Về phân tích phổ của hệ động lực tô pô

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HỒNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TƠ-PƠ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN HỒNG VIỆT VỀ PHÂN TÍCH PHỔ CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TÔ-PÔ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 8460102 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2019 Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tính giãn đồng phôi 1.2 Tính bóng đồng phơi 1.3 Đồng phôi Anosov tôpô 3 10 16 Phân tích phổ hệ động lực tôpô 23 2.1 2.2 2.3 Tập quay lui xích Tập ổn định không ổn định Phân tích phổ hệ động lực tô-pô 23 29 35 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 i LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội hoàn thành hướng dẫn TS Lê Huy Tiễn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc chân thành tới thầy giáo hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học khoa học tự nhiên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Bộ mơn Tốn giải tích, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để em học tập nghiên cứu Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn học (khóa 2016-2018), cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ em nhiều trình học tập Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2019 Học viên Nguyễn Hoàng Việt Mở đầu Lịch sử lý thuyết hệ động lực bắt đầu biết đến Issac-Newton, người mà mô tả quy luật chuyển động phát lực hấp dẫn Trong lý thuyết Newton, chuyển động hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân Sau đó, cuối kỷ 19, Poincaré phát triển lý thuyết định tính phương trình vi phân Poincaré nghiên cứu tính chất nghiệm thay tìm cơng thức giải tích nghiệm Nhiều năm sau đó, nhà khoa học phát triển lý thuyết nghiên cứu định tính hệ động lực sở lý thuyết tơpơ Trong đó, việc nghiên cứu đồng phơi giãn bóng chủ đề lớn năm qua Tính chất bóng xuất phát từ việc giải số phương trình vi phân Tính chất bóng có nghĩa tồn quỹ đạo gần giả quỹ đạo cho trước Tính bóng nghiên cứu Anosov, Bowen, Sinai, tác giả cho liên quan đến tốn ổn định tồn cục hệ động lực Các tác giả tiếp cận tính bóng phương pháp hình học Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề “Về phân tích phổ hệ động lực tơ-pơ ” Trong đó, chúng tơi trình bày chi tiết đồng phơi khơng giãn bóng có phân tích phổ Nội dung luận văn chia làm chương Trong đó, • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức đồng phôi giãn không gian mêtric tơpơ tính chất liên quan, tính bóng đồng phơi đồng phơi Anosov tơpơ • Chương 2: Phân tích phổ hệ động lực tôpô Các nội dung quan trọng chứng minh chi tiết phân tích phổ theo Smale Bowen trình bày Tài liệu tham khảo khảo hoàn thành luận văn [2] Ngoài ra, tham khảo tài liệu [1], [7] Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức hệ động lực, ánh xạ liên tục tính chất hệ Anosov ánh xạ Anosov tôpô Bên cạnh đó, chúng tơi trình bày số vấn đề đồng phơi giãn tính chất giả quỹ đạo Các tài liệu tham khảo cho kiến thức chương [2] 1.1 Tính giãn đồng phơi Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất đồng phơi giãn Từ dẫn đến tính chất ánh xạ giãn dương, ánh xạ c-giãn không gian mêtric compact Trong phần này, ta giả thiết không gian pha hệ động lực đa tạp khả vi Định nghĩa 1.1.1 Toàn ánh liên tục f : M → N không gian mêtric gọi đồng phơi đơn ánh ánh xạ ngược f −1 : N → M liên tục Không gian mêtric M gọi đa tạp tôpô n-chiều tồn tập mở Ui ⊂ M đồng phôi αi biến tương ứng 1-1 tập Ui thành tập mở không gian Rn , cho {Ui } phủ M Định nghĩa 1.1.2 Cho X không gian mêtric với mêtric d Đồng phôi f : X → X gọi đồng phôi giãn tồn số e > cho với x = y , x, y ∈ X ta có d(f n (x), f n (y)) > e, với n số nguyên Hằng số e gọi số giãn f Hơn nữa, tính chất phụ thuộc vào cách chọn mêtric X X compact Ta đưa khái niệm độ phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Điều kiện yếu điều kiện giãn, tức với x ∈ X , tồn δ > lân cận U x mà tồn y ∈ U n ∈ Z cho d(f n (x), f n (y)) > δ Từ khái niệm suy X khơng có điểm lập Tiếp theo, ta đưa tính chất truyền ứng tơpơ đồng phơi Đồng phơi f : X → X có tính truyền ứng tơpơ tồn x0 ∈ X cho quỹ đạo Of (x0 ) = {f n (x0 ) : n ∈ Z} trù mật X Với khái niệm này, ta có số kết sau Định lý 1.1.3 Cho f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact Khi đó, (a) Đồng phơi f có tính chất truyền ứng tôpô với tập mở khác rỗng U, V , tồn số nguyên n ∈ Z cho f n (U ) ∩ V = ∅ (b) Nếu giả thiết thêm X tập vơ hạn, đồng phơi f có tính chất truyền ứng tôpô P er(f ) = {x ∈ X : f n (x) = x, n > 0} trù mật X f phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu Chú ý rằng, với f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact ký hiệu cl(E) bao đóng tập E Khi đó, phủ mở hữu hạn α X phần tử sinh (phần tử sinh yếu) f với dãy kép {An } α: giao vô hạn ∞ −n (cl(An )) n=−∞ f nhiều điểm Nếu α, β phủ mở X hợp chúng α ∨ β xác định α ∨ β = {A ∩ B : A ∈ α, B ∈ β} Ta nói β mịn α phần tử β tập phần tử thuộc α ta ký hiệu α ≤ β Rõ ràng α ≤ α ∨ β β ≤ α ∨ β Hơn nữa, f : X → X tồn ánh liên tục f −1 (α) = {f −1 (A) : A ∈ α} phủ mở X Ta thấy f −1 (α ∨ β) = f −1 (α) ∨ f −1 (β) f −1 (α) ≤ f −1 (β) α ≤ β Định lý 1.1.4 Cho f : X → X đồng phơi khơng gian mêtric compact Khi đó, khẳng định sau tương đương (1) f giãn, (2) f có phần tử sinh, (3) f có phần tử sinh yếu Chứng minh Rõ ràng (2) ⇒ (3) hiển nhiên Trước vào chứng minh phần tiếp theo, ta nhắc lại với X không gian mêtric compact α phủ mở hữu hạn X Nếu với tập A ⊂ B ∈ α thỏa mãn diam (A) < δ δ gọi số Lebesgue α Ta chứng minh (3) ⇒ (2) Thật vậy, cho β = {B1 , B2 , , B2 } phần tử sinh yếu f δ > số Lebesgue β Ký hiệu α phủ mở hữu hạn chứa tập Ai với đường kính diam (cl(Ai )) ≤ δ Nếu {Ain } dãy đơi α với n, tồn jn cho cl(Ajn ) ⊂ Bj nên ∞ ∞ f −n cl(Ajn ) ⊂ n=−∞ f −n (Bjn ) n=−∞ Do đó, α phần tử sinh (1) ⇒ (2): Cho δ > số giãn f α phủ hữu hạn chứa hình cầu mở bán kính δ/2 Giả thiết x, y ∈ ∞ −n (cl(An )), n=−∞ f với An ∈ α Khi đó, d(f n (x), f n (y)) ≤ δ với n nên theo giả thiết suy x = y (3) ⇒ (1): Giả sử α phần tử sinh yếu δ > số Lebesgue α Khi đó, f (f n (x), f n (y)) < δ với số nguyên n An ∈ α, −n n ∈ Z cho f n (x), f n (y) ∈ An x, y ∈ ∞ (An ), mà giao vô n=−∞ f hạn nhiều điểm Suy f giãn Vậy định lý chứng minh Định lý 1.1.5 Cho f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact k số nguyên khác Khi đó, f đồng phôi giãn f k giãn Chứng minh Ta ý từ khẳng định α phần tử sinh f |k|−1 f −i (α) = α ∨ f −1 (α) ∨ · · · ∨ f |k|−1 (α), i=0 phần tử sinh f k Ngược lại α phần tử sinh f k α phần tử sinh f Từ đó, ta có điều phải chứng minh Định lý 1.1.6 (a) Nếu f : X → X đồng phơi giãn Y tập đóng X với f (Y ) = Y , f|Y : Y → Y đồng phơi giãn, (b) Nếu fi : Xi → Xi , i = 1, 2, ánh xạ giãn đồng phơi f1 × f2 : X1 × X2 → X1 × X2 định nghĩa sau (f1 × f2 )(x1 , x2 ) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )), (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 đồng phơi giãn Hơn nữa, tích trực tiếp hữu hạn đồng phôi giãn giãn, (c) Nếu X compact f : X → X đồng phôi giãn h◦f ◦h−1 : Y → Y đồng phơi giãn, đó, h : X → Y đồng phôi Trong phần mục này, chúng tơi trình bày khái niệm đồng phơi giãn dương c-giãn số tính chất Định nghĩa 1.1.7 Cho X không gian mêtric Đồng phôi f : X → X giãn dương tồn số e > cho x = y l l s X= W u (Rj ) W (Ri ) = i=1 j=1 Nếu i = j W s (Ri ) ∩ W s (Rj ) = ∅, W u (Ri ) ∩ W u (Rj ) = ∅ Chứng minh Vì f : CR(f ) → CR(f ) có tính chất giả quỹ đạo nên theo Định lý 2.1.2 ta suy CR(f ) = Ω(f ) Do đó, w(x) ⊂ CR(f ) = R1 ∪ · · · ∪ Rl với x ∈ X Với x ∈ X cố định, để chứng minh tồn Ri với w(x) ⊂ Ri , ta cần Ri ∩ w(x) = ∅ với số Ri , ≤ i ≤ l đủ Ta giả sử w(x) ∩ Rj = ∅, w(x) ∩ Rj = ∅, với j = j Gọi Ua lân cận mở Ra giả sử lân cận thỏa mãn Ua ∩ Ub = ∅ với a = b Chọn lân cận mở Va Ra cho f (Va ) ⊂ Ua , f −1 (Va ) ⊂ Ua , ≤ a ≤ l Vì w(x) ∩ Rj = ∅ w(x) = Rj = ∅ nên tồn dãy {f ni (x)} {f mi (x)} cho lim f ni (x) ∈ Rj , i→∞ lim f mi (x) ∈ Rj i→∞ Khơng tính tổng quát, ta giả thiết {ni } {mi } chọn cho n1 < m1 < n2 < m2 < Khi đó, với I > đủ lớn mà với i ≥ I f ni (x) ∈ Vj f mi (x) ∈ Vj Vì f (Va ) ⊂ Ua với ≤ a ≤ l Ua ∩ Ub = ∅ nên ta có f ni +1 (x) ∈ Uj , f ni +1 (x) ∈ / Ua , với a = j Do đó, với i ≥ 0, tồn ni < li < mi cho f li (x) ∈ / V j ∩ Vj 31 Vì X \ (Vj ∪ Vj ) đóng {f li (x) : i ≥ I} ⊂ X \ (Vj ∪ Vj ) nên tồn dãy {f li (x)} mà có giới hạn zi nằm X \ (Vj ∪ Vj ) Do đó, z ∈ / Rj ∪ Rj Tuy nhiên, z ∈ w(x) nên tồn Rk cho z ∈ Rk với k = j, j , mâu thuẫn Do đó, w(x) ⊂ Rj với j Tiếp theo, ta chứng minh d(f n (x), Rj ) = w(x) ⊂ Rj Ta chứng minh phương pháp phản chứng Giả thiết phản chứng điều sai, tồn ε0 > dãy vô hạn {ni } cho d(f ni (x), Rj ) ≥ ε0 , i ≥ Nếu f ni (x) → z d(z, Rj ) ≥ ε0 z ∈ w(x) ⊂ Rj , mâu thuẫn Vậy định lý chứng minh Với f : X → X đồng phôi không gian mêtric compact Nếu f đồng phôi giãn f : CR(f ) → CR(f ) có tính chất giả quỹ đạo, CR tập lập Hơn nữa, theo Định lý 2.1.7, CR(f ) phân tích thành hợp rời tập sở CR(f ) = R1 ∪ · · · ∪ Rl Khi đó, tập Ri tập lập Một vòng với họ {Ri : ≤ i ≤ l} dãy Ri1 , , Rik cho Ri1 = Rik (W u (Rij ) \ Rij ) ∩ (W s (Rij+1 ) \ Rij+1 ) = ∅, với ≤ j < k Dãy Ri1 , , Rik = Ri1 vòng tồn điểm x1 , , xk−1 cho k xj ∈ / Rim , α(xj ) ⊂ Rij , w(xj ) ⊂ Rij+1 m=1 với ≤ j < k Trong trường hợp ta ký hiệu Ri1 < Ri2 < · · · < Rik = Ri1 Định lý 2.2.3 Nếu f : X → X ánh xạ giãn f : CR(f ) → CR(f ) có tính chất giả quỹ đạo f khơng có vòng 32 Chứng minh Để chứng minh Định lý này, ta cần chứng minh không tồn họ {Rij } cho Ri1 < Ri2 < · · · < Rik = Ri1 Nói riêng, Ri > Ri với i tồn x, y ∈ Ri cho z ∈ W u (x) ∩ W s (y), z∈ / CR(f ) Lấy ε > cố định đủ nhỏ cho d(z, CR(f ))) ≥ 2ε Vì f : CR(f ) → CR(f ) có tính chất giả quỹ đạo nên ta lấy δ > cho δ -giả δ δ quỹ đạo f CR(f ) vết-ε Vì > d(f −k (z), f −k (x)) > 2 k k d(f (z), f (y)) với k đủ lớn, f : Ri → Ri có tính chất bắc cầu tơpơ nên tồn ω ∈ Ri m > cho d(ω, f k (z)) < δ, d(f m (ω), f −k (z)) < δ Do đó, δ -giả quỹ đạo tuần hoàn (2k + m) {f −k (z), , z, , f k−1 (z), ω, , f m−1 (ω) xây dựng Nếu p ∈ CR(f ) điểm viết-ε giả quỹ đạo dễ dàng kiểm tra p điểm tuần hoàn (2k + m) d(z, p) < ε Tuy nhiên, p ∈ / CR(f ), mâu thuẫn Bằng lập luận tương tự, ta chứng minh phản chứng cho trường hợp tổng quát Ri1 < Ri2 < · · · < Rik = Ri1 Với Ri tập sở Ta nói Ri nút W s (Ri ) lân cận Ri X Ri nguồn W u (Ri ) lân cận Ri X Định lý 2.2.4 Giả sử f : X → X đồng phôi giãn có tính chất giả quỹ đạo Ri tập sở Khi đó, Ri nút W u (Ri ) = Ri Ri nguồn W s (Ri ) = Ri Chứng minh Nếu Ri nút, ta có W s (Ri ) ⊃ Bε (Ri ) = {x ∈ X : d(x, Ri ) ≤ ε}, với ε > đủ nhỏ 33 Giả sử z ∈ W u (Ri ) \ Ri Khi đó, f −n (z) ∈ W u (Ri ) ∩ Bε (Ri ) với n > Vì Bε (Ri ) ⊂ W s (Ri ) nên ta suy f −n (z) ∈ W s (y) với y ∈ Ri Gọi x ∈ Ri điểm cho f −n (z) ∈ W u (x) Vì f −n (z) điểm di động nên ta suy Ri > Ri , mâu thuẫn Do đó, W u (Ri ) = Ri Với ε > đủ nhỏ, cho δ > số cho δ -giả quỹ đạo f vết-ε Nếu W u (Ri ) = Ri ta suy Ri nút, tức W s (Ri ) lân cận Ri Nếu W u (Ri ) = Ri tồn y ∈ Bδ/2 (Ri ) \ Ri cho f n (y) → Rj với j = i Lấy z ∈ Ri với d(y, z) < δ Khi đó, { , f −2 (z), f −1 (z), y, f (y), } δ -giả quỹ đạo Cho ω ∈ X điểm viết-ε δ -giả quỹ đạo Vì δ đủ nhỏ nên ta có f n (ω) → Rj , f −n (ω) → Ri Tuy nhiên, ω điểm di động nên ta có W u (Ri ) = Ri , mâu thuẫn Do đó, Ri nút Phần lại cho trường hợp nguồn, ta chứng minh lập luận tương tự Định lý 2.2.5 Cũng với giả thiết Định lý 2.2.4, f có điểm nguồn điểm nút Chứng minh Gọi Ri tập sở cực tiểu với quan hệ thứ tự “ > ” Khi đó, Ri nút Thật vậy, Ri khơng nút, ta lấy z ∈ W u (Ri ) \ Ri Vì X = i W s (Ri ) nên ta có z ∈ W s (Rj ) với j Do đó, tồn x ∈ Ri y ∈ Rj cho z ∈ W u (x) ∩ W u (y) Vì z điểm di động nên ta có Ri > Rj Tuy nhiên, Ri cực tiểu, từ dẫn đến mâu thuẫn với Ri > Rj Do đó, Ri nút ta kết thúc chứng minh Định lý 2.2.6 Cũng giả thiết giống Định lý 2.2.3, ký hiệu C tập nằm tập sở Ri Khi đó, với x ∈ C , W σ (x) ∩ C trù mật C với σ = s, u 34 Chứng minh Ta thấy f n0 (C) = C với n0 > Vì C tập đóng nên với c > 0, tồn ω1 , ω2 , , ωq ∈ C cho q Bc (ωi ) ⊃ C Để chứng minh W s (x) ∩ C trù mật C , ta lấy z ∈ C ε > đủ n0 nhỏ Vì f|C có tính chất hỗn hợp tơpơ nên ta lấy N > cho f n0 N (Bε (z)) ∩ Vc (ωj ) = ∅, ≤ j ≤ q Gọi δ > số cho δ -giả quỹ đạo f|CR(f ) vết-ε theo δ điểm Vì c > nên ta lấy c = Khi đó, f n0 N (x) ∈ Bδ/4 (ωj ) với j nên ta suy Bδ/4 (ωj ) ⊂ Bδ/2 (f n0 N (x)) Lấy ω ∈ f n0 N (Bε (z)) ∩ Bδ/2 (f n0 N (x)) ∩ CR(f ) Khi đó, δ -giả quỹ đạo { , f −2 (ω), f −1 (ω), f n0 N (x), f n0 N +1 (x), } xây dựng CR(f ) Nếu y ∈ CR(f ) điểm viết-ε δ -giả quỹ đạo y ∈ Wεs (f n0 N (x)) f −n0 N (y) ∈ Wεs (x) Do đó, f −n0 N (y) ∈ Bε (x) Vì f −n0 N (ω) ∈ Bε (z) d(f −n0 N (y), f −n0 N (ω)) < ε nên ta suy d(f −n0 N (y), z) < 2ε, W s ∩ B2ε (z) = ∅ Vì z lấy C nên W s (x) ∩ C trù mật C 2.3 Phân tích phổ hệ động lực tơ-pơ Trong phần này, chúng tơi trình bày định lý phân tích phổ đói với ánh xạ Anosov tơpơ Đây kết chương Trong phần này, ta giả thiết X không gian mêtric compact với mêtric d f : X → X toàn ánh liên tục Nhắc lại rằng, x ∈ X điểm bất động với lân cận mở U x, tồn n > cho f n (U ) ∩ U = ∅ Ký hiệu Ω(f ) tập gồm tất điểm bất động f Khi đó, Ω(f ) tập đóng, khác rỗng f (Ω(f )) ⊂ Ω(f ) 35 Định lý 2.3.1 Cho f : X → X đồng phôi khơng gian mêtric compact Nếu f có tính bóng f (Ω(f )) = Ω(f ) Chứng minh Bây giờ, ta giả thiết phản chứng Ω(f )−f (Ω(f )) = ∅ Khi đó, tồn x ∈ Ω(f ) − f (Ω(f )) ε > cho Bε (x) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ ε} ⊂ X − f (Ω(f )) Giả sử δ số với tính chất định nghĩa tính chất giả quỹ đạo Vì x ∈ Ω(f ) nên tồn n > δ -giả quỹ đạo n-tuần hoàn (xi ) ∈ X Z với x0 = x Vì f có tính chất giả quỹ đạo nên tồn (yi ) ∈ X f cho d(yi , xi ) < ε với i ∈ Z, X f = {(xi ) ∈ X Z : f (xi ) = xi+1 , i ∈ Z} Vì thế, {f ni (y0 ) : ≤ i < ∞} ⊂ Bε (x0 ) Vì X compact nên dãy dãy {f ni (y0 )} hội tụ đến y ∈ X đó, y nằm tập giới hạn-w y0 Vì f n (y ) ∈ Bε (x) f n (y ) ∈ f (Ω(f )), mâu thuẫn Vậy Ω(f ) = f (Ω(f )) Với Ω(f ) tập điểm bất động toàn ánh liên tục định nghĩa Ωf = {(xi ) ∈ Ω(f )Z : f (xi ) = xi+1 , i ∈ Z} Khi đó, với CR(f ) tập quay lui xích f , theo Định lý 2.1.2 Ω(f ) = CR(f ) nên ta suy f (CR(f )) ⊂ CR(f ) từ định lý Định lý 2.3.2 Nếu toàn ánh liên tục f có tính bóng f|Ω(f ) có tính bóng Hơn nữa, f|Ω(f ) c-giãn tất điểm tuần hồn P er(f ) trù mật Ω(f ) Chứng minh Với ε > δ > số với tính chất định nghĩa tính chất giả quỹ đạo Vì Ω(f ) = CR(f ), quan hệ-δ xác định Ω(f ) Mục 3.1 ký hiệu ∼δ Từ quan hệ này, Ω(f ) phân tích hợp tập tương đương rời rạc Aλ sau Ω(f ) = Aλ λ 36 Trước hết, ta chứng minh tập Aλ tập mở Ω(f ) Thật vậy, lấy x cố định Aλ Với y ∈ Aλ , cho x0 = x, x1 , , xp = y δ cho δ -giả quỹ đạo Ω(f ) Bằng cách chọn < γ < f (Uγ (x0 )) ⊂ Uδ (x1 ), ta thấy Uγ (x0 ) ∩ Ω(f ) ⊂ Aλ Điều có nghĩa Aλ tập mở Với x0 ∈ Uγ (x0 ) ∩ Ω(f ), {x0 , x1 , , xp } δ -giả quỹ đạo Ω(f ) Vì x, y ∈ Ω(f ) nên δ -giả quỹ đạo O = {y0 = y, y1 , , yl = x} tồn Nếu f (yl−1 ) ∈ cl(Uγ (x0 )) ∩ Ω(f ) (O \ {yl }) ∪ {y0 , y1 , , yl−1 , x0 } δ -giả quỹ đạo d(f (yl−1 ), x0 ) ≤ 2γ < δ Do đó, y ∼δ x0 Khi f (yl−1 ) ∈ / cl(Uγ (x0 )) ∩ Ω(f ) tồn z ∈ cl(Uγ (x0 )) ∩ Ω(f ) cho d(f (yl−1 ), cl(Uγ (x0 )) ∩ Ω(f )) = d(f (yl−1 ), z) < δ, d(x0 , z) ≤ 2γ Vì z ∈ Ω(f ) = CR(f ) nên ta suy z ∼ z , tức tồn γ -giả quỹ đạo tuần hoàn {z0 = z, z1 , , zb , z} Ω(f ) Từ d(f (zb ), x0 ) ≤ d(f (zb ), z) + d(z, x0 ) ≤ 3γ < δ, nên suy dãy (O \ {yl }) ∪ {z0 , , zb , x0 } = {y0 , , yl−1 , z0 , , zb , x0 } δ -giả quỹ đạo từ y0 đến x0 Do đó, x0 ∈ Aλ Vì Ω(f ) compact nên {Aλ } hữu hạn Ω(f ) phủ hữu hạn tập mở Aλ Vì tập Ai mở đóng Ω(f ) nên ta có d(Ai , Aj ) = inf{d(a, b) : a ∈ Ai , b ∈ Aj } > i = j Đặt δ1 = min{d(Ai , AJ ) : i = j} Với < α < min{δ, δ1 }, cho (xi ) α-giả quỹ đạo Ω(f )Z Khi đó, ta cần phải chứng minh quỹ đạo viết-ε (xi ) chọn Ωf Nếu x0 ∈ Ai với i điểm (xi ) thuộc Ai x ln liên kết-α đến f với x ∈ Ω(f ) Lấy xa , xb ∈ (xi ), a < b Khi đó, xa ∼α xb , từ ta tìm δ -giả quỹ đạo (zi ) ∈ Ω(f )Z tuần hoàn chu kỳ (k1 + k2 ) cho với i ≥ xa = za , za+1 , , xb = zk1 , , xa = zk1 +k2 , 37 Để đơn giản hóa, đặt k = k1 + k2 Vì f có tính chất giả quỹ đạo nên tồn y a,b ∈ X cho d(f i (y a,b ), zi ) < ε, với i ≥ nên d(f k−+j (y a,b ), zj ) < ε, i ≥ 0, ≤ j < k Nếu D = cl{f ki (y a,b ) : i ≥ 0} rời rạc tồn l > cho f l (y a,b ) = y a,b y a,b ∈ Ω(f ) Nếu D khơng rời rạc tồn dãy dãy {f ki (y a,b ) : i ≥ 0} hội tụ đến z a,b ∈ X d(f j (z a,b ), zj ) ≤ ε với ≤ j < k Do đó, ta có z a,b ∼α z a,b với α > Thật vậy, từ khẳng định với α > 0, tồn i0 > đủ lớn cho d(f kin (y a,b ), z a,b ) < α , d(f kin +1 (y a,b ), f (z a,b )) < α , với in ≥ i0 Do đó, z a,b ∈ CR(f ) = Ω(f ) Ta đặt zi = f i (z a,b ) với i ≥ a chọn za−1 ∈ f −1 (z a,b ) ∩ Ω(f ) za−i−1 ∈ f −1 (za−i ) ∩ Ω(f ) với i ≥ Khi đó, z a,b = (zi ) ∈ Ω(f )Z d(zi , xi ) ≤ ε với a ≤ i ≤ b Vì Ω compact nên tồn dãy dãy {z a,b } hội tụ đến z = (zi ) ∈ Ω(f )Z a → −∞ b → +∞ Do đó, d(zi , xi ) ≤ ε với i ∈ Z d(zi , xi ) ≤ ε với a ≤ i ≤ b a, b Rõ ràng, z = (zi ) ∈ Ωf Để chứng minh tính trù mật P er(f ), ta lấy x ∈ Ω(f ) Khi đó, tồn l > δ -giả quỹ đạo (xi ) ∈ Ω(f )Z tuần hồn chu kỳ l với x0 = x Vì f|Ω(f ) có tính chất giả quỹ đạo nên tồn (zi ) ∈ Ωf cho d(zi , xi ) < ε với i ∈ Z Khi đó, d(zl+1 , zi ) ≤ 2ε với i ∈ Z Chọn ε > nhỏ số c-giãn, ta có (zl+i ) = (zi ) f l (z0 ) = zl = z0 ∈ Uε (x) Trước đưa ý sau đây, ta đưa khẳng định đồng phôi f : X → X khơng gian mêtric có tính chất truyền ứng tôpô tồn x0 ∈ X cho quỹ đạo O+ (x0 ) = {x0 , f (x0 ), } trù mật X 38 Chú ý 2.2 Với X không gian mêtric compact, toàn ánh liên tục f : X → X có tính chất truyền ứng tơpơ với U, V tập mở khác rỗng, tồn n > cho f n (U ) ∩ V = ∅ Để chứng minh chi tiết khẳng định này, ta giả sử O+ (x0 ) trù mật X U, V tập mở khác rỗng Khi đó, tồn số n > m > cho f n (x0 ) ∈ U f m (x0 ) ∈ V Do đó, f k (U ) ∩ V = ∅ với k = n − m Ký hiệu {Uj : j ≥ 1} sở đếm X Với x ∈ X , ta có tương đương sau cl(O+ (x)) = X, ⇔O+ (x) ∩ Un = ∅ với n ⇔f m (x) ∈ X \ Un với m ≥ n ∞ f −m (X \ Un ) với n ⇔x ∈ m=0 ∞ ∞ f −m (X \ Un ) ⇔x ∈ n=1 m=0 ∞ −m (Un ) m=0 f Theo giả thiết trù mật X nên ∞ ∞ X\ f −m (X \ f −m (Un )) (Un ) = m=0 m=0 không trù mật nơi Do đó, ∞ ∞ ∞ f n=1 m=0 −m ∞ (X \ f −m (Un )) (X \ Un ) = n=1 m=0 tập thuộc phạm trù thứ Vì X khơng gian mêtric compact nên {x ∈ X : cl(O+ (x)) = X} tập thuộc phạm trù thứ Trong phần tiếp theo, ta trình bày Định lý 2.3.3 nội dung tồn luận văn Đây trường hợp tổng quát cho Định lý 2.1.7 Chứng minh Định lý 2.1.7 suy từ chứng minh định lý Kết định lý phân tích phổ tơpơ 39 Định lý 2.3.3 (Định lý phân tích tơpơ) Cho f : X → X tồn ánh liên tục khơng gian mêtric compact Nếu f : X → X ánh xạ Anosov tơpơ tính chất sau đúng: (1) (Định lý phân tích phổ theo Smale) Ω(f ) chứa dãy hữu hạn Bi (1 ≤ i ≤ l) tập bất biến f cho (i) Ω(f ) = l i=1 Bi (ii) f |Bi : Bi → Bi có tính chất truyền ứng tôpô (các tập Bi gọi tập sở) (2) (Định lý phân tích theo Bowen) Với tập sở B , tồn a > dãy hữu hạn Ci (0 ≤ i ≤ a − 1) tập đóng cho (i) Ci ∩ Cj = ∅ (i = j ), f (Ci ) = Ci+1 f a (Ci ) = Ci , (ii) B = a−1 i=0 Ci , (iii) f |aCi : Ci → Ci trộn tôpô (các tập Ci gọi tập bản) Chứng minh Vì f : X → X có tính chất bóng nên ta chứng minh Ω(f ) = CR(f ) Định lý 2.1.2 Do đó, Ω(f ) phân tích thành hợp lớp tương đương Bλ quan hệ tương đương ∼ xác định CR(f ) Khi đó, ta viết Bλ Ω(f ) = λ Mỗi tập Bλ đóng f (Bλ ) = Bλ Nếu Bλ tập mở Ω(f ) ta viết Ω(f ) = k i=1 Bi với số ngun k > Ω(f ) compact Trong trường hợp này, f|Bi có tính chất truyền ứng tôpô Giả sử U V tập mở khơng rỗng Bi Vì x ∼ y với x ∈ U y ∈ V nên ta tìm Bi điểm bóng giả quỹ đạo từ x đến y f|Bi có tính bóng Điều chứng tỏ U ∩ f l (V ) = ∅ với l > Để chứng minh (1), ta cần chứng minh tính mở Bλ Thật vậy, với ε > 0, tồn δ > cho δ -giả quỹ đạo f|Ω(f ) ε-bóng 40 theo điểm Ω(f ) Khi đó, với p ∈ Uδ (Bλ ) ∩ P er(f ), tồn y ∈ Bλ cho d(y, p) < δ , Uδ (Bλ ) lân cận mở Bλ Ω(f ) Theo Bổ đề 1.3.3, ta có f −i (Wεs (f i u)) W s (y) = i≥0 f i (Wεu (σ −i (x))), W u (x) = i≥0 với x ∈ X f Vì f|Ω(f ) có tính bóng nên ta có W s (y) ∩ W u ((pi )) = ∅ với quỹ đạo tuần hoàn (pi ) ∈ Ωf , p0 = p W s (p) ∩ W u ((yi )) = ∅ với quỹ đạo (yi ) ∈ Ωf , y0 = y Vì ta chọn cho yi thuộc quỹ đạo (yi ) nằm Bλ nên trong tường hợp ta giả thiết (yi ) nằm Bλ Khi đó, ta có y ∼ p p ∈ Bλ Do đó, Bλ ⊃ cl(Uδ (Bλ ) ∩ P er(f )) ⊃ Uδ (Bλ ) ∩ cl(P er(f )) = Uδ (Bλ ) y p Bλ Uδ (Bλ ) Để chứng minh (2), ta lấy p ∈ P er(f )∩B với f m (p) = p đặt Cp = cl(W s (p) ∩ B) Khi đó, Cp mở B Lấy q ∈ Uδ (Cp ) ∩ P er(f ) ∩ B , f n (q) = q với n > ta tìm x ∈ W s (p) ∩ B cho d(x, q) < δ Cho (qi ) ∈ B f quỹ đạo tuần hoàn chu kỳ n với q0 = q Vì f|B có tính chất giả quỹ đạo nên tồn x cho x ∈ W u ((qi )) ∩ W s (x) ∩ B 41 d(xi , qi ) → i → −∞, với (xi ) ∈ B f , x0 = x Vì x0 = x ∈ W s (x) = W s (p) nên ta có d(f i (x0 ), f i (p)) → i → +∞ Chú ý x−mnk → q k → +∞ Cố định k > cho j = mnk + i với i ≥ Khi đó, d(f j (x−mnk ), f j (p)) = d(f i (x0 ), f i (p)) → 0, i → +∞, f mnk (x−mnk ) = x0 f mnk (p) = p Do đó, x−mnk ∈ W s (p) với k ≥ q ∈ Cp Điều chứng tỏ Cp tập mở B Tiếp theo, ta chứng minh Cp = Cq với q ∈ Cp ∩ P er(f ) Thật vậy, cho f m (p) = p f n (q) = q Với γ > 0, gọi nγ xác định Bổ đề 1.3.2 Cố định ε > chọn δ > định nghĩa tính chất giả quỹ đạo Giả sử x ∈ W s (q) ∩ B Khi đó, tồn Jγ > δ cho mnJγ ≥ nγ d(f mnJγ (x), q) < Vì q ∈ Cp nên ta chọn y ∈ Uδ/2 (q) ∩ W s (p) ∩ B d(f mnJγ (x), y) < δ Vậy nên W u ((f mnJγ xi )) ∩ W s (y) = ∅, với quỹ đạo (xi ) thuộc B f , x = x0 f|B có tính bóng Từ dẫn đến tồn quỹ đạo (ziγ ) ∈ B f cho z0γ ∈ W u ((f mnJγ xi )) ∩ W s (y), d(f i (z0γ ), f i (y)) → i → ∞ γ γ d(z−mnJ , f mnJγ (x−mnJγ )) = d(z−mnJ , x) < γ γ γ Vì z0γ ∈ W s (y) = W s (p) nên ta có γ d(f i (z0γ ), f i (p)) = d(f mnJγ +i (z−mnJ ), f mnJγ +i (p)) → i → ∞, γ γ z−mnJ ∈ W s (p) ∩ B Vì γ nên ta có x ∈ Cp Cq ∈ Cq γ Một mặt khác, giả sử p ∈ / Cq Khi đó, ta có < d = d(K, Cq ), K = Cp − Cq Vì q ∈ Cp nên tồn z ∈ W s (p) ∩ B cho d(z, q) < d Rõ ràng z ∈ Cq d(f mnj (z), p) = d(f mnj (z), f mnj (p)) → 42 j → ∞ nên suy f mnj (z) ∈ / Cp , điều mâu thuẫn Dễ dàng kiểm tra Cq ∩ Cq = ∅ với q, q ∈ P er(f ) ∩ B Cq = Cq Bên cạnh đó, ta thấy f m (p) = p nên Cf m (p) = Cp , từ suy tồn số nguyên a > nhỏ cho a ≤ m Cf a (p) = Cp Do đó, B = Cp ∪ Cf (p) ∪ · · · ∪ Cf a−1 (p) , f|B có tính truyền ứng cầu tôpô a Cuối cùng, ta chứng minh f|C trộn tôpô Giả sử U V p tập mở không rỗng Cp Lấy q ∈ V ∩ P er(f ) với f n (q) = q Chọn ε > với Uε (q) ⊂ V Khi đó, với ≤ j ≤ n−1, tồn zj ∈ U ∩W s (f aj (q)) Bj > cho với t ≥ Nj d(f ant+an−aj (zj ), f ant+an (q)) = d(f a(nt+n−j (zj ), q) < ε Do đó, f a(bt+n−j) (U ) ∩ V = ∅ với t ≥ Nj ≤ j ≤ n − Đặt N = max{Nj : ≤ j ≤ n − 1} Khi với s ≥ nN f as (U ) ∩ V = ∅ Vậy a f|C có tính trộn tơpơ p Vậy định lý chứng minh 43 Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi đề cập đến phân tích phổ hệ động lực Đây phần quan trọng lý thuyết định tính nghiên cứu hệ động lực với sở lý thuyết tôpô Cụ thể chúng tơi đã: Trình bày chi tiết khái niệm, tính chất đồng phơi giãn, giãn dương, c-giãn Một số tính chất đường giả quỹ đạo gắn với ánh xạ không gian mêtric compact, với tập chuỗi truy hồi, khái niệm tính chất tập ổn định, khơng ổn định đưa Trình bày chi tiết chứng minh tính chất ánh xạ Anosov tơpơ Từ dẫn đến tập bất động Định lý phân tích phổ đồng phơi Anosov tơpơ 44 Tài liệu tham khảo [1] Ahmadi, Seyyed Aliriza, On the topology of the chain recurrent set of a dynamical system, Applied general topology, number 2, 167-174, 2014 [2] Aoki, Nobuo and Hiraide, Topological theory of dynamical systems: recent advances, Volume 52, Elsevier, 1994 [3] B.Derrida, A.Gervois and Y.Pomeau, Iteration of endomorphisms on the real axis and representation of number, Ann Inst Henri Poincaré 29 (1978), 305-356 [4] C Robinson, Stability theorems and hyperbolicity in dynamical system, Rocky Mountain J.Math, (1977), 425-437 [5] E.Coven, I.Kan and J.Yorke, Pseudo-orbit shadowing in the family of tent maps, Trans Amer Math Soc 308 (1988), 227-241 [6] J.Banks, J.Brooks, G.Cains, G Davis and P.Stacey, On Devaney’s definition of chaos, Amer Math Month 99, 332-334, 1992 [7] N.Aoki, On homeomorphisms with pseudo orbit tracing property, Tokyo J.Math (1983), 329-334 [8] P.Walter, On the pseudo-orbit tracing property and its relationship to stability, Lecture Notes in Math, 668, Springer-Verlag, 1978, 231-144 45 ... Anosov t pô 3 10 16 Phân tích phổ hệ động lực tơpơ 23 2.1 2.2 2.3 Tập quay lui xích Tập ổn định không ổn định Phân tích phổ hệ động lực tơ-pơ... liên hợp tơpơ f đồng phôi Anosov t pô g đồng phôi Anosov t pô, f đồng phôi Anosov t pô g đồng phôi Anosov t pô, f đồng phôi Anosov t pô đặc biệt g đồng phôi Anosov t pô đặc biệt Định nghĩa 1.3.4... không gian mêtric t pô tính chất liên quan, tính bóng đồng phơi đồng phơi Anosov tơpơ • Chương 2: Phân tích phổ hệ động lực tơpơ Các nội dung quan trọng chứng minh chi tiết phân tích phổ theo Smale