Hệ động lực ngẫu nhiên suy biến và áp dụng

ĐẠI * HỌC * QUỐC GIA HÀ MỘI % TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN ■ ■ * t Q tr nd Q tr ■ rd Q tr ■ th Q tr Tên để tài HỆ■ ĐỘNG ■ Lực NGẪU NHIÊN SUY BIẾN ■ VÀ ÁP DỤNG ■ (Random Degenerate Dynamical Systems and Their Applications) Mã số: QT 01-01 Chủ trì để tài: NGUYỄN HỮU Dư Các cán tham gia đê tài: GSTSKH GSTSKH ThS CN Nguyễn Duy Tiến Phạm Kỳ Anh Lê Công Lợi Vũ Hải S § HQ C Q I J O C G IA H Á N Ó ( T R U N G T  M TH Ô N G TIN THƯ V IÉ N DI / z t f HÀ NỘI 2002 NỘI DUNG I Chủ trì II Các cán tham gia III Báo cáo tình hình thực đề tài tiếng Việt IV Báo cáo tình hình thực đề tài tiếng Anh V Tài VI Kết luận VII Tóm tắt kết nghiên cứu khoa học IX Phụ lục: Các báo liên quan đến đề tài X Phiếu đăng ký đề tài Hà Nội, n gà y 10 thá n g 04 năm 2003 Mà SÔ: QT 01-01 BÁO CÁO KÊT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NCKH CẤP ĐẠI HỌC QUổC Glà 2000-2003 ■ ■ Tên đề tài (hoặc dự án): HỆ ĐỘNG Lực NGẪU NHIÊN SUY BIẾN VÀ ÁP DỤNG (R a n m D e g en e rate D ynam ical S yste m s and T h e ir A p p lica tio n s) Mã số: QT 01-01 Cơ quan chủ trì để tài (hoặc dự án): Đai hoc Khoa hoc Tư ■ ■ ■ ■ nhiên,* ĐHQG Hà Nôi > Sõ cán tham gia Tên cán phối hợp nghiên cứu: • • • • GS TSKH N g u y ễ n D u y T iế n GS TSKH P h m Kỳ A n h ThS Lê C ô n g Lợi CN Vũ Hải S â m uv uv uv uv Mục tiêu nội dung nghiên cứu: • Đ ể tài n ghiên cứu tồn ngh iệ m toá n C a u ch y ch o hệ sai p hân ẩn tu yế n tính Đ ồng thời chúng tơi để cậ p đến tính ch ất đ ộng lực của hệ • Chứng m inh điểu kiện để tồn n gh iệ m bị ch ặn trê n tồ n trụ c số • C h ỉ trình sai phản m ột hệ phương trình vi phản đại số c h ỉ s ố I dẫn đến phương trình sai phân có ch ỉ số I, đ thời nghiệm phương trình sai phân hội tụ nghiệm P T vi p hân bước sai phân dần đến Các kết đạt được: • Đ ã hồn n nh 03 báo 1) N guyen Huu Du and Dao Thi Lien, s ta b ility R adii o f D iffe re n tia l A lg e b ic E quations, Tạp chí Khoa học, Đ H Q G Hà Nội 2) N guyen Huu Du O ptim al C o n trol P roblem fo r L ya p u n o v E xp o n e n t o f R andom M atrix P roducts, Journal o f Optimization Theory and Applications, vol 2, no 105(2000), pp 347-369 3) L.c Loi, P.K Anh and N.H Du O n L in ea r Im plicit N o n -a u to n o m o u s S yste m s o f D ifference E quations, Journal o f D ifference Equations and Applications, Vol 8, N012 (2002) • V iế t 01 sách tiêu đề: D ự báo chuỗi thời gian, th ả o trẽn trình in ỏ NXB Đ H Q G Hà Nội • Đ ang đ tạo 06 nghiên cứu sinh 05 cao học • Đ ã đ tạo 10 cử nhản tốn - tin ứng dụng Tình hình kinh tế đề tài: a) S ố tiền cấp: 16.000.000d b) Tình hình chi tiêu • Bồi dưõng báo cáo viên viết sách • T huê chuyên gia nước (mời giảng S em inar): 4.000.000Ổ + Tiền phòng: 440.000Ổ + Tiền ăn đưa khách H along: 1.560.000Ổ + Bổi dưỡng thu yế t trình 2.000.000Ổ • T h uê chuyên gia nươc: báo • S ao chụp tài liệu 1.000.000Ổ • M ua văn phịng phẩm 1.360.000Ổ • Chi quản lý phí (4% ) Xác nhận Khoa Tốn-Cơ-Tin học 3.000.000Ổ X 2.000.000Ổ = 6.000.000Ổ 640.000Ổ Chủ nhiệm Đề tài PGSTS Nguyễn Hữu Dư Xác nhận Trường ĐH Khoa học Tự nhiên REPORT ON PROJECT QT - 01 - 01 I Title of Project: Random Degenerate Dynamical Systems and Their Applications II Code of Project: QT 01-01 III Head of Research Group: A ss Prof Dr N g u yen H uu Du IV Particippants: Prof Nguyễn Duy Tiến Prof Phạm Kỳ Anh Lecturer Lê Công Lợi Lecturer Vũ Hải Sâm Member Member Member Member V Target and Contents: The project focuses on two mains following problems 1) The solvability of Cauchy problem for implicit difference system s and the dynamic property of the solutions We have characterized the space of initial conditions such that the solution starting from which exists We give a sufficient condition ensuring the existence of a bounded solution on whole R 2) We also investigate some numerical methods to find approximate solutions and realization this algorithm on the computer We show that the discretization process of a differential algebraic equation with index tractable will leads to an implicit difference equation wit index-1 Further, the solution of this difference equation converges to the solution of initial equation when the step tents to (Please, refer to the attached report) VI Resume of main results a) Three articles for this direction have been written and have been published on the cited m athem atical journals Nguyen Huu Du Dao Thi Lien, stability Radii of Differential Algebraic Equations, Tạp chí Khoa học, ĐHQG Hà Nội Nguyen Huu Du Optimal Control Problem for Lyapunov Exponent of Random Matrix Products Journal of Optimization Theory and Applications vol 2, no 105(2000), pp 347-369 L.c Loi, P.K Anh and N.H Du On Linear Implicit Non-autonom ous System s o f Difference Equations, Journal of Difference Equations and Applications, Vol 8, N012 (2002) b) One book titled “ Time Series and Prediction" is in print at Publishing House “Hanoi National University" c) Training and education: Suporting for + 06 Ph.D students + 05 m aster students + 10 B.A students of applied mathematics VII Finance: The project has been supported with a total grant 16.000.000VND This sum is delivered as follows: Support for scientific research 6.000.000VND Support for seminars and scientific activities: 3.000.000D Inviting a foreigner professor to give a lecture 4.000.000D + Rental room fee: 440.000Ổ + Accom odation 1.560.000Ổ + Lecture fee 2.000.000d Photocopy documents 1.000.000D Stationery and other 1.360.000D Adm inistration fee (4%) 640.000D Total: 16.000.000VND Hanoi 25 June 2003 Head of Project Ass.Prof Dr Nguyen Huu Du TÓM TẮT KẾT OUẦ NGHIỀN cửu KHOA HỌC THỰC HIỆN CHO DỀ TÀI QT 01-01 NGUYỄN H ũ ll D F a c u lty o f M a th e m a tic s , I n f o r m a tic s a n d M ech an ics, e tn am N a tio n a l U n iv ersity , 334 N guven T i, T h a n h X u a n , H an o i, V ietn am Đề tài nghiên cứu dáng điệu tiệm cận ciia hộ phương trình vi-sai phân đại số ự ổn định lược đồ sai phân giải phương trình vi phân đại số Để tài nghiên cứu hài toán điéu khiến số mũ Liapunov cùa hệ sai phân chịu nhiễu Markov hệ "ổn clịnh có thé” Được biết việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận đặc biệt dáng điệu thời gian vỏ hạn đóng vai trị quan trọng lý thuyết hệ động lực nói chung hệ lực ấn nói riêng Biết hệ động lực có ổn đinh hav khơng giúp điéu đầu vào: kiém soái đầu nhu' tìm hiếu xu huớng phát trién ác quấn sinh học Mịl troim nhữntỉ câu hói đặt hệ ổn định có tính chất bề vữna hay s Nói cách khác, với nhiều đu bé liệu hệ cịn có ổn định hay khơng'.' Nếu với I bé hệ cịn ổn đinh lliì liệu ta tăng cường độ lớn đến mức độ khịne cịn nil Bài tốn nà\ sơ nhóm nghiên cứu Hinrichesen Piiicharđ an tên gọi 1Ì1 tìm bán kính ổn định ciia hệ Mục tiêu chúng tỏi muốn phát trien ;ết quà cho hệ phươns trình VI phân đại số Hơn nêu chịu nhiêu có tác nhân điều khiến tham gia vào 1lệ LI ta ế lìm đưoc tiêu chuán đẽ chọn hệ ổn định nliãl theo nghĩa hay khỏnc dan cluniìí ta đen hài loán diều khiên sỏ mũ Liapunov cua hệ Bài tốn dối với hệ khơng giái sị hạng có chi sị cao nhát theo ố hạng cịn lụi việc nghien cứu chúng giái thê Chúng tòi dề cạp 'ái gọi phươna trình sai phùn ấn nghiên cứu tốn Cauchv cua Chi tiết ơng trình tlnivèt minh nhu sau: N KÍNH ƠN Đ I N H C U A P l i U Ơ N G T RÌ NH SAI P H  N ĐAI s ố Tronc nhữmi lliãp niên qua loạt cacs cỏna trình dã đé cập đơn việc dó bén cùa mõt hộ sỏ dó bán kính ổn dịnh Irons nlũmc vấn đê thời su nh ổn định đề xướng bới Hinrichesen and Pritchart định nghĩa giá Ị) cúa chuẩn nhiều cho hệ khơng cịn ổn định Mặt khác, phát triến khoa học kỹ thuật, hệSUNbiến đưa hiên cứu kỹ lưỡng bán kính ổn định cúa hệ phương trình vi phân đại sô A X ' ( t ) - B X ( t ) = {) (1 1) : ma trận sô va B (see [5 ]) Bài toán nghiên cứu ma ngược ta chuyến vể phương trình vi phân thường X ' ( t ) = h I X ( t ) ;ác cõng trình [9 10 .] bán kính ổn định đặc trưna bới hàm ( t i - M ) ~ l Cơng trình đề cập đến trường hợp ma trân /1 kỳ dị Theo rình [5] [12], cấn phái nghiên cứu chi sỏ' cặp { A B } Tuv nhiên ín trớ nên phức tdp nhiều mà giá trị liêng cùa hệ khơng phu liên tục vão nhiều Việc tìm hiểu xem với điểu kiện bán kính ốn định thực bán kính ill phức tốn quan trọnc Chúng lịicũng chi điéu ú đẽ xẩv trường hợp nàv Các kết q nhân sau: hiẻu có câu tr ú c lý a) BỚII kuili oil ílịnlì plí cua lié ( I I I du'o'1 cho ho'i fr iMip IK'(*)II]- ’ ;(.s) = F ( s A - Ề r l E h) T ồn t ại m a t r n t i A clì(> I ^ I Ị = t i e licit clìi lie'll G'(.s)| i l ụ l dược ÍỊÌÚ ì Iihííỉ trẽn /K ( ) N ế u E — F = / (ỉ( > clìi licit iiìíHA D ) — u hăng n h a u cú a h án kính oil đ ịn h thự c phức lý G i sứ hệ ị 1.1) t h o a m ã n c i íỊÌá rlìict vé lìệ ilươiiíỊ t r o n * R " ta ỉ l ion chi tl in licit K h i d ó h n k i n h Ihhiii (IH I\ ĩ Ổn d i n h p h i í c ( ì ( ’ h un kính Ổn đ ị n h i hực đ-ỉỉ í ríni íi n n va í ỉ B ■ 1) |l H e i l ỉ ) ih ío n licit \'iì i l l ! l i c i t / ’ > Ví / JJ l a m a Ĩ I Ú I I M c llc z , lứ c lu l '( phán IIÍ (lia s iluứiig nạoại n ữ phún n ì h,j VỚI J)n > Im no dó p — (ị)n ) I\ ( ỉiá sít' f l l l (hf(fìiạ P ( Ẳ — / Ợ ) _1 > 0: > với m ọ i I (^1-4 — Kill dó Đinh ly sau da\ cln rõ khác biẽt aiữa phưttniỉ trình y\ vi phân dại sị > phán thươn« \ a phuone Neil = dn V I i i r i x sẹ , - ||G'(.s)|| không dạt dược m axim um lại ÍỊÌĨ tri hữu hạn Cỉia c ’H U Ơ N G T R Ì N H S A I P H  N Ẩ n Chúng ta xét phương trình sai phân án , = B „ r n + (Ị„ I I — 0.1,2 , (2.1) ,4„, B„ e q„ € K"' ma trận cho với 4,, luôn suy biến, g trình xem kết q sai phân theo lược đổ Euler từ phương trình vi lại sị A( t).r' f C'(t).r = (2) ỉ ta mn tìm cách lách hệ phương trình thành phương trình đại sô sai phân biệt rường họp hạn g hãng Ta ln gia thiết rank.4„ = /• ( n G N ) tron2 ( ) < / ■ < ììì Giá thiết SVL) (khai kỳ dị) cùa ma trân A„ ‘ *tt ,, ma trận dườiiíi chéo \'ứi é 'ax: G ia s ứ m u irụu G„: I' II y 'n li - I giá trị kỳ dị cúa A„ ( —-4„ + VoỢ\'J_Ị kha ìiỊỂụch v„ ! ma trận trực Khi dó ta có cúc licn hự i/ II/ P n -i - G,11-^11 //// C r l B „Q „ = V „^Q V ÌỈ ‘/ W - , 0: Q „ ì C - l D llQ„ IV A‘i'll ( ì I CÙI IU kliõn^ SIỈ\ hit'll vù I / ’, (),,\ ,,\ (•' li : ( ÙII^ la plicp c lucii lí ’ 1 I\ / ỉ , - V n - tQ V n ỉ - () \\ < A,, ] P „ ( ; ; , i ì Bn Hon f »8 llù nghĩa Phương trình (2.1) gọi có chi số i/ r a n k A n = r (0 < V < m ) ii/ Các ma trận G„ : = Ạ , -Ị- B t1V„Q Ì^ỊịỊ không kỳ dị \ ’ới n e N Bố đề sau chứng tỏ định nghĩa đắn Gia sử A„ = „ E ,A ',L i = Ọ „ l ' „ r „ +11G „ = I - r„4- i hai khai triển kỳclị cùa -4„ l B „ , đỏ G „ : - A , + B „ \ 7„ Q V a n d M k!' : 1_ (: • = rr -0 - 1B n - \ - i (0 ) < s < /; — í5 / ’„ - lý Gia sứ pliiíoniỊ tiìnlì sui phán ấn có (III s ổ 1, klìi dó IỊ> II in li - ' n.1 = B „ r n + (Ịn (li £ N ) P(){.r () — T(|) í / ó 7(1 £ K ' " /í> r c v /('/, (V; í//í_v Illicit i m h i ệ m ' r ■>'ị P ^ - Q V Ị G - 1^ ^ = + G „ 1fyt>) — \ ị Q V Ỉ G y l (Ị[ ' ■>,, = /».{.u;l,: 17 „ - E r : ; J C a s ///?í/ aA “ V + - \ ’„ Q ĩ ' , ' L i G „ l