Hệ động lực ngẫu nhiên ẩn rời rạc và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: GS-TS Nguyễn Hữu Dư TS Nguyễn Hồng Hải Hà Nội - 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Luận án hồn thành hướng dẫn GS TS Nguyễn Hữu Dư TS Nguyễn Hồng Hải Các số liệu, kết nêu Luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Vũ Tiến Việt LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS-TS Nguyễn Hữu Dư NCVCC-TS Nguyễn Hồng Hải Các thầy tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi vượt qua nhiều khó khăn học tập, nghiên cứu khoa học sống Tôi xin trân trọng cảm ơn tồn thể Thầy, Cơ cán Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Những người dạy dỗ, giúp đỡ suốt nhiều năm qua, từ học sinh A0, đến sinh viên đại học, sau học viên cao học nghiên cứu sinh Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên giúp đỡ tơi sống để tơi hồn thành luận án Tôi xin trân trọng cảm ơn riêng GS-TSKH Nguyễn Duy Tiến GS-TS Nguyễn Quý Hỷ động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận án Tác giả Vũ Tiến Việt Mửc lửc Danh mửc cĂc kỵ hiằu sò dửng lu“n ¡n Mð ƒu Chu o ng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 1.2 Mºt sŁ ki‚n thøc ⁄i sŁ tuy‚n t‰ 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 S mụ Lyapunov v nh lỵ er 1.2.1 1.2.2 Chu o ng Lyapunov 2.1 2.2 Giỵi thi»u T‰nh gi£i ÷ỉc cıa ph÷ìng tr 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 Phữỡng trnh sai phƠn 'n vợi 2.3 i 2.3.1 2.3.2 2.4 Tnh chĐt ng lỹc 2.5 SŁ mụ Lyapunov v nh lỵ er 2.6 Kt lun Chu o ng Phữỡng trnh sai phƠn 'n ch s 3.1 Giỵi thi»u 3.2 Ph÷ìng trnh sai phƠn 'n vợi 3.3 Tnh giÊi ữổc ca ph÷ìng tr tuy‚n t‰nh ch¿ sŁ 3.4 nh lỵ ergodic nhƠn tnh i ngÔu nhiản 'n tuyn tnh ch 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 3.5 C¡c v‰ dö minh ho⁄ 3.6 K‚t lu“n p dửng Kt lun v cĂc hữợng nghi¶n cøu ti‚p theo C¡c cỉng tr…nh khoa håc cıa t¡c gi£ li¶n quan ‚n lu“n ¡n T i li»u tham kh£o ii DANH MƯC C C KÞ HI U SÛ DÖNG TRONG LU N (A; B) : (A; det A : dim W , dim(W ) : A;B) : d GL(R ): Ik; I : im A : ker A : ind A : ind(A; B) : Jf : J b: y M : Nn : N1;n : N: N0 = N [ f0g : Nk : Z: R;C : d d R ; (C ) : Re(z): R r£s r£s ; (C ): Or£s; Ok; O : iii N P e: Q: e Qn : Q1;n: rankA : S n: S1;n: > X : '(n; m) : ‚[f]: ‚[x]: 0: L : span(S) : Bao tuy‚n t‰nh cıa hổp S gỗm cĂc vctỡ CĂc ch vit tt: h.c.c: h.k.n: i.i.d: PTSP TT: SVD: iv Mðƒu Ph÷ìng tr…nh sai ph¥n l cỉng cư m⁄nh ” mỉ t£ sü phĂt trin ca hằ ang nghiản cứu ữổc quan sĂt trản nhng khoÊng thới gian cĂch ãu v giĂ trà t⁄i thíi i”m thø n ÷ỉc bi”u di„n truy hỗi qua cĂc giĂ tr quĂ khứ trữợc n V th, lỵ thuyt phữỡng trnh sai phƠn l i tữổng ữổc nhiãu nh nghiản cứu v ứng dửng quan tƠm v nõ xuĐt hiằn nhiãu lắnh vỹc khĂc to¡n håc cơng nh÷ øng dưng thüc t‚ v c¡c khoa håc kh¡c, chflng h⁄n gi£i tch s, lỵ thuyt iãu khin, lỵ thuyt trặ chỡi, lỵ thuyt s, lỵ thuyt xĂc suĐt, giÊi tch t hổp, khoa hồc mĂy tnh, lỵ thuyt mch, lỵ thuyt lữổng tò, di truyãn hồc, kinh t hồc, tƠm lỵ håc v x¢ hºi håc Th‰ dư, x†t qu¡ tr…nh ph¡t tri”n cıa quƒn th” câ c§u tróc tuŒi mºt h» sinh th¡i n o â N‚u gåi xn+1 l v†ctì c§u tróc cıa quƒn th” t⁄i thíi i”m nôm n + (tức s lữổng cĂ th tłng løa tuŒi cıa quƒn th” t⁄i n«m n + 1) th… xn+1 l mºt h m cıa v†ctì c§u trúc qun th xn ti thới im nôm trữợc õ Sỹ liản hằ n y ữổc mổ tÊ bi hằ thøc xn+1 = f(xn; n); n N0 Trong tr÷íng hỉp mŁi li¶n h» n y l tuy‚n t ‰nh th phữỡng trnh cõ dng xn+1 = Anxn; vợi An l ma tr“n Leslie câ d⁄ng B B B An = B s1 B @ B 0 000 B @ C A Sai ph¥n hâa phữỡng trnh n y vợi bữợc nhÊy ta nhn ÷ỉc ph÷ìng tr…nh 86 (3.5.3) câ d⁄ng 00 B B B 0 @ ð (4.1.8) ¥y »n = W(n+1)¿ ¡Wn¿ V… (»n) l mºt dÂy i.i.d vợi phƠn b chu'n N(0; ) n nản tỗn ti mt php bin i bÊo to n o µ cho »n = »0(µ ) °t A= 0 B 0 B 0 B @ D„ th§y ker A = f(0; x; 0; y) : x; y Rg V… v“y ma tr“n l mºt ph†p chi‚u l¶n ker A Hìn nœa ma trn G suy bin vợi mồi n Thảm v o â, d„ th§y r‹ng G câ h⁄ng b‹ng hƒu kh›p nn o z nìi »n câ ph¥n phŁi chu'n Ta l⁄i câ ker Gn = (0; ¿+2 »n ; z; 0) : z R l khæng gian mt chiãu tm php chiu Q1;n lản ker Gn, ta °t vectì 87 v nh÷ sau: 00 B1 C B C B¿+2»n C ; v= â l ph†p chi‚u Q1;n l¶n ker Gn l Q1;n = vv ¿ D„ d ng ki”m tra r‹ng Q1;n ⁄ Q1;n = Q1;n Th“t v“y chóng ta câ Q1;n ‡ = Q1;n: 88 V“y Q1;n l mºt ph†p chi‚u Do v“y G1;n = Gn + B(I ¡ Q)TnQ1;n l mºt ma tr“n khỉng suy bi‚n n¶n h» (4.1.8) câ ch¿ sŁ — ¥y chóng ta nh›c l⁄i r‹ng Tn l ph†p flng c§u cho thu hàp ca nõ trản ker Gn l php flng cĐu giœa ker Gn v ker Gn¡1 Tuy nhi¶n °c thị n¶n h» (4.1.8) câ th” gi£i nh÷ sau: °t yn¿ = (yn¿ ; yn¿ ; yn¿ ; yn¿ ) Tł ph÷ìng tr…nh thø ba v thø t÷ cıa (4.1.8) chóng ta nh“n ÷ỉc yn¿ = yn¿ = n: Tł â chóng ta ÷ỉc y n¿ = i=1 n¡1 Y Do v“y sŁ mô Lyapunov cıa h» l ‚¿ [y] = E flfl ¿ fl1 ¡ ¡ »1 flfl fl : Chú ỵ rng ằ1 cõ phƠn phi chu'n N(0; ¿) (phư thuºc theo ¿), chóng ta s‡ thu ÷ỉc lim ‚¿ [y] = Ej1 ¡ »1j = 1: ¿ !0 CĂc kt quÊ tnh toĂn trản ữổc kim chøng b‹ng Matlab nhí ch÷ìng tr…nh sau 89 clear all; clc tt=10;%number for t nt=100;%number for e Max=10^7; for i=1:tt e=0; for j=1:nt%run nt times each t's value t=10^(¡i); n = normrnd(0,t,[1 Max]); m=abs(1¡t/2¡n); e=e+mean(m); clear n clear m end e=e/nt;%e=1/100 %fprintf('t=%.11f e=%.11f \n',t,e); end K‚t qu£ ÷ỉc cho theo b£ng Tł ¥y ta câ k‚t lu“n r‹ng h» Œn ành ¿ 0:10000000000 0:01000000000 0:00100000000 0:00010000000 0:00001000000 90 K‚t lu“n v cĂc hữợng nghiản cứu tip theo Lun Ăn nghiản cứu hằ phữỡng trnh sai phƠn ngÔu nhiản 'n tuyn t ‰nh d⁄ng 8AnXn+1