổc nh nghắa f Z = f(xi) (f) : f(xi) = xi+1; i Zg: Khi â, vỵi CR(f) t“p quay lui xch ca f, theo nh lỵ 2.1.2 th (f) = CR(f) nản ta suy f(CR(f)) CR(f) t nh lỵ trản nh lỵ 2.3.2 Nu to n Ănh liản tửc f câ t‰nh bâng th… f j (f) công câ t ‰nh bâng Hìn nœa, n‚u fj (f) l c-gi¢n th… t§t c¡c i”m tuƒn ho n P er(f) trị m“t (f) Chøng minh Vỵi " > v > l s vợi cĂc tnh chĐt nhữ nh nghắa tnh chĐt giÊ qu o V (f) = CR(f), quan hằ- ữổc xĂc nh trản (f) nhữ Mửc 3.1 v ữổc kỵ hiằu l T quan hằ n y, (f) ữổc phƠn tch nhữ l hổp cıa c¡c t“p t÷ìng ÷ìng ríi r⁄c A nh÷ sau [ (f) = A: 36 Trữợc ht, ta s chứng minh mØi t“p A l mºt t“p mð (f) Tht vy, lĐy x c nh A Vợi y A , cho x0 = x; x1; : : : ; xp = y l mºt -gi£ quÿ ⁄o (f) B‹ng c¡ch chån < < cho f(U (x0)) U (x1), ta th§y r‹ng U (x0) \ (f) A iãu n y cõ nghắa l A l mºt t“p mð 0 Vỵi x U (x0) \ (f), fx 0; x1; : : : ; xpg l mºt -gi£ quÿ ⁄o (f) V… x; y (f) n¶n -gi£ quÿ ⁄o O = fy0 = y; y1; : : : ; yl = xg tỗn ti Nu f(yl 1) cl(U (x0)) \ (f) th… (O n fylg) [ fy0; y1; : : : ; yl 1; x 0g 0 mºt -gi£ quÿ ⁄o v… d(f(yl 1); x 0) < Do â, y x Khi f(yl 1) 2= cl(U l (x0)) \ (f) th tỗn t⁄i z cl(U (x0)) \ (f) cho d(f(yl 1); cl(U (x0)) \ (f)) = d(f(yl 1); z) < ; d(x 0; z) V… z (f) = CR(f) n¶n ta suy z z, tøc l tỗn ti mt -giÊ v qu o tun ho n fz0 = z; z1; : : : ; zb; zg (f) Tł d(f(zb); x 0) d(f(zb); z) + d(z; x 0) n‚u i 6= j °t = minfd(Ai; AJ ) : i 6= jg Vỵi < < minf ; 1g, cho (xi) l -gi£ Z quÿ ⁄o (f) Khi â, ta cƒn ph£i chøng minh quÿ ⁄o vi‚t-" cıa (xi) ÷ỉc chån f N‚u x0 Ai vỵi i n o â th… mØi i”m cıa (x i) thuc Ai v x luổn ữổc liản kt- n f vợi mỉi x (f) LĐy x a; xb (xi); a < b Khi â, xa xb, tł ¥y ta Z câ th” t…m mºt -gi£ quÿ ⁄o (zi) (f) tuƒn ho n chu ký (k1 + k2) cho vỵi i : : : xa = za; za+1; : : : ; xb = zk1 ; : : : ; xa = zk1+k2 ; : : : 37 ” ìn gi£n hâa, °t k = k1 + k2 V… f câ t‰nh ch§t gi£ quÿ o nản tỗn ti a;b y X cho i d(f (y a;b ); zi) < "; v nản vợi i k +j d(f ki Nu D = clff (y â y a;b a;b a;b (y ); zj) < "; i 0; j < k: l ) : i 0g l rới rc th tỗn ti l > cho f (y a;b )=y a;b v (f) N‚u D khỉng ríi r⁄c th… õ tỗn ti dÂy ca dÂy ki a;b ff (y a;b j ) : i 0g a;b a;b a;b ); zj) " vỵi j < k Do â, ta câ z z 0 vỵi > bĐt ký Tht vy, t khflng nh vợi mồi > 0, tỗn ti i0 > lợn cho hºi tö ‚n z X n o â v d(f (z ki a;b a;b d(f n (y ); z ) < ; d(f vỵi in ki +1 za a;b a;b (y ); f(z )) < ; i0 a;b n i Do â, z CR(f) = (f) Ta °t z i = f (z (f) v za i f (za i) \ (f) vỵi i Khi â, Z a;b a;b ) vỵi i a v chån f (z )\ za;b = (zi ) (f) v d(zi ; xi) " vỵi a i b V compact nản tỗn ti mt dÂy Z ca d¢y fza;bg hºi tư ‚n z = (zi) (f) a ! v b ! +1 Do â, d(zi; xi) " vỵi i Z v… d(zi ; xi) " vỵi a i b v a; b l bĐt ký Rê r ng, z = (zi) f ” chøng minh t‰nh trò m“t cıa P er(f), ta lĐy x (f) Khi õ, tỗn ti Z l > v -gi£ quÿ ⁄o (xi) (f) tuƒn ho n chu ký l vỵi x0 = x V… fj (f) cõ t nh chĐt giÊ qu o nản tỗn ti (z i) f cho d(zi; xi) < " vỵi i Z Khi â, d(zl+1; zi) 2" vỵi i Z Chån " > nhä hìn h‹ng sŁ c -gi¢n, â ta câ l (zl+i) = (zi) v â f (z0) = zl = z0 U"(x) Trữợc ữa ỵ sau Ơy, ta ữa khflng nh rng ỗng phổi f : X ! X cıa khỉng gian m¶tric câ tnh chĐt truyãn ứng tổpổ nu tỗn ti x0 + X cho quÿ ⁄o O (x0) = fx0; f(x0); : : : g l trò m“t X 38 Chú ỵ 2.2 Vợi X l khổng gian m¶tric compact, to n ¡nh li¶n tưc f : X ! X cõ tnh chĐt truyãn ứng tổpổ v ch¿ vỵi U; V l c¡c t“p mð n khĂc rỉng, tỗn ti n > cho f (U) \ V 6= ; + ” chøng minh chi ti‚t khflng ành n y, ta gi£ sß O (x0) trò m“t X v U; V l c¡c t“p m khĂc rỉng Khi õ, tỗn ti cĂc s n > m > n m k cho f (x0) U v f (x0) V Do â, f (U) \ V 6= ; vỵi k = n m Kỵ hiằu fUj : j 1g l cỡ s m ữổc ca X Vợi mỉi x X, ta cõ cĂc tữỡng ữỡng sau Ơy + cl(O (x)) 6= X; + ,O (x) \ Un = ; vỵi n n o â m ,f (x) X n Un vỵi måi m 0v nno â ,x m=0 n[ \ ,x =1 m=0 Theo gi£ thi‚t S1 m=0 m f (Un) l trò m“t X n¶n khỉng trị m“t nìi n o Do â, [\ n=1 m=0 l t“p thuºc ph⁄m trị thø nh§t V… X l khỉng gian m¶tric compact n¶n fx + X : cl(O (x)) 6= Xg l t“p thuºc ph⁄m trị thø nh§t Trong phƒn ti‚p theo, ta tr…nh b y nh lỵ 2.3.3 cụng l ni dung ch nh ca to n b lun vôn n y Ơy l trữớng hổp tng quĂt cho nh lỵ 2.1.7 Chứng minh ca nh lỵ 2.1.7 cụng ữổc suy t chứng minh ca nh lỵ n y Kt quÊ chnh nh lỵ l sỹ phƠn tch ph tổpổ 39 nh lỵ 2.3.3 ( nh lỵ phƠn tch tổpổ) Cho f : X ! X l to n ¡nh li¶n tưc cıa mºt khỉng gian m¶tric compact N‚u f : X ! X l ¡nh x⁄ Anosov tæpæ th… c¡c tnh chĐt sau Ơy l úng: (1) ( nh lỵ phƠn tch ph theo Smale) (f) chứa mt dÂy hu h⁄n B i (1 i l) cıa c¡c t“p b§t bi‚n f cho (i) (ii) (f) = Sl i=1 Bi fjBi : Bi ! Bi câ t‰nh ch§t truyãn ứng tổpổ (cĂc Bi ữổc gồi l cĂc cỡ s) (2) ( nh lỵ phƠn tch theo Bowen) Vợi cỡ s B, tỗn ti a > v mºt d ¢y hœu h⁄n Ci (0 i a 1) cıa c¡c t“p âng cho a (i) Ci \ Cj = ; (i 6= j), f(Ci) = Ci+1 v f (Ci) = Ci, (ii) (iii) B= Sa i=0 Ci, a fj Ci : Ci ! Ci l trºn tỉpỉ (c¡c t“p Ci ÷ỉc gåi l c¡c t“p cì b£n) Chøng minh V… f : X ! X cõ tnh chĐt bõng nản ta câ th” chøng minh (f) = CR(f) nh÷ ành lỵ 2.1.2 Do õ, (f) cõ th phƠn tch th nh hổp cĂc lợp tữỡng ữỡng B dữợi quan hằ t÷ìng ÷ìng ÷ỉc x¡c ành CR(f) Khi â, ta câ th” vi‚t (f) = MØi t“p B l câ th” vi‚t (f) = [ B: âng v f(B ) = B N‚u B l t“p mð (f) th ta Sk i=1 Bi vợi s nguyản k > n o â v… (f) compact Trong tr÷íng hỉp n y, fjBi cõ tnh chĐt truyãn ứng tổpổ GiÊ sß U v V l c¡c t“p mð khỉng rØng B i V… x y vỵi x U v y V n¶n ta câ th” t…m Bi mºt i”m bâng cıa gi£ quÿ ⁄o tł x ‚n y v… f jBi câ t‰nh bâng l i•u n y chøng tä r‹ng U \ f (V ) 6= ; vỵi l > n o â ” chøng minh (1), ta cƒn chøng minh t‰nh mð cıa B Tht vy, vợi " > 0, tỗn ti > cho b§t ký -gi£ quÿ ⁄o cıa f j (f) l "-bâng 40 theo mºt i”m n o â (f) Khi â, vỵi p U (B ) \ P er(f), tỗn ti y B cho d(y; p) < , â U (B ) l l¥n c“n mð cıa B (f) Theo BŒ • 1.3.3, ta câ [ s i s i W (y) = f (W" (f u)) i v [ u W (x) = i i u f (W" ( i (x))); s u vỵi x Xf V… fj (f) câ t‰nh bâng n¶n ta câ W (y) \ W ((pi)) 6= ; vỵi s u quÿ ⁄o tuƒn ho n (pi) f , p0 = p v W (p) \ W ((yi)) 6= ; vỵi q ⁄o (yi) f , y0 = y V… ta câ th” chån cho mØi y i thuºc quÿ ⁄o (yi) n‹m B n¶n trong t÷íng hỉp n y ta câ th” gi£ thi‚t (y i) công n‹m B Khi â, ta câ y p v… p B Do â, B cl(U (B ) \ P er(f)) U (B ) \ cl(P er(f)) = U (B ): y p B U(B) m ” chøng minh (2), ta l§y p P er(f)\B vỵi f (p) = p v °t Cp = cl(W s (p) \ B) Khi â, Cp l mð B L§y q U (Cp) \ P er(f) \ B, â n s f (q) = qvỵi n > n o â th… ta câ th” t…m ÷ỉc x W (p) \ B cho d(x; q) < Cho (qi) Bf l quÿ ⁄o tuƒn ho n chu ký n vỵi q0 = q V… fjB câ t 0 u s ‰nh chĐt giÊ qu o nản tỗn ti x cho x W ((qi)) \ W (x) \ B 41 0 0 0 s â d(x i; qi) ! i ! , vỵi (x i) Bf , x = x V… x = x W (x) s i i = W (p) n¶n ta câ d(f (x 0); f (p)) ! i ! +1 Chú ỵ r‹ng v x Khi â, mnk ! q k ! +1 CŁ ành k > v cho j = mnk + i vỵi i j v… f mnk (x d(f (x 0 mnk q Cp i•u n y chøng tä r‹ng Cp l t“p mð B Ti‚p theo, ta s‡ chøng minh Cp = Cq vỵi q Cp \ P er(f) Th“t v m n v“y, cho f (p) = p v f (q) = q Vỵi > 0, gåi n x¡c nh nhữ B ã 1.3.2 C nh " > v chồn > nhữ nh nghắa ca tnh chĐt giÊ s qu o GiÊ sò x W (q) \ B Khi õ, tỗn ti J > cho mnJ n th… d(f y mnJ (x); q) < V… q Cp n¶n ta câ th” chån s mnJ U =2(q) \ W (p) \ B v â d(f u mnJ ((f (x); y) < V“y n¶n W s xi)) \ W (y) 6= ;; vỵi q ⁄o (xi) n o â thuºc Bf , x = x0 v… fjB câ t‰nh bõng T õ dÔn n tỗn ti mt qu o (zi ) Bf cho u mnJ z0 W ((f s xi)) \ W (y); v i i d(f (z0 ); f (y)) ! mnJ d(z mnJ ; f s i ! (x mnJ )) = d(z mnJ ; x) < : s V… z0 W (y) = W (p) n¶n ta câ i i d(f (z0 ); f (p)) = d(f mnJ +i (z mnJ ); f mnJ +i (p)) ! i ! 1; s v z mnJ W (p) \B V l bĐt ký nản ta cõ x Cp v â Cq Cq Mºt m°t kh¡c, gi£ sß r‹ng p 2= Cq Khi â, ta câ < d = d(K; Cq), â K = Cp s Cq V q Cp nản tỗn ti z W (p) \ B cho d(z; q) < d Rê r ng z Cq d(f mnj (z); p) = d(f mnj mnj (z); f 42 (p)) ! j ! n¶n suy f mnj (z) 2= Cp, iãu n y mƠu thuÔn D„ d ng ki”m tra ÷ỉc r‹ng n‚u C q \ Cq0 6= ; vỵi q; q P er(f) \ B m th… Cq = Cq0 B¶n c⁄nh õ, ta thĐy rng v f (p) = p nản Cfm(p) = Cp, t Ơy suy tỗn ti s nguyản a > nhọ nhĐt cho a m v C fa(p) = Cp Do â, B = Cp [ Cf(p) [ [ Cfa (p); v… fjB câ t‰nh truy•n øng cƒu tỉpỉ a CuŁi cịng, ta s‡ chøng minh f j Cp l trºn tỉpỉ Gi£ sß U v V l c¡c n t“p mð khæng rØng C p L§y q V \ P er(f) vỵi f (q) = q Chån " > s aj vỵi U"(q) V Khi â, vỵi j n 1, tỗn ti zj U \W (f (q)) v Bj > cho vỵi t Nj th… d(f Do â, f ant+an aj ant+an (zj); f (q)) = d(f a(bt+n j) a(nt+n j (zj); q) < ": (U) \ V 6= ; vỵi t Nj v j n °t N = maxfNj : j n 1g Khi â as a vỵi s nN th… f (U) \ V 6= ; V“y fj câ t‰nh trn tổpổ Cp Vy nh lỵ ữổc chứng minh 43 Kt lun Trong lun vôn n y, chúng tổi  • c“p ‚n ph¥n t‰ch phŒ cıa mºt h» ºng lỹc Ơy l mt phn quan trồng lỵ thuyt nh tnh nghiản cứu hằ ng lỹc vợi cỡ s lỵ thuyt tổpổ Cử th l chúng tổi Â: Tr…nh b y chi ti‚t c¡c kh¡i ni»m, t‰nh chĐt ca mt ỗng phổi giÂn, giÂn dữỡng, c-giÂn Mt s tnh chĐt cỡ bÊn ca ữớng giÊ qu o gn vợi Ănh x khổng gian mảtric compact, vợi õ l cĂc chuỉi truy hỗi, cĂc kh¡i ni»m v t‰nh ch§t cıa t“p Œn ành, khỉng Œn ành ÷ỉc ÷a Tr…nh b y chi ti‚t v chøng minh c¡c t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ Anosov tổpổ T õ dÔn n bĐt ng v nh lỵ phƠn tch ph ca ỗng phổi Anosov tổpổ 44 T i li»u tham kh£o [1] Ahmadi, Seyyed Aliriza, On the topology of the chain recurrent set of a dynamical system, Applied general topology, number 2, 167174, 2014 [2] Aoki, Nobuo and Hiraide, Topological theory of dynamical systems: recent advances, Volume 52, Elsevier, 1994 [3] B.Derrida, A.Gervois and Y.Pomeau, Iteration of endomorphisms on the real axis and representation of number, Ann Inst Henri Poincar† 29 (1978), 305-356 [4] C Robinson, Stability theorems and hyperbolicity in dynamical sys-tem, Rocky Mountain J.Math, (1977), 425-437 [5] E.Coven, I.Kan and J.Yorke, Pseudo-orbit shadowing in the family of tent maps, Trans Amer Math Soc 308 (1988), 227-241 [6] J.Banks, J.Brooks, G.Cains, G Davis and P.Stacey, On Devaney’s definition of chaos, Amer Math Month 99, 332-334, 1992 [7] N.Aoki, On homeomorphisms with pseudo orbit tracing property, Tokyo J.Math (1983), 329-334 [8] P.Walter, On the pseudo-orbit tracing property and its relationship to stability, Lecture Notes in Math, 668, Springer-Verlag, 1978, 231-144 45 ... x2) X1 X2 ỗng phổi giÂn Hỡn na, mồi tch trỹc tip hu hn ca cĂc ỗng phổi gi¢n l gi¢n, l (c) N‚u X compact v f : X ! X l ỗng phổi giÂn th h f h l ỗng phổi giÂn, õ, h : X ! Y l mt ỗng phổi :Y!Y Trong... ch g cụng l ỗng phổi Anosov tổpổ, f l ỗng phổi Anosov tổpổ c biằt v ch g cụng l ỗng phổi Anosov tỉpỉ °c bi»t ành ngh¾a 1.3.4 Cho X l khổng gian mảtric compact vợi mảtric d ỗng phổi f : X ! X ÷ỉc... ỗng phổi f : X ! X l c-giÂn nu tỗn ti h‹ng sŁ e > (h‹ng sŁ gi¢n) cho vỵi (xi); (yi) Xf n‚u d(xi; yi) e th… (xi) = (yi), vợi i Z Ging nhữ ỗng phổi giÂn, ta cụng cõ tnh chĐt sau i vợi ỗng phổi